A'B AB = — .R

Donc :

Pour faire la transformation dune relation entre certaines lignes d'une figure proposée, il suffit de remplucer, dans cette relation, ces lignes par les lignes correspondait tes de la figure homographique , divisées , respective^ ment, par les demi-diamètres d'un ellipsoïde quelconque, qui leur seront parallèles, et multipliées par une constante.

Si la relation proposée est homogène ^ on prendra cette constante égale à Tunité.

389. Pour les relations d'aires^ concevons toujours une sphère faisant partie de la figure proposée. Soient S une aire plane, et 2 la surface du carré construit sur deux rayons rectangulaires de la sphère, compris dans un plan diamétral parallèle au plan de Faire S. Il y aura, dans la seconde figure, une aire plane S' et la surface 2' du parallélogramme construit sur deux demi-diamètres conjugués de Fellipsoïde correspondant à la sphère, ces demidiamètres étant compris dans le plan diamétral parallèle au plan de Taire S^; f'i Ton aura

d'oii

£ (»st une constante, quelle que soit la direction du plan de Taire S. Oinnéq uemment :

Pour faire la transformation d'une relation entre des aires planes d'une figura, il suffit de substituer, dans cette relation, à ces aires, les aires corrttêpoiidantes de la figure homographique, divisées respectivement par les

surfaces des parallélogrammes constfniits sur deux demi-diamètres conjugués d'un certain ellipsoïde^ compris dans les plans parallèles à ceux de ces aires, et multipliées par une constante.

Si la relation proposée est homogène^ on prendra cette constante égale à Tunité.

390. Enfin, nous pouvons énoncer tout de suite cette troisième règle : Pour faire la transformation d'une relation entre les volumes de diff^é-

rentes parties d' mie figure, il suffit de substituer à ces volumes, dans cette relation , les volumes des parties correspondantes de la seconde figure, multipliés respectivennent par une comtante.

Si la relation proposée est homogène, on prendra cette constante égale à Tunité.

391. On voit que ces principes de transformation introduiront généralement, dans la nouvelle figure, la considération d'un ellipsoïde.

Gela donne lieu aux observations suivantes, dont l'application se présentera dans beaucoup de questions :

1" Get ellipsoïde auxiliaire est indéterminé de position; et généralement il est indéterminé de forme;

2° S'il se trouve une sphère dans la première figure, on doit prendre dans la seconde figure, pour Tellipsoïde auxiliaire, Tellipsoïde même correspondant à la sphère, ou du moins un ellipsoïde homothétique (semblable et semblablement placé); parce que deux corps homothétiques, dans la première figure, donnent lieu, dans la nouvelle figure, à deux corps qui sont aussi homothétiques entre eux ;

3"" Dans les théorèmes qui, par leur nature, sont susceptibles de l'application du principe des relations contingentes, on pourra substituer, à l'ellipsoïde auxiliaire, une autre surface du second degré.

392. Nous allons faire diverses applications de ce mode de déformation homographique.

Prenons d'abord une sphère : le principe de déformation donnera un ellipsoïde à trois axes inégaux; et les propriétés de la sphère se convertiront immédiatement en propriétés de Tellipsoïde. Il est évident qu'au centre de

la sphère correspond le centre de Tellipsoïde; et qu'à trois diamètres rectangulaires de la sphère correspondent trois diamètres conjugués de Fellipsoïde.

393. Le cube construit sur trois rayons rectangulaires quelconques a toujours le même volume; donc

Le rhomboïde construit sur trois demi-diamètres conjugués d'un ellipsoïde a toujours le même volume, quel que soit le système de ces trois diamètres.

Soient a^byC les trois demi-diamètres principaux de Fellipsoïde : le volume du rhomboïde construit sur trois autres demi-diamètres conjugués sera toujours égal à abc.

394. Le volume de la sphère est égal au cube construit sur le rayon ^ multiplié par I tt; donc

Le volume de P ellipsoïde est égal au volume du rhomboïde construit sur trois demi-diamètres conjugués, multiplié par | tt, c est-à-dire égal à \ TT abc.

395. Quand deux sphères sont concentriques^ les plans tangents à la plus petite retranchent de la plus grande des segments égaux; donc :

Quand deux ellipsoïdes sont concentriques et homothétiques , les plans tangents au plus petit retranchent, du plus grand, des segments équivalents.

Les secteurs correspondant à ces segments sont aussi équivalents.

Les cônes circonscrits à Tellipsoïde, suivant les bases des segments^ ont donc des volumes égaux.

396. Prenons ce beau théorème d'Archimède : Un segment de sphère est au cône qui a même base et même hauteur, comme le rayon de la sphère^ plus la hauteur de Fautre segment^ est à la hauteur de cet autre segment. [De la sphère et du cylindre; livre II, proposition 3.)

On en conclut immédiatement cet autre théorème, démontré aussi par Archimède, pour Tellipsoïde de révolution seulement (Des sphéroïdes et des conoïdes, proposition 32) :

Un segment d'ellipsoïde quelconque est au cône qui a même base et mé^ne sommet, comme la moitié du diamètre qui aboutit à ce sommet, plus

la partie de ce diamètre^ non comprise dam le segment , est à cette même partie.

Nous appelons sommet du segment Textrémité du demi-diamètre qui passe par le centre de la base du segment

397. La surface de la sphère est égale à quatre fois celle d'un grand cercle; donc

Si l'on considère un ellipsoïde comme un polyèdre d'une infinité de faces infiniment petites, l'intégrale double qui donnera la somme de toutes ces faces, divisées respectivement par les aires des sections faites , dans l' ellipsoïde, par des plans diamétraux parallèles à ces faces, sera égale à 4.

