Il suit de là que
Chaque point du plan abc est lui-même son homologue dans les detix figures;
Et, par conséquent : deux plans correspondants des deux figures rencontrent le plan abc, suivant la même droite ;
Et deux droites homologues quelconques percent ce plan au même point.
On reconnaît, à ces propriétés descriptives, les figures homologiques de M. Poncelet. Le point d est leur centre d'homologie, et le plan abc leur plan d'homologie.
304. Ainsi, les figures homologiques rentrent dans la théorie des figures homographiques, et ne sont qu'un cas particulier du mode général de construction de celles-ci.
Les relations métriques, qui ont lieu d'une manière générale entre les figures homographiques, s'appliquent donc aux figures homologiques.
De là, nous allons conclure difTérentes relations métriques entre ces figures, . qui n'ont point encore été remarquées, et sur lesquelles repose une partie considérable des applications de la théorie des figures homologiques.
305. En général, les relations métriques des figures sont encore plus importantes et plus utiles à connaître que leurs relations purement descriptives, parce qu'elles sont susceptibles d'un plus grand nombre d'applications, et que d'ailleurs elles suffisent, presque toujours, pour arriver à la connaissance des relations descriptives. Aussi nous regardons comme le côté faible de l'école de Monge, en Géométrie spéculative, de s'appuyer spécialement, et par principe, sur les propriétés descriptives des figures. La méthode des transversales est plus féconde, et procure des résultats plus variés, plus gêné-
raux et plus complets. Un examen comparatif de quelque théories géométriques^ ou seulement de quelques théorèmes obtenus par les deux méthodes^ justifierait constamment cette observation.
306. Appliquons le principe du numéro 175 aux figures homologiques. Prenons^ pour Tun des deux plans fixes de la première figure^ un plan passant par le centre d'homologie : ce plan sera lui-même son homologue dans la seconde figure; et^ si Ton observe que le rapport des distances de deux points homologues^ a ce plan^ est égal au rapport des distances de ces points au centre d'homologie^ on en conclura que :
Dans deux figures homologiques , le rapport des dislances de deux points homologues, au centre dliomologie , est au rapport des distances de ces points à deux plans homologues quelconques, mais fixes, dans une raison constante, quels que soient ces points.
307. Ce théorème admel deux corollaires, qui sont deux propriétés importantes de la théorie des figures homologiques.
D'abord, nous pouvons prendre, pour représenter les deux plans fixes homologues des deux figures, \mr plan d'homologie; il en résulte que :
Dans deux figures homologiques, le rapport des distances de deux points homologues, au centre d'homologie, est au rapport des distances de ces deux points, au plan d'homologie, dans une raison constante.
Soient a, a' les deux points homologues, S le centre d'homologie, et a le |)oinl 011 la droite ^aa' rencontre le plan d'homologie. Le rapport des distances des deux |)oinls a, a', à ce plan, sera égal à ^. On aura donc, d'après renoncé du théorènïe.
Sa ota
— : — = coiist.
Sa' aa'
Cest la relation que nous avons déjà démontrée dans nos applications du principe de dualité (§ VII).
308. Ainsi, étant donnée une figure, et étant pris un point S et un plan fixe, si de ce point on mène une droite à chaque point a de la figure, qu'on
la jYToUmge jusqu'à sa rencontre en a avec le plan fixe, et qu'on prenne sur cette droite un point a' tel que l'on ait
Sa aa Sa aa
X étant une constante quelconque; le point a' appartiendra à une figure honiologique à la proposée.
Le point S et le plan fixe seront le centre et le plan d'homologie des deux figures.
La constante X peut être égale à Funité. Alors les points a, a' sont conjugués harmoniques par rapport aux deux points S^ <x.
309. Soit I' le plan de la seconde figure^ qui correspond à Tinfini de la première : ce plan est parallèle au plan d'homologie^ parce que deux plans homologues doivent se couper sur ce plan d'homologie.
Le plan qui^ dans la première figure^ correspond à Tinfini de la seconde, sera pareillement parallèle au plan d'homologie.
Le rapport des distances d'un point a' de la seconde figure, à un plan fixe mené par le point S, et au plan I', sera dans une raison constante avec la distance du point a de la première figure au même plan fixe (176).
