I . S6zhSa
Sa' " (P
Or, si le point S est dans l'intérieur de la surface, (Sa + S6) est la corde comprise dans la surface, sur la droite Sab; et, si le point S est au dehors de la surface, (S6 — Sa) est cette corde; la désignant par c, on a donc, dans les deux cas,
ou
Sa'
Sa'
ce qui exprime que :
Si, autour d'un point fixe^ on fait tourner une droite qui rencontre une surface du second degré en deux points, et qu'on porte sur cette droite, à partir du point fixe , un segment proportionnel au carré du diamètre de la surface qui lui est parallèle, divisé jmr la corde comprise sur cette droite dans la surface; l'extrémité de ce segment sera sur une surface du second degré, qui sera homologique à la proposée. Le point fixe sera le centre d'homologie des deux surfaces, et le centre de figure de la seconde.
On déduit de là plusieurs théorèmes relatifs à l'expression -, correspondant aux diiïérentes propriétés, connues, des diamètres d'une surface du second degré. Nous n'avons pas besoin d'insister sur cet objet.
§ XX. Propriétés générales, nouvelles, des surfaces du second degré.
337. Les propriétés générales des surfaces géométriques, démontrées dans le paragraphe XYIII, s'appliquent aux surfaces et aux courbes du second degré, et donnent lieu à de nombreux corollaires, où se trouvent plusieurs propriétés nouvelles de ces surfaces et de ces courbes. On y distinguera, particulièrement, certaines propriétés concernant leurs foyers. Nous réunirons celles-ci dans le paragraphe suivant. Nous allons présenter d'abord des propositions d'une plus grande généralité.
Supposons, dans le théorème (3i 2), que les deux surfaces soient du second degré : par une droite prise dans le plan fixe on pourra mener deux plans tangents à la première surface; la corde qui joindra les deux points de contact passera par un point fixe, qui sera le pôle de ce plan, par rapport à cette surface. Nous pouvons donc énoncer ce théorème :
Quand deux surfaces du second degré ont un centre d' homologie ; si, autour d'un point flxe^ on fait tourner une corde de la première surface, les rapports des distances des extrémités de cette corde au centre (ThomO" logie et au plan polaire du point fixe^ divisés respectivement par les rapports des distances des deux points homologues dans la seconde surface, au même centre d' homologie et à un plan fixe mené arbitrairement, auront leur somme ou leur différence constante.
Ce sera la somme y si le point fixe est pris dans l'intérieur de la surface, et la différence y s'il est pris au dehors.
Ainsi soient a, b les extrémités de la corde de la première surface; a', b' les points homologues de la seconde; a/>, bp les perpendiculaires abaissées, des points a, 6, sur le plan polaire du point fixe, pris par rapport à la première surface; et a'7r, b^Ti les perpendiculaires abaissées, des points a', b'y sur un plan fixen mené arbitrairement; on aura
Sa Sa' S6 S6'
— : — ± — : — = coost.
ap a'n bp b'n
338. Si le plan fixe mené arbitrairement est à Finfini^ on conclut , du théorème (313), celui-ci :
Quand deux surfaces du second degré ont un centre d'homologie; si, autour d*un point fixe, on fait tourner une corde de la première surface; la somme ou la différence des rapports des distances des extrémités de la corde au centre d'homologie et au plan polaire du point fixe, divisés respectivement par les distances des points ho)nologues de la seconde surface au centre d'homologie, sera constante.
Ainsi Ton a
Sa ^ , S6 ,
— : Sa dt — : S/>' = const.
ap bp "
On prendra le signe + quand le point fixe sera dans Fintérieur de la surface, et le signe — quand il sera au dehors.
339. Si ce point fixe est le centre de la première surface, son plan polaire sera à Finfini, et le théorème prendra cet énoncé :
Quand deux surfaces du second degré sont homologiques ; si, du centre d'homologie, on mène deux rayons aux extrémités d'un diamètre de la première surface, la somme ou la différence de ces rayons, divisés respectivement par les rayons menés aux points homologues de la seconde surface, sera constante.
Ce sera la somme quand la première surface sei*a un ellipsoïde, et la différence quand elle sera un hyperboloïde.