398. Soient une sphère et deux plans fixes menés par son centra. Si^ autour de ce point ^ on fait tourner un troisième plan^ de manière que la somme des angles dièdres qu'il fait avec les deux plans fixes ^ soit constante, ce plan enveloppera un cône du second degré; et le produit des sinus des angles que chaque arête de ce cône fait, avec les deux plans fixes, sera constant *.

L'aire du triangle sphérique déterminé, sur la sphère, par les deux plans fixes et par le plan mobile est constante , puisque la somme des trois angles de ce triangle sera toujours la même; conséquemment le volume de la pyramide sphérique, comprise sous ces trois plans, est aussi constant. Le cône percera la sphère suivant une conique sphérique. Le produit des distances de chaque point de cette courbe, aux deux plans fixes, est constant; ce qui prouve que cette courbe est sur un cylindre hyperbolique, dont les deux plans fixes sont les plans asymptotes. On conclut de la que :

Etant donnés un ellipsoïde et deux plans fixes menés par son centre; si, autour de ce point, on fait tourner un troisième plan , de manière que la portion de l'ellipsoïde comprise dam l'angle trièdre formé par ces trois plans ait son volume comtant, le plan mobile enveloppera un cône du second degré; et la courbe d^ intersection de la surface de l'ellipsoïde par ce cône

* J'ai démontré ces deux propositions dans mon Mémoire sur les propriétés générales des c&nes du second degré^ art. 34 et â6.

sera située sur un cylindre hyperbolique, dont les plans asymptotes setwit les deux plans fixes.

399. Si^ par un point fixe S ^ on mène une transversale qui rencontre une sphère en deux points a, a' y on aura

So . Sa' = const.

Donc

Si, par un point fixe S, on mène une t7'ansvef*sale qui rencontre un ellipsoïde en deux points a, a', on aura

Sa. Sa ^, = const.; •

D étant le demi-diamètre de l'ellipsoïde, parallèle à la transversale.

400. Si^ par un point fixe^ on mène des droites aux extrémités a, b d'un diamètre quelconque de la sphère, on aura

Sa -4- S6 = const.

Donc

5/^ d'un point fixe , on mène des droites aux extrémités d'un diamètre quelconque d'un ellipsoïde , la somme de leurs carrés, divisés respectivement par les carrés des demi-diamètres parallèles à ces droites, est constante.

Ainsi Ton a

-T H = const.

Par le théorème précédent :

Sa . Sa' S6 . Sb' : — = const. = > , = X.

On conclut de là

Sa Sb -^-=const.

C'est le théorème du numéro 343 (§ XX).

401. La somme des carrés des droites menées, des extrémités d'un diamètre, à un point quelconque de la sphère, est constante et égale au carré de ce diamètre ; donc

La somme des carrés des droites menées, des extrémités d'un diamètre de l'ellipsoïde, à un point quelconque de celte surface, divisés respectivement par tes carrés des diamètres parallèles à ces droites, est constante et égale à l'unité.

Ainsi soient A, B les extrémités d'un diamètre de Tellipsoïde, et m un autre point quelconque de cette surface; soient D, D^ les diamètres parallèles aux deux droites mA, mB; on aura

mA mB

402. Si, sur un diamètre d'une sphère et sur son prolongement, on prend deux points, conjugués harmoniques par rapport aux extrémités du diamètre, le rapport des distances de ces deux points, à un point quelconque de la sphère, sera constant; donc

Si, sur un diamètre d'un ellipsoïde, on prend deux points, conjugués harmoniques par rapport aux extrémités de ce diamètre ; les distances de chaque point de F ellipsoïde à ces deux points, divisées respectivement par les demidiamètres parallèles aux droites sur lesquelles se mesurent ces distances , ont un rapport constant.

403. Si Ton a un système de points dans Tespace, et leur centre des moyennes distances; puis que, de ce point, comme centre, on décrive une sphère; la somme des carrés des distances d'un point quelconque de cette sphère, à tous les points du système, sera constante; donc

Si Von a un système de points dans l'espace, et un ellipsoïde qui ait son centre de figure au centre des moyennes distances de tous ces points; la somme des carrés des droites menées, d'un point quelconque de l'ellipsoïde, à tous les points, divisés respectivement par les carrés des demi-diamètres parallèles à ces droites, sera constante.

404. Soient un cercle y et deux axes coordonnés rectangulaires^ menés par son centre. Qu'on mène deux rayons quelconques rectangulaires : soient ;r', y' les coordonnées de Textrémité du premier, et a?", y" les coordonnées de l'extrémité du second. On aura, évidemment,

Faisons la déformation homographique : nous aurons une ellipse, deux axes coordonnés Ox^Oy^ dirigés suivant deux diamètres conjugués, puis deux autres diamètres conjugués. On en conclut ce théorème : .

L équation d'une ellipse, rapportée à deux axes conjugués, étant

ar 0

si l'on représente par x', y', x", y" les coordonnées des extrémités de deux demi-diamètres conjugués quelconques, on aura

Ces relations entre les coordonnées des extrémités de deux demi-diamètres conjugués sont très-simples, et peuvent servir à démontrer rapidement les diverses propriétés, connues, de ces diamètres. Elles pourraient être introduites avec avantage dans la théorie analytique des sections coniques, où on les démontrerait directement.