Or, le rapport des distances des deux points a, a^, au plan fixe, esl égal à^. On a donc, en appelant a'i' la perpendiculaire abaissée du point a' sur le plan T,
Sa' Sa= X .
X étant une constante , pour tous les points des deu^ figures.
Ainsi : si d'un point fixe on mène un rayon à chaque point a d^une figure, et que, sur ce rayon, on prenne un point a' tel, que le rapport de ses distances au point fixe et à un plan fixe, soit au rayon dans une raison constante; ce point appartiendra à une seconde figure, homologique à la première.
Le centre d'homologie sera le point fixe; et le plan d'homologie sera parallèle au plan fixe.
La distance entre ces deux plans sera égale à la valeur inverse de la raison constante donnée.
Car pour un point <x du plan d'homologie^ on aura Sa = Sa', et 1 = ^ ou al'— X; el, d'après renoncé, la raison constante est-*
310. Ainsi, si une figure A est donnée, et que, le point S et le plan V étant pris arbitrairement, on mène, de ce point, des rayons à tous les points a de cette figure; puis, qu'on prenne, sur ces rayons, des points a' déterminés par féquation
Sa' So=x
VOS fH)ints a' apfHU'tiefidront à une seconde figure A', homologique à la premit^re.
Le centre d'homologie sera le point S, et le plan d'homologie sera parallèle au plan I'. Sa distance à ce plan sera égale à la constante l.
RiViproquenient, si la figure A' est donnée, et que le point S et le plan l soitnt pris arbitrairement, t équation
Sa'
ai
déterminera les points a d'une seconde figure A , qui sera homologique à la
pnèfHksée.
Os théorèmes sont susceptibles de nombreuses applications.
3ii. I' étant le plan de la figure A', qui correspond à Tinfini de la llguro A; soit J le plan de la figure A, qui correspond à Tinfini de A'; soiont aj la distance d'un point a de la figure A au plan J, et a'i' la distance tlu ptunt correspondant a' au plan l. On aura, d'après le principe du numéro 177,
aj. a'i' = coost.
Ollt^ t'H|uation donne une manière nouvelle de former la figure homolo- Hiuut> duuo ligurt> proposée, au moyen du centre d'homologie et de deux \\U\\\H, iMiralItMos entre eux.
Lia eonstructîon des figures homologiques serait susceptible d'une plus ample discussion^ dans laquelle nous n'entrerons pas ici.
§ XVIII. Applications de la théorie des figures homologiques. — Propriétés générales des surfaces géométriques.
312. Soient deux surfaces géométriques^ d'un degré quelconque^ homologiques entre elles; et soit S leur centre d'homologie.
Que par une droite ^ prise arbitrairement dans un plan fixe P^ on mène les plans tangents à la première surface; soient a, by c. .... leurs points de contact. A ces plans tangents correspondront des plans tangents à la seconde surface^ en des points a', b', c'y.... homologues aux points Uy by Cy....; et ces plans tangents passeront par une même droite^ située dans un plan fixe P^^ correspondant^ dans la seconde figure^ au plan P de la première.
Soient apy a'p'y les perpendiculaires abaissées^ des points a, a', sur les plans P^ P'^ respectivement; on aura
Sa ap
^ : :;5 = const. = i (506)
oa ap
Soit a^Ti' la perpendiculaire abaissée du point a' sur un plan fixe n'^ mené arbitrairement dans l'espace. Mettons l'équation sous la forme
Sa ap qI'k
Soient^ pareillement^ bpy b'p les perpendiculaires abaissées^ des points b^ Vy sur les plans P^ P'^ respectivement^ et Vt! la perpendiculaire abaissée du point b' sur le plan n'; on aura de même
Et ainsi pour les autres points.
Or^ les poiots a\ b', .... étant les points de contact de la seconde surface avec des plans tangents menés par une même droite^ prise dans un plan fixe P, on a (218)
a>' by
-♦-... = const.
