Ce théorème donne lieu à plusieurs conséquences

IVabord on en conclut, comme nous Tavons fait voir (n° 313), un théorème où n'entre point la considération du plan n, et qui est exprimé par Téquation

Sa S6

— : Sa' ± — :Sb' = const.

ap bp

3ti3. Maintenant, prenant pour le plan n, dans le théorème général, le phin pohiire (hi point fixe 0, par rapport à la première surface, et supposant

MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 80i

ce plan polaire à Tinfini^ le point 0 sera le centre de cette surface; les rapports

ap bp a'n b^n

seront égaux à Tunité^ et Téquation deviendra

Sa S6

— ± — = const.

Sa' Sb'

Ce qui prouve que :

Quand deux surfaces du second degré, de révolution, ont un foyer commun; si, par ce point, on mène deux rayons vecteurs aux extrémités d'un diamètre de la première surface; la somme ou la différence de ces deux rayons divisés, respectivement, par les rayons de la seconde surface qui ofit la même direction queux, est constante.

Ce sera la somme, si la première surface est un ellipsoïde^ et la différence, si elle est un hyperboloïde.

334. Le rayon mené d^un foyer à un point quelconque d'une surface de révolution est égal au rayon mené par le second foyer^ parallèlement au premier, mais en sens contraire. D'après cette remarque, on voit aisément que le théorème peut prendre cet énoncé :

Si l'on a deux surfaces du second degré, de révolution, placées d'une manière quelconque dans l'espace; la somme ou la différence des deux rayons vecteurs menés, des deux foyers de la première, à un point quelconque de cette surface, divisés respectivement par les rayons vecteurs de la seconde surface, menés respectivement de ses deux foyers , parallèlement aux deux pretniers, sera constante.

355. Ce théorème est une généralisation assez remarquable de la propriété, connue, des foyers d'une surface du second degré. Car si Ton suppose que la seconde surface soit une sphère , on a précisément cette propriété ; c'esl-à-dire que :

La somme ou la différence des rayons vecteurs menés, des deux foyers d'une surface du second degré, de révolution, à un point de la surface, est constante.

356. Si Fon suppose^ au contraire^ que la première surface soit une sphère y on aura ce théorème :

5î, par les deux foyers d'une surface du second degrés de révolution, on mène deux rayons vecteurs sous une même direction quelconque, la somme de leurs valeurs inverses sera constante.

Ce qui revient à dire que :

Toute corde menée par un foyer d'une surface du second degré, de révolution, est divisée en ce point en deux parties, dont la somme dès valeurs inverses est constante.

357. Supposons^ dans le théorème (352)^ que la seconde surface soit une sphère; les h'gnes Sa', Sb', seront des rayons de cette sphère; on peut les faire passer dans le second membre de Téquation^ qui devient :

Sa S6

— =t 7" =const.

ap bp

Ce qui prouve que :

Si, d'un foyer d'une surface du second degré, de révolution, on mène deux rayons vecteurs aux extrémités d'une corde de la surface, qui tourne autour d'un point fixe; la somme ou la différence de ces deux rayons, divisés respectivement par les perpendiculaires abaissées, de leurs extrémités, sur le plan polaire du point fixe, pris par rapport à la surface, sera constante.

Ce sera la somme, si le point Gxe est pris au dedans de la surface^ et la différence, s'il est pris au dehors.

358. Si, dans le théorème (351), le point fixe est le foyer commun aux {\m\ surfaces, on aura

il roHtora donc

Sa Sb

=:7-=:C0nSt.,

ap bp

aV ô'tt -zb- = const.;

en (|ui prouve que :

Sit iHir un foyer d'une surface du second degré, de révolution, on lire une

transversale qudconque, qui rencontre la surface en deux points; la somme des distances de ces points^ à un plan transversal quelconque, divisées respectiveme^it par leurs distances au foyer, sera cmislante.

359. Si Ton prends pour le plao transversal^ le plan directeur correspondant au second foyer de la surface , on en conclut que :

Si, dun foyer dune surface du second degré, on mène deux rayons aux extrémités d'une corde passant par le second foyer; la somme de ces deux rayons, divisés respectivement par les distances de leurs extrémités au second foyer, sera constante.

Dans ce théorème^ comme dans le précédent^ c^est la smnme que nous prenons et non la différence, parce que^ dans les deux cas^ le point autoiu* duquel tourne la corde de la surface est dans son intérieur.