405. Que Ton prenne le théorème de Cotes, et qu'on le transporte à l'ellipse, en observant qu'à des secteurs égaux dans le cercle, correspondront des secteurs équivalents dans l'ellipse; on aura le théorème suivant :

Si l'on mène dans F ellipse 2n demi-diam.ètres , qui divisent sa surface en 2n secteurs équivalents, et qu'on appelle mo, m,, m^y... les points de di^ vision consécutifs; que, d\in point 0, pris à volonté sur le demi-diamètre Cmo, ou sur son prolongement, on mène des droites à tous les points de division :

1® Zc produit des droites menées à tous les points de division de rang pair, divisé par le produit des demi-diamètres parallèles à ces droites, sera égal à

co

CfWf

2*" Le produit de toutes les droites menées aux points de division de rang impair^ divisé par le produit des demi-diamètres parallèles à ces droites , sera égal à

CO

C?/lo

Nous pourrions dire que les points de division m^^y m^, .... sont pris do manière que Tintégrdle de Télénient de Tare d'ellipse^ divisé par le demidiamètre parallèle à la direction de cet élément^ a la môme valeur entre deux points de division consécutifs quelconques.

On pourrait généraliser de même le théorème de Moivre.

§ XXIV. Suite du précédent. — Démonstration géométrique des diverses

PROPRIÉTÉS des diamètres CONJUGUÉS d'uNE SURFACE DU SECOND DEGRÉ.

406. Soient trois rayons rectangulaires r, r', r" d'une sphère, et trois autres rayons rectangulaires p, /o', p"; le sinus de Tangle que le rayon /o" fait avec le plan des deux rayons r, r\ est égal au sinus de Tangle que le rayon r" fait avec le plan des deux rayons p, p' ; donc le rhomboïde construit sur les trois rayons r, r', /o" a le même volume que le rhomboïde construit sur les trois rayons r", p, p\ On conclut de là que :

Quand on a deux systèmes de trois diamètres conjugués d'une surface du second degré, le rhomboïde construit sur deux diamètres du premier système et un diamètre du second, est égal au volume du rhomboïde construit sur les trois autres diamètres.

Nous avons déjà démontré (393) que le rhomboïde construit sur trois

su MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

diaiiièlres conjugués quelconques a toujours le même volume; on peut donc dire que :

Étant donnés deux systèmes quelconques de trois diamètres conjugués, le rhomboïde construit sur trois quelconques d'entre eux a le même volume que le rhomboïde construit suj^ les trois autres.

407. La somme des carrés des cosinus des angles que les trois rayons r, r\ r^' font avec le rayon py est égale à Tunité; donc la somme des carrés des projections orthogonales des trois rayons r, r', r", sur le rayon /o, est constante ; quel que soit le système des trois rayons rectangulaires r, r', r'' ; on en conclut que :

Si l'on projette trois diamètres conjugués, d'une surface du second degré, sur un axe fixe, par des plans parallèles au plan conjugué à cet axe; la somme des carrés des projections sera constante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués.

408. Si Ton mène une droite perpendiculaire aux plans projetants^ la projection orthogonale d'un diamètre, sur cette droite, sera égale à sa pro* jection sur le diamètre fixe , multipliée par le cosinus de Tangle que ce diamètre fait avec la droite; on en conclut que :

La somme des carrés des projections orthogonales de trois diamètres con-jugués, sur une droite fixe, est constante ^ quel que soit le système des trois diamètres conjugués.

409. Si Ton fait les projections sur trois droites rectangulaires, et qu'on fasse la somme de leurs carrés, on aura pour résultat, que :

La somme des carrés de trois diamètres conjugués est constante.

410. Appliquant à ce théorème le principe du numéro 388, on le généralise de cette manière :

Étant donnés deux ellipsoïdes quelconques, la somme des carrés de trois diamètres conjugués du premier, divisés par les carrés des diamètres du second, qui leur sont parallèles respectivement, est constante.

411. Et si la première surface est une sphère, on en conclut que :

La somme des valeurs inverses des carrés de trois diamètres rectangulaires d'un ellipsoïde est constante.

41 3. La somme des carrés des perpendiculaires abaissées, des (extrémités de trois rayons rectangulaires de la splière, sur un diamètre fixe, est coqstante^ donc

Sif des extrémités de trois demi-diamètres conjugués quelconques d'un eUipsoïde, on abaisse, sur un diamètre fixe, des obliques parallèles au plan conjugué à ce diamètre; la somme des carrés de ces obliques , divisés respectivement par les carrés des demi-diamètres qui leur sont parallèles, sera constante.

4i3. Soient les trois rayons rectangulaires r, r', r"; la somme des carrés des cosinus des angles que les trois plans qu'ils déterminent deux à deux font avec un plan donné, est égale à Tunité; on en conclut que la somme des carrés des projections orthogonales des parallélogrammes construits sur ces rayons deux à deux, sur le plan donné, est constante; donc

Un rhomboïde étant construit sur trois diamètres conjugués d'un ellipsoïde, si l'on projette ses faces sur un plan fixe, par des droites paraUètes au diamètre conjugue à ce plan ; la somme des carrés des projections sera çonstifnte, quel que soit le système des trois diamètres conjugués.

414. Si l'on mène un plan perpendiculaire aux droites projetantes, on aura les projections orthogonales des faces du rhomboïde sur ce plan; elles seront égales aux projections sur le premier plan, multipliées par le cosinus de l'angle des deux plans; d'où il suit que :

Les faces du rkondmde construit sur trois diamètres conjugués quelconques, d'un ellipsoïde, étant projetées orthogotialemetit sur un plan fixe; la somme des carrés de leurs projections est constante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués.

415. Faisant les projections sur trois plans rectangulaires, et ajoutant leurs carrés, on en conclut que :

La somme des carrés des faces du rhomboïde construit sur trots diamètres conjugués est constante.