On a donc aussi
Sa ap 86 bp
r^ '"^' "*" ^-JT-. •*- - =const., Sa a TT So bit
ou
So Sa' 86 S6' ap an ()p b n
Ce qui exprime ce théorème :
Si l'on a deux surfaces géométriques homologiques, et que, par une droite prise arbitrairement dans un plan fixe, on mène les plans tangents à la pre^ mière surface; puis, qu'on fasse le rapport des distances de chaque point de contact, au centre d'homologie et au plan fixe, et qu'on divise ce rapport par celui des distances, du point homologue dans la seconde surface, au même point et à un plan fixe mené arbitrairement dans l'espace; la somme de tous les quotients ainsi formés sera constante.
Ce théorème donpe lieu à deux corollaires qui sont eux-mêmes des propriétés très-générales des surfaces géométriques.
313. Que Ton suppose un second plan n'' parallèle au plan n^^ et qu^on fasse ^ pour ce second plan^ Féquation analogue à Téquation précédente; puis^ qu'on retranche ces deux équations Tune de Tautre : tous les termes du premier membre de Téquation résultante auront un facteur commun^ qui sera la distance entre les deux plans n'^ n"; faisant passer ce facteur dans le second membre^ on aura Téquation :
Sa ^ , S6 ^,,
— : Sa -♦- -- : S6 H- • • = const. ;
ap bp
ce qui exprime ce théorème :
MEMOIRE DE GEOMETRIE. 78i
Quand deux surfaces géométriques sont hamologiques;sipar une droite, prise dans un plan fixe, on mène les plans tangents à la première; qu'on fasse le rapport des distames de chaque point de contact au centre d'homologie et au plan fixe, puis le quotient de ce rapport divisé par la distance du point homologue, dans la seconde surface, au centre d'homologie; la somme de totis ces quotients sera constante, quelle que soit, dans le plan fixe, la droite par laquelle on a mené les plans tangents.
314. Supposons que le plan n'^ dans le théorème (312)^ se confonde avec le plan P^ et que celui-ci soit situé à TinOni; les perpendiculaires ap, bp, aV, b'n^y .... seront infinies^ et les rapports
ap bp
seront égaux à Tunité; de sorte que Péquation (1) deviendra
S(i S6 ^^... = const.
Celle-ci prouve que :
Quand deux surfaces géométriques sont homologiques; si l'on mène à la première tou^ ses plans tangents parallèles à un même plan quelconque ; la somme des distances des points de contact, au centre d'homologie, divisées respectivement par les distances des points homologues de la seconde s^irface, au même centre d'homologie, sera comtante, quel que soit le plan auquel les plans tangents sont parallèles.
315* Ces trois théorèmes s'appliquent à des courbes géométriques homologiques y planes ou à double courbure. Conséquemment ils s'appliquent à deux sections planes d'un cône quelconque géométrique^ parce que ce sont deux courbes homologiques^ dont le centre d'homologie esl le sommet du cône.
Appliquons donc le théorème (312) à deux sections planes d'un cône^ et remarquons que les perpendiculaires^ abaissées des différents points d'un plan sur un autre plan fixe^ sont proportionnelles aux perpendiculaires abaissées^
des mêmes points^ sur la droite d'intersection des deux plans; on aura cette propriété générale des surfaces coniques :
Si l'on fait deux sections planes dam un cône géométrique; et que, par un point d'une droite fixe, prise dans le plan de la première section, on mène toutes les tangentes à cette courbe; quon fasse le rapport des dis-tances de chaque point de contact, au sommet du cône et à la droite fixe, et qu^on divise ce rapport par celui des distances du point homologue dans la seconde section, au sommet du côm et à une droite fixe menée arbitrairement dans le plan de cette seconde courbe; la somme de tous les quotients ainsi formés sera constante, quel que soit le point de la droite, prise dans le plan de la première section, par lequel on a mené les tangentes à cette courbe.
316. Si Ton suppose que la droite (ixe^ dans la seconde section ^ soit à Tinfîni^ le théorème prendra cet énoncé :
Si l'on fait deux sections planes dans un cône géométrique; et que, par chaque point d'une droite fixe, prise dans le plan de la première section, on mène toutes les tangentes à cette courbe ; la somme des distances des points de contact, au sommet du cône, divisées respectivement par les distances de ces points à la droite fixe et par les distances, au sommet du cône, des points correspondants, dans la seconde courbe, sera constante.