360. Quand une corde d'une sphère tourne autour d'un point fixe^ les tangentes trigonométriqucs des demi -angles que les rayons de la sphère^ menés aux extrémités de la corde ^ font avec le rayon mené au point fixe^ ont un produit constant *. Supposons que la sphère ait son centre au foyer d'une surface du second degré de révolution : ces deux surfaces seront homologiques , et le foyer sera leur centre d'homologie. Les points qui correspondront^ dans la surface de révolution , aux extrémités de la corde de la sphère^ seront sur les prolongements des rayons menés à ces extrémités; on conclut donc^ de la propriété de la sphère^ cette propriété des surfaces de révolution :

Si, d'un foyer d'une surface du second degré, de révolution, on mène deux rayons aux extrémités d'une corde tournant autour d'un point fixe; le produit des tangentes trigonométriqucs des demi- angles que ces deux rayons feront avec la droite qui joint le foyer au point fixe, sera constant, quelle que soit la corde menée par ce point.

* Ce produit est égal à ^^9 R étant le rayon de la sphère, et D la distance du point fixe à son centre.

Ce théorème^ considéré dans le cercle, est dû a Lagrange, qui s'en est servi pour résoudre le problème d'inscrire, à un cercle, un triangle dont les trois côtés passent par trois points donnés. (Voir Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1776, p. 286.)

361* Si le point fixe est pris au dehors de la surface^ et que la corde soit menée tangentiellement à la surface^ son point de contact sera sur une courbe plane. D'après le théorème, le rayon vecteur mené à chaque point de cette courbe fera un angle constant avec la droite menée, du foyer, au point fixe; d'où Ton conclut ce théorème ;

Le cône qui a pour sommet un foyer d'une surface de révolution et pour base une section plane de la surface, est de révolution et a pour axe la droite menée, du foyer, au sommet du cône circonscrit à la surface suivant sa section plane.

362. Si la corde, en tournant autour d'un point fixe, reste toujours dans un même plan, ses extrémités seront sur la section faite par ce plan dans la surface ; et le cône qui aura cette section pour base et le foyer de la surface pour sommet, sera de révolution; d'où l'on conclut que :

Si autour d'une droite fixe, menée par le sommet d^un cône de révolu-tiouy on fait tourne?* un plan transversal, il coupera le cône suivant deux arêtes telles, que le produit des tangentes trigonométriques des demi-angle-s quelles feront avec la droite fixe, sera constant.

363. Par la considération du cône supplémentaire, formé par les per^ pcndiculaires aux plans tangents du premier, on conclut, de ce théorème^ le suivant :

Étant donnés un cône de révolution et un plan fixe mené pardon sommet; si, par une droite prise dans ce plan et passant par le sommet du cône, on mène deux plans tangents à cette surface; le produit des tangentes trigonométriques des demi-inclinaisons de ces plans tangents, sur le plan fixe, sera constant.

364 Ce théorème et le précédent donnent lieu à deux propositions de la Géométrie de la sphère, dont voici l'énoncé :

i"" Un petit cercle étant tracé sur une sphère; si, autour d'un point fixe, on fait tourner un arc de grand cercle qui rencontre le petit cercle en deux points; le produit des tangentes trigonométriques des demi-arcs compris entre ces deux points et le point fixe, sera constant.

2° Un petit cercle étant tracé sur une sphère; si, par un point ptis

arbitrairement sur un arc de grand cercle fixe, on mène deux arcs de grands cet^cles, tangents au petit cercle; le produit des tangentes trigonométriques des demi-angles qu'ils feront avec l'arc de grand cercle fixe, sera constant.

363. La première de ces deux propositions peut être considérée comme répondant au théorème de Géométrie plane qui exprime la propriété des segments des cordes qui se coupent dans le cercle.

La seconde correspond aussi à un théorème de Géométrie plane ^ consistant en ce que :

Si, de chaque point d'une ligne droite tracée dans te plan d'un cercle, on mène deux tangentes au cercle ; le produit des tangentes trigonométriques des demi-angles quelles feront avec la droite fixe, sera constant.

366. Les deux propositions précédentes peuvent être considérées comme exprimant^ la première, une propriété de quatre points pris arbitrairement sur la circonférence d'un petit cercle de la sphère; et la seconde, une propriété de quatre arcs de grands cercles tangents a un petit cercle. Sous ce point de vue, ces deux propositions seront très- utiles dans la Géométrie de la sphère. Nous en ferons diverses applications dans un autre moment.