Si, dans ce théorème, on suppose que le centre d'homologie des deux surfaces soit le centre de figure de la première, on obtient le théorème du numéro (334), que nous avons démontré directement.
340. Dans les trois théorèmes précédents, on peut supposer que la seconde surface se confonde avec la première, de manière que deux points de celle-ci, situés en ligne droite avec le centre d'homologie, seront homologiques; et le plan d'homologie sera le plan polaire du point pris pour centre d'homologie. Car soient a, a' les points où une droite, menée par le point fixe S, rencontre une surface du second degré, et soit a le point
où elle rencontre le plan polaire P du point S; on aura^ comme Fon sait.
Sa aa Sa ota
— = — . ou — j.— = i = coDsl.;
Sa aa Sa aa
ce qui prouve que les points a et a' peuvent être considérés conmie appartenant à deux figures homologiques (308).
Si le point S est pris au dehors de la surface^ son plan polaire^ qui est le plan d'homologie^ divisera la surface en deux nappes^ qui pourront être considérées comme étant les deux figures homologiques.
341 • D'après cela, le théorème (337) donne le suivant : Si, autour d'un point fixe 0, on fait tourner une corde d'une surface du second degré; que, d'un second point fixe S, on mètw aux extrémités a, b de cette corde, deux droites qui rencontreront la surface eti deux autres points a', h'; et qu'on appelle ap, bp les perpendiculaires abaissées, des points a, b, sur le plan polaire du point 0, et a'n, b'îr les perpendiculaires abaissées, des points a', b', sur un autre plan fixe mené arbitrairement; an aura
Sa Sa' S6 S6'
— : -^ q= — : — - = consl.
ap ait bp 0 n
On prendra le signe -{- quand le point 0 sera dans Tintérieur de la surface, et le signe — quand il sera au dehors.
342. Si le plan fixe pris arbitrairement est à Tinfini, Téquation se réduit à
Sa S6
— : Sa' db — : S6' = consl (338)
ap bp
343. Si le point 0 est le centre de la surface, son plan polaire est à Tinfini, et Téquation, d'après le théorème (339), se réduit à
Sa S6
— db — - = consl.
Sa' S6'
Donc :
Si, d'un point fixe, on mène deux rayom aux extrémités d'un diamètre
d'une surface du second degré y ils reficontreront la surface en deux autres points; et la somme ou la différence des deux rayons divisés, respectivement, par les segments compris entre le point fixe et ces deux autres points, sera comtante.
Ce sera la somme, si la surface est un ellipsoïde^ et la différence, si elle est un hyperboloïde.
344. Si^ sur un diamètre quelconque d'une surface du second degré^ on prend deux points fixes, situés de part et d'autre et à égale distance du centre; les droites menées de Pun de ces points aux extrémités d'un autre diamètre quelconque, seront égales, réciproquement, aux droites menées de l'autre point aux extrémités du môme diamètre. D'après cela, on peut donner au théorème précédent cet autre énoncé :
Si, sur un diamètre quelcomiue d'une surface du second degré, on prend, de part et d'autre et à égale distance du centre, deux points fixes, et que de ces jjoints on mène des rayons à un point quelconque de la surface , la somme ou la différence de ces deux rayons divisés, respectivement, par le autres segments faits sur eux entre les poi^its fixes et la surface, sera constante.
Ainsi soient F, F' les deux points fixes pris sur un diamètre quelconque d'une surface du second degré, de part et d'autre et à égale distance du centre; que, de ces points, on mène deux rayons aboutissant à un même point quelconque m de la surface, et rencontrant cette surface en deux autres points n, n^ ; on aura, quel que soit le point m,
Fm F'm
—- rfc — — = consl.
Fn F'n'
Ce sera + si la surface est un ellipsoïde , et — si elle est un liyperboloîde.
345. Dans les trois théorèmes des numéros 337, 338, 339, les deux surfaces peuvent se réduire à des coniques situées sur un même cône; alors on
aura diverses propriétés des cônes du second degré.
