Ainsi nous pouvons dire que

« Quand on a sur un plan un système de points^ et leur centre des » moyennes distames, la déformation homographique donne un système de » points et leur centre des moyennes harmoniques, relatif à la droite qui » correspond à Tinfini sur le plan de la première figure. »

207. Soit un système de points situés d'une manière quelconque dans l'espace ^ et leur centre des moyennes distances; si on les projette tous sur un plan ^ par des droites parallèles entre elles^ on aura^ en projection^ un système de points et leur centre des moyennes distances. Faisant la figure homographique^ et observant que les droites projetantes deviendront des droites concourant en un même point d'un plan fixe^ correspondant à Tinfini de la première figure, on aura, d'après ce qui précède, ce théorème :

Etant donnés un plan et un système de points dans l'espace; si, d'un point pris arbitrairement dans ce plan, on mène des rayons à tous ces points, et

* Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques. Voir Journal de M. Crelle, annëe 1828.

718 iMEMOIKE DE GEOMETRIE.

Daps le paragraphe suivant^ nous allons présenter quelques autres propriétés du centre des moyennes harmoniques d'un système de points^ qui sont d'un autre genre ^ et qui nous paraissent être les plus importantes de cette théorie, parce que les premières s'en déduisent aisément.

§ VIII. Autres propriétés du centre des moyennes harmoniques

d'un système de points.

21 1 . Soit un système de points dans l'espace, et leur centre des moyennes distances : ce point jouit de la propriété que sa distance à un plan transversal quelconque, multipliée par le nombre des points, est égale à la somme des distances de tous les points à ce plan.

Faisant la déformation homographique, on aura un système de points et leur centre des moyennes harmoniques; par rapport au plan qui correspond à l'infini de la première figure (208). Appliquant à la propriété du centre des moyennes distances, que nous venons d'énoncer, le principe des relations métriques, du numéro (176), on obtient ce théorème :

Le centre des moyennes harmoniques d'un système de points, pris par rapport à un plan donné ^ jouit de la propriété que la somme des distances de tous ces points à un plan transversal mené arbitrairement, divisées respectivement par les distances des mêmes points au plan donné, est égale à la distance du centre des moyennes harmoniques au plan transversal, divisée par sa distance au plan donné, et multipliée par le nombre des points.

Ainsi, soient 1 le plan donné, et n le plan transversal mené arbitrairement. Représentons par a/, 6/, .... gi les perpendiculaires abaissées, des points a, 6, ...., et de leur centre des moyennes harmoniques g, sur le plan I; et par an, bn, .... gn les perpendiculaires abaissées, des mêmes points, sur le plan n. On aura

an bn gn

ai 01 ig

quel que soit le plan transversal :r.

21 2, Ce théorème peut servir à définir le centre des moyennes harmoniques d'un système de points, par rapport à un point donné. On peut même 4ui donner un énoncé plus caractéristique; car si Ton suppose que les points soient matériels et aient, respectivement, leurs masses proportionnelles aux valeurs inverses des distances des points au plan donné; on voit que le centre de gravité de ces points sera le centre des moyennes harmoniques des points du système. De sorte qu'on peut dire que :

Le centre des moyennes harmoniques d'un système de points, relatif à un plan donnée est le centre de gravité de ces points, supposés matériels , et ayant leurs masses en raison inverse des distances de ces points au plan donné.

Cette définition du centre des moyennes harmoniques d'un système de points, relatif à un plan, comprend les propriétés de ce point, que nous avons démontrées dans le paragraphe précédent; c'est-à-dire que, de cette définition, on déduit aisément ces propriétés. De cette manière, la théorie du centre des moyennes harmoniques, bien que plus générale que celle du centre des moyennes distances, devient une simple application de celle-ci.

213. On peut encore supposer que les points du système soient sollicités par des forces parallèles entre elles, et égales aux valeurs inverses des distances de ces points au plan donné; alors on dira que : le centre des moyennes harmoniques de ces points, par rapport à ce plan, est le centre de ces forces parallèles, c'est-à-dire le point par où passera leur résultante, quelle que soit leur direction commune.

C'est sôus ce point de vue que M. Cauchy a considéré le centre des moyennes harmoniques d'un système de points *, et qu'il est parvenu, par des considérations de Statique, à en conclure les autres propriétés de ce point. Ce célèbre Analyste a tiré de là aussi un moyen facile d'exprimer, par trois équations, dans le système de coordonnées ordinaire, la position du centre

• Voir, dans le tome XVI des Annales de Mathématiques, le rapport de MM. Legendre, Ampère 4*1 (inuchy sur le Mémoire sffr Ips centres des moyennes harmonir/nes, de M. Poncelel.

des moyennes harmoniques^ soit d'un système de points^ soit d'un corps solide^ de forme donnée.

214. Si, dans le théorème général (211), on suppose le plan transversal n à Finfini, les rapports ^;-^, .... seront égaux à Funité, et Féqualion deviendra

ai bi gi

Celle-ci prouve que :

La somme des valeurs inverses des distances de plusieurs points, à un plan, est égale à la valeur inverse de la distance, à ce plan, du centre des moyennes harmoniques de ces points , par rapport au plan, multipliée par le nmnbre des points.