317. Si la droite fixe^ prise dans le plan de la première section^ est à Tinfini^ le théorème devient le suivant :
Si l'on fait deux sections planes dans un cône géométrique, et que Fon mène â la première courbe toutes ses tangentes parallèles à une même droite quelconque; la somme des distances des points de contact, au sommet du cône, divisées respectivement par les distances, an sommet, des points homologues dans- la seconde section, sera une quantité constante.
Ces théorèmes s'appliquent d'eux-mêmes à deux courbes planes homologiques^ situées dans un même plan^ si^ au sommet du cône^ on substitue^ dans leur énoncé , le centre d'homologie des deux courbes planes.
§ XIX. Surfaces du second degré^ homologiques. — Propriété fondamentale
DES systèmes de TROIS AXES CONJUGUÉS, RELATIFS A UN POINT.
318. Deux surfaces du second degré ^ honiologiques, sont inscrites à un même cône qui a pour sommet le centre d'homologie; ce cône peut être imaginaire^ bien que son sommet soit réel.
Mais on ne peut pas dire, d'une manière absolue, que, réciproquement, quand deux surfaces du second degré sont inscrites à un même cône, elles sont toujours homologiques. Par exemple, si Tune des deux surfaces est un hyperboloïde à une nappe et Tautre un hyperboloïde à deux nappes ou un ellipsoïde, il est évident qu'il ne peut y avoir homologie; car Thyperboloïde à une nappe pouvant être engendré par une ligne droite, sa figure homologique ne peut être aussi qu'une surface sur laquelle on peut tracer des lignes droites, c'est-à-dire un hy|>erboloïde à une nappe, ou un paraboloïde hyperbolique.
Il est un autre cas où deux surfaces du second degré, inscrites à un même cône, ne sont pas homologiques; c'est celui où l'une des surfaces est un hyperboloïde à deux nappes, placé à l'extérieur du cône, et l'autre un ellipsoïde, ou bien un hyperboloïde à deux nappes, compris dans l'intérieur du cône : dans ce cas, aucune droite menée par le sommet du cône ne peut rencontrer en même temps les deux surfaces; par conséquent, aucun point de Tune de ces surfaces ne peut avoir son homologue dans l'autre.
Mais dans les autres cas, où une droite menée par le sommet du cône pourra rencontrer les deux surfaces en même temps, elles seront homologiques; et l'on pourra prendre pour leur plan d'homologie, indifféremment, Fun ou l'autre des deux plans des courbes d'intersection (réelles ou imaginaires) des deux surfaces. Gela résulte du théorème général démontré dans le paragraphe VIII de nos applications du principe de dualité *.
* Généralement, deux surfaces du second degré, inscrites à un cône, se coupent suivant deux courbes planes (réelles ou imaginaires). Ce théorème est connu; mais il me semble qu on
319. Les différents modes de construction des figures homologiques ^ q^e
renonce d'une manière trop absolue; car on suppose que, dans le cas même où les deux courbes sont imaginaires, leurs plans sont toujours réels.
Cela n*e$t pas; car ces plans peuvent être imaginaires, comme il arrive dans toutes les question où les choses que Ton considère sont doubles^ ou admettent deux solutions.
Pour en donner un exemple, que Ton conçoive une section elliptique faite dans uo hyperbololde à une nappe, et un cône circonscrit à cette surface, suivant cette section; qu'on fasse dans le cône une seconde section elliptique, qui rencontre la première en deux points, et qu'on inscrive au cône un ellipsoïde qui le touche suivant cette seconde section. Cet ellipsoïde et rhyperboloîde devront se couper suivant deux courbes planes, réelles ou imaginaires. Dans ce cas, ces deux courbes sont imaginaires; car Tellipsoïde est renfermé dans l'intérieur du cône, et rhyperboloîde est tout à fait en dehors. Mais de plus, leurs plans sont aussi imaginaires; car ils doivent passer par les deux points d'intersection des deux courbes de contact du cône et des deux surfaces ; et, si ces plans étaient réels, chacun d'eux couperait réellement les deux surfaces; ce qui n'est pas possible puisqu'elles n'ont point de courbe d'intersection réelle.