Ainsi le théorème (337) donne le suivant :
Etant fait deux sections planes dans un cône du second degré; si, autour d'un point fixe , pris dans le plan de la première section , on fait tourner une corde qui rencontre celle courbe aux points a, b, et que ap, bp soient les perpendiculaires abaissées de ces points sur la polaire du point fixe , prise par rapport à cette première section^ et dJny b'Tr les perpendiculaires abaissées, des points homologues de la seconde section, sur une droite fixe menée arbitrairement dam le plan de cette courbe; on aura, en appelant S le sommet du cône.
Sa Sa' 86 S6'
— :-- zfc— :77- = const.
ap an bp bit
Ce sera le signe + quand le point fixe pris dans le plan de la première section sera intérieur à cette courbe^ et le signe — quand il sera au dehors.
346. Si la droite prise dans le plan de la seconde section est à TinGni^ Téquation devient
Sa S6 .
— : Sa' zfc — : S6' = consl.
ap bp
347. Si le point fixe, pris dans le plan de la première section^ est le centre de cette courbe, la polaire de ce point est à Finfini, et Téquation devient
Sa 86
— ifc — =const.;
ce qui exprime que :
Si l'on fait deux secliom planes dans un cône du second degré, la somme ou la différence des arêtes menées aux extrémités (Tun diamètre quelconque de la première section, divisées respectivement par les segments compris sur ces arêtes, entre le sommet du côtie et la seconde section, sera caW' stante.
Ce sera la somme, si la première section est une ellipse, et la différence, si elle est une hyperbole.
348. Si, dans le théorème (346), on suppose que le cône soit de révolution , et que la seconde section soit un cercle, les arêtes Sa', Sa' seront de longueur constante; on aura donc Féquation
Sa S6
— ± r- == const. ;
ap bp
ce qui exprime que :
Une section plane quelconque étant faite dans un cône de révolution ; si, autour d'un point fixe du plan de cette courbe, on fait tourner une droite qui la rencontre en deux points; la somme ou la différe^ice des distances de ces deux points au sommet du cône, divisées respectivement par leurs distances a la polaire du point fixe, prise par rapport d la courbe, sera constante.
Ce sera la somme, quand le point fixe sera pris à Tintérieur de la courbe, et la différence, quand il sera pris au dehors.
349. Silepoint fixe est le centre de la courbe, Péquation devient
Sa d: S6 = const.
D'où Ton conclut que :
Quand un cône de révolution passe par une section conique, la somme ou la différence des arêtes aboutissant aux extrémités d'un diamètre de cette courbe est constante.
Ce sera la somme, si la courbe est une ellipse, et la différence, si elle est une hyperbole.
350. Si, dans le théorème (347), on suppose que le cône soit de révolution; et que la première section soit un cercle, son centre sera sur Taxe du cône, et le théorème prendra cet énoncé :
Quand un cône de révolution passe par une conique, la somme des va-leurs inverses des arêtes comprises dans un plan quelconque, nwié par Caxe du cône, est cotistante.
§ XXI. Propriétés nouvelles des surfaces du second degré, de révolution,
ET DES cônes du SECOND DEGRÉ.
351. Nous avons démontré (324) que : Quand deux surfaces du second degré^ de révolution, ont un foyer commun, quelle que soit la position respective de ces deux surfaces, elles sont homologiques , et leur centre d'homologie est leur foyer commun.
Appliquons aux deux surfaces le Ihéorème (337); nous aurons celui-cî : Quand deux surfaces du second degré ont un foyer commun F; si, autour d'un point fixe quelconque 0, on fait tourner une corde de la première 5wrface, et que a et h en soient les extrémités; qu'on mène les rayons Fa, Fb, qui rencontrent la seconde surface aux points a', b', homologues des points a, b ; que ap, bp soient les perpendiculaires abaissées, des points a, b, sur te plan polaire du point 0, pris par rapport à la première surface, et a'ir, b'w les perpendiculaires abaissées, des points a', b', sur un autre plan fixe n, mené arbitrairement dans l'espace; on aura
Sa Sa' 86 Sb'
— : -— ih -— : 77- = consl.
ap an bp on
FjC signe + ayant liea quand le point flxe est pris à Tintérieur de la preiniôre surface, et le signe — quand il est pris au dehcfrs.