416. Substituant, dans ce théorème, au parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués, Paire de ta seclion faite, dans l'ellipsoifde, par le

plan de ces deux diamètres^ et appliquant au théorème le principe de transformation du numéro 389, on a le suivant :

Etant donnés deux ellipsoïdes concentriques; la somme des carrés des aires des sections faites, dans le premier, par trois plans conjugués, divisés respectivement par les carrés des aires des sections faites, par les mêmes plans, dans le second ellipsoïde ^ est constante.

417. Si la première surface est une sphère, il s'ensuit que :

Dans un ellipsoïde, la somme des valeurs inverses des carrés des sec^ lions faites par trois plans rectangulaires, est constante.

Pour appliquer ce théorème et le précédent aux hyperboloïdes, on substituera, aux aires des sections diamétrales, les aires des rhombes construits sur deux diamètres conjugués, compris dans les plans de ces sections.

4i8. On voit, par les théorèmes précédents, que les propriétés des faces des rhomboïdes construits sur trois diamètres conjugués, sont analogues aux propriétés relatives aux longueurs de ces diamètres. Et, en effet, les unes se peuvent déduire des autres facilement, au moyen du théorème suivant :

Si, par le centre d'une surface du second degré, on élève, sur chaque plan diamétral, une perpendiculaire proportionnelle à l'aire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués, compris dans ce plan ; F extrémité de cette perpendiculaire sera sur une seconde surface du second degré.

Soient Oa, 06, les deux demi-diamètres conjugués pris dans le plan diamétral, et Oy la perpendiculaire élevée sur leur plan, laquelle est égale à Faire du parallélogramme construit sur Oa et 06. Concevons le demî-diamètre Oc qui forme, avec les deux premiers, un système de trois demi-diamètres conjugués; menons le plan tangent à la surface, au point c, et la perpendiculaire Op sur ce plan. Cette perpendiculaire sera en raison inverse de Taire du parallélogramme construit sur Oa et 06, d'après le théorème (393). Donc Oy est en raison inverse de Op. Donc le point y appartient à la surface polaire réciproque de la proposée, prise par rapport à une sphère auxiliaire concentrique. Cette surface polaire est du second degré; le théorème est donc démontré.

419. Reprenons une sphère, et soient r, r', r" trois rayons rectan-

gulaires; menons un diamètre fixe p. Le plan tangent à Textrémité du rayon r rencontre le diamètre p en un point dont la distance au centre de la sphère a sa valeur inverse égale au cosinus de Tangle que le rayon r fait avec le diamètre p : donc les plans tangents aux extrémités des trois rayons r, r', r" font, sur le diamètre /o, trois segments dont les valeurs inverses ont la somme de leurs carrés constante. Ainsi

Les plans tangents à une surface du second degré, aux extrémités de trois demi-diamètres conjugués, rencontrent un diamètre fixe en trois points, dont les distances au centre de la surface ont la somme des carrés de leurs valews inverses constante.

420. Soient les trois rayons rectangulaires r, r\ r", et un plan fixe P. Projetons sur ce plan, par des droites parallèles au rayon r", le parallélogramme construit sur les deux premiers rayons r, r' : la projection sera égale à ce parallélogramme, divisé par le cosinus de Fangle que son plan fait avec le plan P; donc la valeur inverse de cette projection sera égale à la valeur inverse du parallélogramme, multipliée par le cosinus. Si Ton projette de même , sur le plan P, les deux autres parallélogrammes construits, Tun sur r et r", Fautre sur r', r", on ^ura trois projections dont la somme des valeurs inverses des carrés sera égale à une constante. On en conclut, dans les surfaces du second degré, une propriété que nous pouvons énoncer ainsi :

Les faces du rhomboïde construit sur trois demi^iamètres conjugués d'une surface du second degré, rencontrent un plan fixe suivant six droites qui sont parallèles deux à deux, et qui, prises quatre à quatre, déterminait trois parallélogrammes; la somme des valeurs inverses des carrés de ces trois parallélogrammes a une valeur constante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués.

On peut exprimer ce théorème de cette manière :

Un rhomboïde étant construit sur trois demi-diamètres conjuguées quelconques d'une surface du second degré ; si ton projette chacune de ses faces sur un plan fixe, par des droites parallèles au diamètre conjugué au plan de la face projetée; la somme des valeurs inverses des carrés des projec*

tiom sera constante^ quel que soit le système des trois demi-diamètres conjugues.

421. Si^ d'un point de Tespace^ on abaisse des perpendiculaires sur trois plans rectangulaires quelconques^ menés par un point fixe^ la somme des carrés de ces perpendiculaires sera constante^ et égale au carré de la distance des deux points; donc

Si, d'un point m de l'espace, on abaisse, sur trois plans diamétraux conjugues quelconques d'un ellipsoïde , trois obliques parallèles respectivement aux trois diamètres conjugués à ces plans ; la somme des carrés de ces obliques y divisés respectivement par les carrés des demi-diamètres qui leur sont jmraUèles, sera constante, et égale au carré de la droite menée du point m au centre de l'ellipsoïde, divisé par le carré du demi-diamètre connpris sur cette droite.

Ainsi soient a, b, c trois demi -diamètres conjugués d'un ellipsoïde; prenons leurs directions pour celles de trois axes coordonnés Oa?, Oy, Oz; et soient x^y^z les coordonnées d'un point m de l'espace; soit Orf le demidiamètre de la surface^ compris sur la droite Om. On aura l'équation

x' y' J3* Ôm ~ H- — -4- --= '

quel que soit le système des trois demi-diamètres conjugués a, by c. Cette équation fait voir que la quantité

a' fe« c«

est plus grande ou plus petite que l'unité^ suivant que le point m est pris au dehors ou au dedans de Tellipsoïde; et qu'elle est égale à l'unité^ quand le point m est pris sur la surface; c'est-à-dire que l'équation

appartient à tous les points de la surface.

