La formule
Sa
ap
peut être transformée^ de deux manières, en une autre, qui donnera les demidiamètres Sa' de la surface homologique A', sans qu'on se serve du plan P. Soient b le second point où la droite Sa rencontre la surface proposée A'; bp, la perpendiculaire abaissée, de ce point, sur le plan P; et 6' le point homologue, sur la surface A'. On aura
hp
Mais S6' = Sa^, puisque ce sont deux demi-diamètres de directions opposées ;
S6 pb
la surface A, les plans tangents à cette surface, aux points a, 6, se coupent
donc Sa' = >.~* Le plan P étant le plan polaire du point S, par rapport à
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sur ce plan; on a donc, d'après la propriété générale des surfaces géométriques (219),
— rfc 7— =« const. ; ap bp
le signe + étant pris quand les perpendiculaires ap, bp seront dirigées dans le même sens, et le signe — , quand elles le sont en sens contraire. Le premier cas a lieu quand le point S est dans Tintérieur de la surface, et le second, quand ce point est pris au dehors de la surface. De cette équation, Ton conclut
Sa' Sa' i
— -db— = const.= -; Sa So fA
d'où
Ainsi cette équation servira à déterminer les demi-diamètres de la surface A^ de même que Téquation (1).
On prendra le signe + quand le point fixe S sera dans Fintérieur de la surface, et le signe — quand il sera au dehors.
On conclut, de cette équation, ce théorème :
Si, autour d'un point fixe, on fait tourner une droite qui rencontre une surface du second degré en deux points, et qu'on prenne sur cette droite, à partir du point fixe, un segment dont la valeur inverse soit proportionnelle à la somme des valeurs inverses des distances, au point fixe, des deux points de la surface, si ce point est dam l'intérieur de la surface , ou à la différence des valeurs inverses des deux mêmes distances , si le point fixe est au dehors de la surface; C extrémité de ce segment sera sur une seconde surface du second degré, qui sera homologique à la proposée ; le centre d'homologie sera le point fixe; et ce point sera aussi le centre de figure de la nouvelle surface.
335. Les différents théorèmes que nous avons indiqués ci-dessus, au
sujet du rapport — , s'appliquent, comme on voit, à l'expression
\Sa 86/
Ainsi nous pouvons dire que, si l'on demande de mener la droite Sab, de manière que cette quantité soit un maximum ou un minimum y trois directions de la droite satisferont à la question ; et ces trois directions seront à angle droit. Si le point S est au dehors de la surface, elles seront les trois axes principaux du cône circonscrit à la surface et ayant son sommet au point S.
Si Ton demande que l'expression
VSa 86/
ait une valeur donnée, la droite Sa6 aura pour lieu géométrique un cône du second degré *; et ce cône aura, pour ses axes principaux, les trois directions pour lesquelles cette expression a une valeur maximum ou wtnimum.
Si la droite Saô prend trois directions rectangulaires, la somme des carrés des valeurs correspondantes de l'expression
iSa 86;
sera constante. Ëlc.
* Ce sont ces cônes du second degré dont M. Legendre s'est servi pour régler la marche des intégrales dans son Mémoire sur l'attraction des sphéroïdes sur des points extérieurs, et dont il n'a donné que Texpression analytique. Et les droites qui jouissent d'une propriété de maximum y et qui marquent la limite des intégrales, sont précisément les nxes conjugués rec> tiingulnircs de rdlipsoïde attirant, relatifs au point attiré; ce sont aussi les axes principaux communs a tous ces cônes. Les considérations géométriques précédentes procurent une interprétation géométrique de plusieurs autres résultats analytiques obtenus par M. Legendre dans HOU Mémoire, et font connaître particulièrement la signification d'un beau théorème relatif a l'iiUraction de différents ellipsoïdes, semblables et concentriques, sur un même point extérieur. (Voir Mémoiren de l'Académie des Sciences de Paris; année 1788, p. 454.)
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