Ainsi, dans ce cas, il est démontré que les deux plans sont imaginaires : il n'y a de réel que leur droite d'intersection.
L'Analyse conduit aux mêmes conclusions. Car soit Fe^oréqualion d'un cône, ou, plus généralement, l'équation d'une surface quelconque du second degré; l'équalion d'une seconde surface du second degré, inscrite h la première, sera de la forme
F-+-mP« = 0,
P = 0 étant l'équation du plan de la courbe de contact des deux surfaces.
Pareillement, l'équation d'une troisième surface, inscrite aussi à la première, sera
P' = 0 étant l'équation du plan de la courbe de contact. On tire, de ces deux équations,
mP«-m'P'* = 0;
d'où
Cette double équation représente les deux plans sur lesquels se coupent les deux surfaces. Mais on voit que ces plans ne seront réels que si les coeffîcicnts m et m' sont de même signe; et qu'ils seront imaginaires quand ces deux coefficients seront de signes contraires. Dans ce cas, l'équation donne les deux suivantes
Ce qui prouve que les deux surfaces n'ont pas d'autre point d'intersection que sur la droite même sur laquelle se coupent les deux courbes de contact. Les deux points d'intersection
nous avons donnés dans le paragraphe XVII, appliqués aux surfaces du second degré, conduisent a différentes propriétés nouvelles de ces surfaces, relatives particulièrement à leurs relations métriques. Nous n'entrerons pas dans le détail de ces diverses propriétés; nous allons seulement examiner un mode de construction qui va nous conduire à une propriété nouvelle et fondamentale des systèmes de trois axes conjugués^ relatifs à un point.
320. Soient une surface du second degré A, un point fixe S, et un plan fixe P mené arbitrairement. Que, du point S, on mène une droite à chaque point a de la surface; qu'on prenne sur cette droite un second point a' tel que Ton ait
Sa Sa' = > — ,
ap étant la perpendiculaire abaissée du point a sur le plan P, et X étant une constante; le point a^ appartiendra à une seconde surface du second degré, homologique à la proposée. Le centre d'homologie sera le point S; et, dans cette seconde figure, Tinfini correspondra au plan P de la première.
Deux plans homologues, dans les deux figures, auront pour pôles, pris par rapport aux deux surfaces respectivement, deux points homologues. Supposons que le plan P ait pour pôle, dans la première surface, le point S, centre d'homologie; ce point étant lui-même son homologue, sera le pôle du plan situé à Finfini par rapport à la nouvelle surface; c'est-à-dire que ce point S est le centre de figure de la nouvelle surface. Ainsi :
Etant donnée une surface du second degré; tout point de Pespace peut être pris pour le centre d'hoinologie d'une seconde surface homologique à la proposée^ et ayant son centre de figure en ce point.
321. Cette seconde surface est indéterminée de grondeur, puisque ses demi-diamètres Sa' ont pour expression
So' = X— > ap
peuvent être imaginaires; mais eette droite est toujours réelle, parce qu'elle est i*intersection des plans des deux courbes de contact.
où l est une constante arbitraire. Mais cette surface est déterminée d^espèce pour une position donnée du point S; c'est-à-dire que, quelle que soit la grandeur de cette surface, elle sera toujours semblable à une certaine surface unique, dont la nature ne dépendra que de la position du point S, par rapport à la surface proposée.
322. Mais si la surface A' est donnée, la surface A sera indéterminée d'espèce et de position; parce que, pour la former, on disposera arbitrairement du plan fixe P. On construira ses points par la formule
— = - . Sa .
ap X
323. Si la surface A' est une sphère, on aura ^=r constante. Or, il est évident qu'à cause de la forme symétrique de la sphère, la surface homologique A doit être de révolution, et avoir, pour axe de révolution, la perpendiculaire au plan fixe, menée par le centre de la sphère; Téquation — »= const. exprime donc une propriété des surfaces de révolution. Propriété connue, du reste.
Ainsi nous pouvons dire que :
Une surface du second degré, de révolutiony et une sphère qui a son centre en l'un des foyers de cette surface , sont deux figures homologiques ; leur centre d^hotnologie est ce foyer.