422. Soient deux droites fixes menées par le centre de la sphère : la somme des produits des cosinus des angles qu'elles font avec trois rayons rectangulaires est égale au cosinus de Fangle qu'elles font entre eUes; ainsi cette somme est constante^ quel que soit le système des trois rayons rectangulaires. On conclut de là que la somme des produits des projections orthogonales des trois rayons, sur les deux droites, est constante. Et si Ton conçoit deux plans diamétraux, respectivement perpendiculaires aux deux droites fixes, on peut dire que la somme des produits des perpendiculaires abaissées, des extrémités des trois rayons rectangulaires, sur les deux plans, est constante.

A ces trois perpendiculaires correspondront, dans la figure homographique, les obliques abaissées des extrémités de trois demi-diamètres, conjugués à ces plans. Ces obliques seront proportionnelles, respectivement, aux perpendiculaires abaissées des mêmes points sur les deux plans fixes. On a donc ce théorème :

Etant menés deux plans fixes par le centre d'un ellipsoïde; la somme des produits des perpendiculaires abaissées, des extrémités de trois detni-diamètres conjugués, sur ces deux plans, sera constante.

Si les deux plans sont conjugués, cette somme est égale a zéro.

423. Si Ton conçoit deux droites, respectivement perpendiculaires aux deux plans , les perpendiculaires abaissées sur ces plans seront égales aux projections orthogonales des demi-diamètres sur ces droites; on peut donc dire que :

La somme des produits des projections de trois demi-diamètres conjugués, sur deux droites fixes , est constante.

Si les deux droites se confondent, on aura, comme simple corollaire, le théorème (408).

424. Soient deux plans fixes et trois plans rectangulaires quelconques, menés par le centre de la sphère : la somme des produits des cosinus des angles que ces trois plans feront avec les deux plans fixes sera constante et égale au cosinus de Fangle des deux plans. Il s'ensuit que si Ton conçoit trois rayons rectangulaires, la somme des produits des projections, sur les

deux plans ^ des rhombes construits sur ces rayons pris deux à deux^ sera constante.

On conclut de là un théorème semblable^ à Fégard des projections des parallélogramnoes faits sur trois demi-diamètres conjugués pris deux à deux; ces projections étant faites sur deux plans fixes^ par des droites parallèles aux diamètres conjugués à ces plans; et si Ton conçoit deux autres plans ^ respectivement perpendiculaires à ces deux droites^ les projections orthogonales^ sur ces plans ^ seront égales aux premières projections^ multipliées par les cosinus des angles que les premiers plans font^ respectivement^ avec les deux nouveaux. On peut donc énoncer ce théorème :

'Un rhomboïde étant construit sur trois demi-diamètres conjugués d'un ellipsoïde; si l'on projette orthogonalement chacune de ses faces sur deux plans fixes , et qu'on fasse le produit de ces deux projectiom ; la smnme de ces produits est constante , qu£l que soit le st/stême des trois demi^diamètres conjugués.

Si les deux plans se confondent^ on a le théorème (414).

425. Si^ par un point Gxe^ on mène dans la sphère trois cordes rectangulaires, la somme de leurs carrés sera constante (Géométrie de position, p. 166); donc

Si, par un point fixe, on mène dans un ellipsoïde trois cordes parallèles à trois diamètres conjugués quelconques; la somme de leurs carrés, divisés respective^nent par les carrés de ces diamètres ; est constante.

Le point fixe peut être pris sur la surface de Tellipsoïde.

426. Si, par un point pris dans Fintérieur d'une sphère, on mène trois plans rectangulaires, la somme des aires des trois sections est constante (Géométrie de position y p. 167); donc

Si, par un point fixe, pris dans l'intérieur d*un ellipsoïde, on mène trois plans parallèles à trois plans conjugués quelconques; la somme des aires des trois sections j divisées respectivement par les aires des sections diamétrales faites par les plans conjugés, sera constante.

§ XXV. Réflexions sur la théorie des figures iiomographiques. — Démonstration de quelques-unes de leurs propriétés générales.

427. Nous n^avons considéré^ dans ce Mémoire^ la théorie des figures homographiques que comme méthode de transformation^ propre à la démonstration et à la généralisation des propositions de Géométrie. Mais cette théorie est susceptible de développements d'une autre nature. Deux Ggures homographiques, situées d'une manière quelconque dans Tespace, donnent lieu à un ensemble de propositions assez nombreuses, qui appartiennent à la théorie propre de ces figures; et ces propositions pourront, soit dans leur généralité, soit dans divers cas particuliers, être utiles et offrir des résultats intéressants. Par exemple^ deux corps semblables, ou deux corps égaux, quelles que soient leurs positions dans Fespace, forment un système de deux figures homographiques : les propriétés générales de ces figures appartiendront donc aux deux corps. La théorie des figures homographiques conduira ainsi aux propriétés générales du déplacement fini quelconque, ou du mouvement infiniment petit, d'un corps solide dans l'espace.

On voit donc que cette théorie mérite d'être étudiée pour elle-même, indépendamment de ses usages pour la transformation des figures. Aussi nous comptons revenir sur cet objet.

Nous nous bornerons, dans ce moment, à faire connaître seulement deux propriétés générales des figures homographiques, qui trouveront des applications fréquentes dans diverses recherches géométriques. Elles justifieront la forme des énoncés que nous avons donnés à deux propriétés des coniques, dans nos Notes XV et XVÏ; et nous en déduirons une propriété particulière à deux figures homographiques planes, dont nous avons fait usage précédemment (§ XVI, n« 299).