215. Si Ton suppose, dans le théorème général (211), le plan transversal parallèle au plan fixe, on conclut cette autre propriété du centre des moyennes harmoniques :

Quand on a un système de points et leur centre des moyennes harmoniques par rapport à un plan; si, d'un point quelconque de C espace, on mène des rayons à tous ces points, et qu'on prenne le rapport de chojque rayon au segment compris entre le po'mt auquel ce rayon est mené et le point oii il perce le plan; le rapport relatif au centre des moyennes harmoniques, multiplié par le nombre des pointa, sera égal à la somme de tous les autres rapports.

§ IX. Propuiéïés du centre des moyennes harmoniques d'un système

DE points qui se MEUVENT DANS l'eSPACE.

216. Soient des points A, B, C, ...., auxquels on imprime des mouvements quelconques, mais uniformes et rectilignes : on sait que leur centre des moyennes dislances parcourt une droite.

Soient «, g, y, .... les positions de ces points après un temps B\ et a, 6, c, leurs positions après un autre temps /. On aura, puisque les meuve-

ments sont uniformes :

Aa 0 fie 0

Faisons la figure homographique : nous aurons un système de points Â'^ B'^ C, .... qui parcourront des droites^ de manière qu'au bout du temps û ils seront en a', 6', /, ...., et qu'au bout du lemps / ils seront en a', 6', c', .... On aura^ en désignant par i, j, k, .... les points où ces droites percent un plan fixe P^ correspondant à Finfini de la première figure :

ou

ta

Ax

~AÔ~

Bg

• ib' '

AV

ta

ib'

.Le centre des moyennes harmoniques de ces points, par rapport au plan P, parcourra une droite, correspondant à la droite décrite par le centre des moyennes distances des points A, B, C,....

Les distances des points a' et a', au point i, sont entre elles comme les distances de ces points au plan P : on peut donc les remplacer par ces dernières, dans la première des équations précédentes; il en est de même des distances des points /3' et 6' au point 7; et ainsi des autres. On a donc ce Ihéorème :

Si des points situés dans t espace prenmnt des mouvements rectilignes, de manière que les espaces qu'ils parcourent, divisés respectivement par les distances des points, dans leurs nouvelles positions , ù un plan fixe, soient

autour delà pre7nière, on fait tourner un plan transversal, et que l'on conçoive les plans tangents au cône suivant les arêtes comprises dam ce plan, dans chacune de ses positions; la somme des sinus des angles que ces plans feront avec la seconde droite, divisés respectivement paroles sinus des angles qu'ils feront avec la première , sera constante pour toutes les positions du plan transversal.

22 A. En appliquant aux surfaces du second degré ^ et parliculièrement aux surfaces coniques^ les théorèmes généraux de ce paragraphe^ on obtient diverses propriétés nouvelles de ces surfaces.

Si Ton prend une surface de révolution ayant un foyer, et si Ton observe que la distance de chaque point de la surface, au plan directeur, est proportionnelle à la distance de ce point au foyer, le ihéorème (218) exprimera la propriété générale des surfaces de révolution, démontrée dans nos applications du principe de dualité (§ XXIII, n"" 133). Ainsi Ton voit que cette propriété, qui paraissait d'un genre tout particulier aux surfaces du second degré, de révolution, dérive d'une propriété très-générale des surfaces géométriques, comme nous l'avons dit alors.

225. ,Les deux théorèmes (222 et 223) donneront diverses propriétés des cônes du second degré, lesquelles seront applicables immédiatement aux coniques sphériques ; et plusieurs correspondront à des propriétés, connues, des coniques planes.

Et si le cône est supposé de révolution, on aura diverses propositions concernant un petit cercle tracé sur la sphère. Nous énoncerons les quatre suivantes, qui sont assez simples, et qui nous paraissent nouvelles :

Un petit cercle étant tracé sur la sphère :

i^ La somme des sinus des arcs menés par les extrémités d'un diafnètre quelconque du petit cercle, jïerpendiculairement sur un grand cercle fixe^ est constante;

2® La somme des sinus des distances d'un point fixe de la sphère, aux arcs de grands cercles tangents aux extrémités d'un diamètre du petit cercle, est constante ;

3® Si, par un point quelconque, pris sur un grand cercle fixe , on méfie

oteiMP arcs tangents au petit cercle; la somme ou la différence des valeurs inversé des sinus des distances des points de contact, au grand cercle fioce, est constante;

Ce sera la somme, si le grand cercle fixe ue rencontre pas le petit cercle proposé; la différence, s'il le rencontre.

4** Si, autour d'un point fixe, on fait tourner un arc transversal qui rencontre le petit cercle en deux points, et qu'on mène les arcs tangents en ces points; la somme ou la différence des valeurs inverses des sinus des distances de ces arcs tangents, au point fixe, est constante.

Ce sera la somme, si le point fixe est pris dans Tintérieur du petit cercle; la différence, s'il est pris au dehors.

S XI. Généralisation du théorème de Newton, sur le rapport constant du

PRODUIT des abscisses AU PRODUIT DES APPLIQUÉES, DANS UNE COURBE GÉO- MÉTRIQUE.

226. Le théorème de Newton, appliqué aux surfaces, consiste en ce que : Dans toute surface géométrique, de quelque point de l'espace qu'on mène deux transversales, parallèles à deux axes fixes, le rapport des produits des segments faits sur ces deux transversales, entre ce point et la surface, sera constant.

Ainsi soit M ce point, et soient A, A', A'^ ... et B, B\ B'^, ...., les points où lea deax transversales renconireut la surface; on aura