Il suit de là que

Deux surfaces du second degré, de révolution, qui ont un foyer commun, sont homologiques, et leur centre d'homologie est ce foyer.

Car si Ton conçoit une sphère ayant ce foyer pour centre, elle sera homologique à chacune des deux surfaces; d'où l'on conclut que celles-ci sont homologiques entre elles *.

En général, quand deux figures sont homologiques à une troisième, et ont avec elle le même centre d'homologie, elles sont aussi homologiques entre elles, et ont ce même point pour centre d'homologie.

En effet, soient S le centre d'homologie commun aux trois figures; a un point de la première, et a\ a" ses homologues dans la deuxième et la troisième. Soient P un plan de la première figure.

325. Ces deux théorèmes sont la source d^un grand nombre de propriétés des surfaces du second degré, de révolution, considérées par rapport à leurs foyers. Quelques-unes de ces propriétés, particulièrement celles qui ne concernent que les relations descriptives des surfaces, sont connues; mais beaucoup d'autres, où entre la considération des relations métriques, seront entièrement nouvelles. Nous exposerons celles-ci dans un paragraphe particulier (§ XXI>

326. Reprenons les deux surfaces homologiques A, A', dont la seconde a son centre de figure au centre d'homologie.

Considérons, dans la surface A', trois diamètres conjugués; leur propriété caractéristique est que le point situé à Finfîni sur chacun d'eux a pour plan polaire, par rapport à la surface, le plan des deux autres. Les trois droites homologues, dans la surface A, jouiront donc de la propriété que le point où chacune d'elles perce le plan fixe (qui est le plan polaire du point S), a pour plan polaire le plan des deux autres. D'où il suit que chacune de ces trois droites a sa polaire comprise dans le plan des deux autres. Ces trois droites sont donc ce que nous avons appelé axes conjugués, relatifs au points. Or ces trois droites sont, en direction, les trois diamètres conjugués de la surface A' ; donc

Chaque système de trois axes conjugués (Tufie surface du second degré, relatifs à un point fixe, forme, en direction, un système de trois diamètres conjugués dtune seconde surface du second degré, qui a son centre en ce point;

et P'y P'' les plans homologues dans les deux autres. Soient enfin ap, ap\ a"p" les perpendiculaires abaissées, des points a, a', a'\ sur les plans P, P\ P", respectivement. On aura

Sa ap Sa ap

d'où ^ —i! ^'^

Sa"~"Âï^'

Cette équation prouve que le point a" appartient à une figure homologique à celle à laquelle appartient le point a' (306). Les plans P', P" se correspondent dans ces deux figures; et le point S est leur centre d'homologie.

Ainsi le théorème est démontré.

Cette seconde surface est homologique à la proposée, et le centre d'homologie est le point fixe.

Les demi-diamètres de cette seconde surface se construisent par la formule

Sa Sa' = À — • ap

Nous donnerons^ plus loin^ deux autres constructions de ces demi-diamètres^ sans remploi du plan fixe^ qui est le plan polaire du point S^ par rapport à la proposée.