Ensuite nous appliquerons, dans le paragraphe suivant, la théorie des figures homographiques à la Perspective, particulièrement à une question dont nous avons parlé au sujet de la Perspective de Stevin (Note XVIII) ;

question dont ce savant Géomètre hollandais n'a résolu que des cas particuliers^ et qui depuis n'a jamais reçu une solution complète.

428. Quand on prends dans deux figures homographiques^ trois droites qui se correspondent; aux points a, 6, c, d, .... de la première, correspondent des points a', 6', c', d'y .... de la seconde; et quatre quelconques des premiers points ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points qui leur correspondent.

Nous dirons que les deux droites sont divisées hoinographiquement par les points a, 6, c, .... et a', 6', c', ....

Pareillement, aux plans A, B, C, .... menés par une droite de la première figure, correspondent des plans A', B', C, .... passant par la droite correspondante de la seconde figure. Et le rapport anharmonique de quatre quelconques des plans A, B, C, .... est égal à celui des quatre plans correspondants. Nous dirons que les premiers plans forment un faisceau, que les plans correspondants fornient un second faisceau, et que ces deux faisceaux de plans sont homographiques. .

Si les figures étaient planes, au lieu de faisceaux de plans, nous considérerions des faisceaux de droites ; et nous dirions que deux faisceaux correspondants sont homographiques.

Ainsi , en résumé :

Deux droites sont divisées homographiquement , quand le rapport anharmonique de quatre points quelconques de la première est égal au rapport anharmonique des quatre points correspondants de la seconde;

Deux faisceaux de droites, compris dans un même plan ou dans deux plans difl^érents, sont homographiques, quand le rapport anharmonique de quatre droites quelconques du premier faisceau, est égal au rapport anharmonique des quatre droites correspondantes du secoiid faisceau;

Et deux faisceaux de plans sont homographiques, quand le rapport anharmonique de quatre plans quelconques du premier faisceau, est égal au rapport anharmonique des quatre plans correspondants du second faisceau.

429. Les deux propriétés générales du système de deux figures homographiques, que nous allons démontrer, sont les suivantes :

Première proposition. Q^iand deux droites , placées d'une manière quel-^ conque dans C espace^ sont divisées homographiquetnent ^ les droites qui joignent deux à deux les points de division correspondants, forment un hypef^ bolo'ide à une nappe.

En efTet^ quatre points de division a, b, c, d, de la première droite^ ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points correspondants a', b'y &y d'y do fô sccondo droite. Il s'ensuit (ainsi que nous Favons démontré dans notre Note IX ^ page 306) qu'une droite quelconque^ qui s'appuiera sur trois des quatre droites aa', bb', c&y dd', s'appuiera nécessairement sur la quatrième; d'où il suit que ces quatre droites appartiennent à un hyperboloïde à une nappe.

430. Seconde proposition. Quand on a, dans l'espace , deux faisceaux de phiis homographiques , les droites suivant lesquelles se coupent deux à deux les plans correspondants, forment un hyperboloïde à une nappe.

Cette proposition résulte directement de la précédente. Car soient L^ L^ les axes des faisceaux; Â^ B^ C^ D^ .... les plans du premier faisceau^ et A', B', C, D', .... les plans correspondants du second : les plans A, B, C, D, .... rencontreront la droite L' en des points a, b, c, rf, .... ; et les plans A', B', C, D', .... rencontreront la droite L en des points a', 6', c', d', .... Les quatre points a, by Cy d ont leur rapport anharmonique égal à celui des plans A, B, C, D; les quatre points a', 6', c', rf' ont leur rapport anharmonique égal à celui des plans A'^ B'^ C'^ D'. Mais^ par hypothèse^ le rapport anharmonique de ces quatre plans est égal à celui des quatre plans correspondants A^ B^ C^ D. Donc le rapport anharmonique des points a, b, Cy d esl égal à celui des points a', b', c'y d'. Donc les quatre droites aa', 66', c&y dd' appartiennent à un hyperboloïde à une nappe. Or : la droite aa' est l'intersection des plans A^ A'; bb' est l'intersection des plans B, B', et ainsi des autres; donc^ etc.

431. Les deux propositions précédentes ont leurs analogues dans la Géométrie plane, et celles-ci exigent des démonstrations particulières.

Première proposition. Quand deux droites, situées dans un même plan, sont

divisées homographiquement , les droites qui joignent deux à deux les points de division correspondants, enveloppent une conique, tangente aux deux droites proposées.

Gela résulte évidemment de la propriété anharmonique des tangentes d'une conique^ que nous avons démontrée dans la Note XVI.

432. Seconde proposition. Quand on a, dans un plan, deux faisceaux homographiques , les droites de tun rencontrent respectivement les droites correspondantes de Vautre en des points situés sur une conique qui passe par les centres des deux faisceaux.

Gela résulte de là propriété anharmonique des points d'une conique^ démontrée dans notre Note XV.

433. Getle proposition et la précédente conduisent à une propriété remarquable du système de deux figures homographiques^ situées dans un même plan , dont voici Ténoncé :

Quelle que soit la position de deux figures homographiques dans un niéme plan, il existe généralement trois points qui , considérés comme appartenant à la première figure , sont eux-mêmes leurs homologuas dans la seconde ; et trois droites qui, coiisidérées comme appartenant à la première figure , sont elles-mêmes leurs homologues dans la seconde;

Deux des trois points peuvent être imaginaires, le troisième est toujours réel;

Et deux des trois droites peuvent être imaginaires, et la troisième est toujours réelle *.

Il est évident que^ quand les trois points sont réels ^ les trois droites sont précisément celles qui joignent deux à deux ces trois points.

