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§ vil. Propriétés du centre des moyennes harmoniques d'un système

DE POINTS dans l'eSPACE.

202. Soient a, b^ c^ .... plusieurs points situés en ligne droite^ g leur t:entre des moyennes distances, et 0 un autre point quelconque de cette droite; on aura

(<) oa -♦- o6 -♦- oc -f- • • = n . oj:

fi étant le nombre des points.

Formons la figure homographiqùe : noua aurons des points a^y b', &,.... situés en ligne droite; un point g' y correspondant au point ^; un point o' pris arbitrairement pour correspondre au point o ; un point i' correspondant au point situé à l'infini sur la droite ab; et Ton aura

oa ou'

og o'g'

ob o'b'

og o'g'

L'équation (1) donne donc celle-ci :

o'a' ob' oc og

ta tb i c t g

Cette équation a lieu entre les points a\ 6', r', .... g' et /', quel que soit le point o', sur la droite qui unit ces points. Si Ton suppose le point o' à Tinfîni ^ on aura

i a 1 0 te \ g

Ainsi le point g'^ qui correspond au centre des moyennes distances g des points ttj by Cy .,..y est déterminé par la condition que la valeur inverse de sa distance au point i', soit moyenne entre les valeurs inverses des distances des points a' y 6', c', ...., à ce point /'. On dit que ig' est moyenne harmonique entre les distances i'a^y î'6', l'c', etc., et que le point g' est le centre des moyennes harmoniques des points a', 6', e', ...., par rapport au point i' (1^« partie, § XII).

Nous avons démontré directement, dans la première partie, § XII, Tidentité des équations (2) et (5), en montrant comment on passe de Tune à l'autre.

Nous dirons donc que :

« Quand on a plusieurs points en ligne droite^ et leur centre des moyennes » distances; si Ton fait la transformation homographique^ on aura des points » en ligne droite^ et \e\xv centre des moyennes harmoniques, par rapport au » point qui correspond à Tinfini de la droite sur laquelle sont les points de » la première figure. »

203. Remarquons que Téquation (2) donne^ quand le point o' se confond

avec le point g' ,

^'^' ^'ik' ,~'^'

relation très-simple , entre les différents points et leur centre des moyennes harmoniques.

204. Si le point t' est pris à TinGni^ on aura^ dans Féquation (i),

i a ta

et elle deviendra

0 a -f-oo -k- 0 c -^ .,.n .og .

Le point o' est quelconque : cette équation exprime donc que le point g' est le centre des moyennes distances des points a', b', c', ... ; de sorte que : fe centre des moyennes harmoniques d'un système de points en ligne droite, relatif à un point de cette droite, est précisément leur centre des moyennes distances, quand ce point est à l'infini.

Ce qui a été remarqué par M. Poncelet *, et ne Tavait pas été par Mac- Laurin.

205. Soient des points a, b, c, ...., situés d'une manière quelconque sur un plan^ et g leur centre des moyennes distances. Ce point jouit de la propriété que si^ par tous ces points^ on mène des droites parallèles entre elles ,

* Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques. Voir Journal de M. Creiie, année 4828.

mais sous une direction arbitraire^ elles rencontreront une transversale quelconque ^ en des points dont le dernier sera le centre des moyennes distances de tous les autres. Faisant la figure homographique^ et observant que toutes les droites parallèles ont^ pour correspondantes^ des droites concourant en un même points et que ce point appartient à une droite qui correspond à la droite située à Tinfini sur le plan de la première figure^ on aura ce théorème :

Etant donnés, sur un plan, un système de points et une ligne droite; si, par un point pris arbitrairement sur cette droite, on mène des rayons à tous les points donnés, et un dernier rayon au centre des moyennes harmoniques des points où une transversale quelconque rencontre ces rayons, relatif au point où cette transversale rencontre la droite fixe; ce dernier rayon tournera autour d'un point fixe, quand le point pris sur la droite fixe parcourra cette droite.

Ce point fixe a été appelé^ par M. Poncelet, le centre des moyennes harmoniques du système de points^ relatif à la droite fixe*.