Pour démontrer le théorème , concevons , dans les deux figures^ deux faisceaux correspondants, dont les centres soient 0, 0'; les droites de l'un rencontreront respectivement les droites correspondantes de Fautre en des points situés sur une conique. Pour deux autres faisceaux ayant leurs centres en deux points correspondants Q, Q', on aura pareillement une

* Ccsi celle proposilion donènous avons fail usage dans un paragraphe précédenl(n*'299).

seconde conique. Les deux coniques passeront par le point d'intersection des deux droites Où, O'û', parce que ces deux droites sont des rayons correspondants, dans les premiers faisceaux, ainsi que dans les deux autres. Soient Â, B, C les trois autres points d'intersection des deux coniques; je dis que chacun de ces points , considéré comme appartenant à Tune des deux figures, est lui-même son homologue dans Tautre. En effet, les droites O'A, Û'A de la seconde figure, correspondent respectivement aux droites OÂ, ÛÂ de la première; donc le point d'intersection des deux premières correspond au point d'intersection des deux autres; c'est-à-dire que le point A, considéré comme appartenant à l'une des deux figures, est lui-même son homologue dans l'autre.

Maintenant, les deux coniques ayant toujours un point d'intersection réel, point de concours des deux droites Où, O'û', elles auront un second point d'intersection réel; donc l'un des trois points À, B, G est toujours réel.

Quand les points À, B, G sont réels, chacune des trois droites AB, BG, GA, considérée comme appartenant à l'une des deux figures, est évidemment sa correspondante dans l'autre figure ; de sorte qu'on peut dire que, dans deux figures homographiques situées dans un même plan, il existe, généralement, trois droites dont chacune est elle-même son homologue dans les deux figures; et de là on peut conclure que, de ces trois droites, l'une est toujours réelle, parce qu'une question qui admet trois solutions en a toujours une réelle; mais on démontrera cela directement, par un raisonnement analogue à celui que nous avons fait pour démontrer la réalité d'un des trois points. Au lieu de prendre des faisceaux correspondants, on prendra des droites divisées homographiquement, et l'on considérera les coniques enveloppées par les droites joignant les points de division correspondants. D'après ce qui précède, cette démonstration est sans difliculté.

Ainsi le théorème est démontré dans toutes ses parties.

434. Quand on sait, a priori ^ que deux des trois points A, B, G sont réels, ou en conclut que le troisième est réel aussi, parce qu'alors les deux coniques qui servent à déterminer ces points ont trois points d'in-

tersectioD réels; par conséquent^ leur quatrième point d'intersection est réel.

Pareillement^ quand deux des trois droites en question sont réelles^ la troisième est nécessairement réelle.

§ XXVI. Application de la théorie des figures homographiques^

A LA perspective ET A LA CONSTRUCTION DES BAS-RELIEFS.

435. Une figure plane ^ et sa perspective sur un plan^ sont deux figures bomographiques ; car elles satisfont à la condition constitutive des figures homographiques^ savoir que^ à chaque point et à chaque droite de Cime, correspondeut un point et um droite dans Vautre.

Il suit de là que les relations générales^ descriptives et métriques, de deux figures bomographiques^ et les propriétés qui en dérivent^ s'appliquent à deux figures planes qui sont la perspective Tune de Fautre.

De ces propriétés, on n'a considéré, généralement, que celles qui sont purement descriptives ; et c'est sur elles qu'ont reposé la plupart des applications que Ton a faites de la Perspective en Géométrie spéculative, depuis que Desargues et Pascal, il y a deux cents ans, ont introduit cette métbode dans la tbéorie des coniques. En fait de relations métriques, on s'est borné généralement aux relations harmoniques; et quoique Pascal, dans son Essai pour les coniques, ait mis au nombre des propositions principales qui lui servaient , dans son Traité complet de ces courbes, la propriété que nous appelons égalité des rapports anharmoniques de deux groupes de quatre points correspondants, on n'a pas tiré de cette proposition, si simple et si féconde , tout le secours qu'elle pouvait apporter dans les applications de la Perspective, en Géométrie rationnelle. Aussi ces applications nous paraissent n'avoir pas reçu tout le développement dont elles étaient susceptibles. L'élément le plus important et le plus indispensable en Géométrie, les relations métriques , manquaient à cette théorie.

Ces relations métriques sont les mêmes que celles que nous avons démon-

trées pour les figures homographiques les plus générales. Elles dérivent, comme celles-là, de Tégalité des rapports anharmoniques de deux groupes de quatre points correspondants. Nous allons les reproduire ici, en adaptant leur énoncé aux figures particulières que Ton considère dans la Perspective.

436. 1** Quand deux figures planes sont la perspective l'une de l'autre, le rapport des distances d'une droite quelconque de la première, à deux points fixes de cette figure, est au rapport des distances de la droite correspondante, dans la seconde, aux deux points correspondant à ces deux points fixes, dans une raison constante.

437. 2** Quand deux figures planes sont la perspective l'une de l'autre, le rapport des distances d'un point quelconque de la première, à deux droites fixes de cette figure, est au rapjwrl des distances du point homologue de la seconde, aux deux droites correspondantes , dans une raison constante.

438. Dans ce second principe, une droite de chacune des deux figures peut être située à Tinfini; ce qui donne lieu aux deux corollaires suivants, qui seront utiles dans beauooup de questions :

Premier corollaire. Quand deux figures planes sont la perspective l'une de l'autre, la distance d^un point quelconque de la première, à une droite fixe prise dans le plan de cette figure, est dans une raison constante avec le rapport des distances du point homologue de la seconde figure, à deux droites fixes : la première correspond à la droite prise dans le plan de la premièi^e figure, et la seconde est l'intersection du plan de la seconde figure avec le plan mené par Vœil, parallèlement à celui de la première figure.

439. Second corollaire. Quand deux figures planes sont la perspective l'une de l'autre, si l'on mène, dans le plan de la première, la droite correspondante à l'infini de la seconde (c'est-à-dire la droite qui est Tintersection du plan de la première figure avec le plan mené par Tœil, parallèlement à celui de la seconde), et, dans le plan de la seconde figure, la droite qui correspond à Finfinide la première; les distances de deux points homologues

second, en quatre points qui seront sur une même droite, intersection des plans des deux figures. Et Ton sait que si^ autour de cette droite^ on fait tourner le plan d'une des deux figures^ pour l'appliquer sur Fautre, les deux figures se trouveront^ sur ce plan^ dans les mêmes conditions que dans Fespace^ c'est-à-dire que les droites joignant les sommets du premier quadrilatère^ respectivement aux sommets correspondants du second ^ concourront encore en un même point. (C'est l'un des théorèmes de Desargues. Voir Deuxième Époque^ § 28.)

443. D'après cela^ le problème se ramène à cette question de Géométrie plane :

Etant donnés dans un plan deux quadrilatères quelconques^ dont les sommets de run correspondent un à un aux sommets de l'autre , on demande de les placer, dans leur plan, de manière :

1 ** Que les droites joignant les sommets de l'un aux sommets correspond pondants de l'autre, concourent en un même point;

Et 2** que les côtés correspondants se rencontrent, un à un, en quatre points situés en ligne droite.

Solution. On regardera les quatre sommets a ^ by Cy d du premier quar drilatère^ comme appartenant à une première figure quelconque^ et les quatre sommets a' y b'y &y d' du second^ comme appartenant à une seconde figure^ qui doit être homographiqu£ à la première. Nous savons construire cette seconde figure; c'est-à-dire que nous savons trouver tous ses points correspondant à des points donnés de la première; et^ réciproquement^ nous savons déterminer à quels points de la première figure correspondent des points^ désignés^ de la seconde. La construction des points des deux figures sert à déterminer leurs droites correspondantes (§ XV, n** 272).

On cherchera la droite I qui, dans la première figure, correspond à l'infini de la seconde; et la droite J' qui, dans la seconde figure, correspond à l'infini de la première.

On placera les deux figures de manière que les droites I^ J' soient parallèles entre elles. Le côté ab de la première figure rencontre la droite I en un point e qui correspond au point e' situé à l'infini , dans la seconde

figiire, sur la droite a'6'. A une droite quelconque eg^ menée par ce point e , correspondra, dans la seconde figuré, une droite e^g* parallèle à là droite a'6'. Menons eg parallèle, elle-même, à la droite a'6'; et supposons qu'on ait déterminé la droite e^g^ qui lui correspond.

Pareillement, par le point /", où le côté cd rencontre la droite I, menons une parallèle fh à la droite c'rf' ; et soit /"'A' la droite correspondante dans la seconde figure (le point /"' étant à Finfini).

Les droites eg^ fh se rencontreront en un point S, et les droites &g^y f^lV se rencontreront en un second point S'.

O9 placera les deux figures de manière que les angles eS/", e'Sy, qui sont égaux, soient superposés Fun sur Fautre; et le problème sera résolu.

Démonstration. Remarquons d'abord que les deux droites I, J'^ dans cette position des figures, seront encore parallèles entre ellesj ce qui est évident.

Maintenant, les droites Se, S/" de la première figure, ont pour correspondantes, dans la seconde, les droites S'e', Sy ; les points S et S' se correspondent donc. Par conséquent, quand Fangle e'Sy est superposé sur Fangle eS/", le point S est lui-même son correspondant dans la secondé figure; et les droites Se, S/" sont elles-mêmes aussi leurs correspondantes dans la seconde figure. Il existe donc une troisième droite qui est ellemême sa correspondante dans les deux figures (paragraphe précédent, n« 434).

Le point situé à Finfini, sur la droite I, considéré comme appartenant à la première figure , est à Finterseclion de la droite I et de la droite située à Finfini; son homologue est donc, dans la seconde figure, à Fintersection de la droite située à Finfini et de la droite Vi c'est-à-dire que ce point est lui-même son homologue dans les deux figures. Par conséquent la droite Si, menée par le point S, parallèlement aux droites I, J', est elle-même son homologue dans les deux figures, de même que les deux droites Se, S/l Il suit de là qu'une quatrième droite quelconque SA: sera aussi son homologue dans les deux figures, parce que les quatre droites Se, S/, Si, SA-,

considérées comme appartenant à la première figure^ ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre droites correspondantes dans la seconde figure. Les trois premières de celles-ci sont Se, Sf et Si ellesmêmes; la quatrième est donc aussi la quatrième du premier groupe^

Il suit de là que deux points homologues quelconques a, a' y des deux figures, sont en ligne droite avec le point S; ce qui est Tune des deux conditions du problème.

Il reste à prouver que deux droites homologues quelconques se rencontrent sur une droite fixe.

Soit E le point de rencontre de deux droites homologues ab, a^b' ; si Ton considère ce point comme appartenant a la première figure, son homologue sera sur la droite SE et sur la droite a'b'; ce sera donc le point E lui-même. Soient e et 9' les points 011 la droite SE rencontre les deux droites I et P. Considérons, sur la droite SE, les quatre points de la première figure qui sont S, e, E et finfini; et les quatre points homologues de la seconde figure, lesquels sont S, finfini, E et f'. Égalant le rapport anharmonique des quatre premiers points à celui des quatre autres, on a