On peut dire encore que la première exprime une propriété du quadrilatère sphérique inscrit à un petit cercle; et la seconde, une propriété du quadrilatère sphérique circonscrit à un petit cercle.

§ XXIL Méthode pour les relations angulaires. — Transformation

DE la sphère en un SPHÉROÏDE APLATI.

367. Considérons deux figures homographiques, à trois dimensions; qu'elles soient coupées respectivement par deux plans homologues quelconques P, P' : les sections seront deux parties homologues des deux figures, de sorte qu'elles seront elles-mêmes deux figures planes homographiques. On pourra placer les deux corps de manière que ces deux figures planes

soient la perspective Tune de l'autre ; c'est-à-dire de manière que les droites joignant les points a de la première aux points homologues a' de la seconde^ concourent en un même point 0 de Fespace. (Cela sera démontré dans le paragraphe XXVI.)

Considérons ce point 0 comme appartenant à la première figure : il lui correspondra un point 0'^ dans la seconde figure; et^ aux droites Oa, correspondront les droites O'a'. De sorte que les deux figures seront placées de manière que toutes les droites issues du point 0, dans la première, rencontreront toutes leurs homologues, respectivement, en des points situés sur un même plan P'.

Et^ plus généralement :

Deux droites homologues quelconques rencontrent, respectivement, les deux plans P, P', en deux points a, a', qui sont en ligne droite avec le point 0.

368. Maintenant^ prenons pour le plan P'^ qui est arbitraire^ celui dont le correspondant^ dans la première figure^ est à Tinfini : les points a seront ù Tinfini. On peut donc dire que :

Les deux figures seront placées de manière que, si l'on prend deux droites homologues quelconques, une parallèle à la première, menée par le point 0, rencontrera la seconde sur le plan fixe P'.

369. Réciproquement^ une figure étant donnée^ nous pouvons en construire une seconde^ qui ait une telle forme et une telle position^ par rapport à la première^ que cette relation ait lieu.

En effets une figure étant donnée^ prenons^ dans Tespace^ cinq points arbitraires a', 6', e', (/', 0', pour former la figure homographique; et convenons que ces points correspondront à cinq points de la première figure^ que nous allons déterminer.

Que le point 0' corresponde à un point 0 pris arbitrairement dans la figure proposée. Que les points a', 6', c' correspondent^ respectivement, aux points de cette figure situés à Tinfini sur les droites Oa', 06', Oc'; et que le point rf' corresponde à un point, de la première figure, pris sur la droite menée du point 0 au point à' où la droite O'cf' rencontre le plan a'6'c\

Nous pourrons^ avec ces données^ construire la figure homographique de la proposée.

Il est clair que^ dans cette figure^ le plan a'b^c' correspond à Tinfini de la proposée.

Le point S' correspond au point situé à Tinfini sur la droite 0^.

Ainsi les quatre points a', 6', e', «^, situés dans un même plan, correspondent à quatre points situés sur les droites Oa', 06', Oc', Oi. Ce qui prouve que la figure située dans le plan a'b'd est en perspective avec son homologue dans la première figure. Par conséquent tout autre point e' du pian a'b'c' a son homologue à Tinfini sur la droite Os'.

Il s'ensuit que :

Toute droite, dans la seconde figure, aura son homologue, dans la première, parallèle à la droite menée du point 0 au point où celle droite de la seconde figure rencontre le plan a'b'c'.

Et si Ton regarde le point 0 comme faisant partie de la seconde figure , et qu'on le fasse entrer dans les propriétés de cette seconde figure, on voit qu'auo? angles que différentes droites de la première figure font entre elles, correspondront des angles égaux ^ faits par les droites menées du point 0 aux points où les droites homologues, dans la seconde figure, rencontrent le plan a'b'c'.

Diverses applications de cette méthode particulière vont en faire connaître parfaitement l'usage.

370. Supposons que la figure proposée soit une sphère ayant son centre au point 0 : la seconde figure sera une surface du second degré. Prenons le point 0', qui est arbitraire, sur la perpendiculaire abaissée, du point 0, sur le plan P'. Cette surface sera alors de révolution autour de la droite 00', parce que tout sera symétrique de part et d'autre d'un plan mené par cette droite. Ce moyen de déformation donnera donc des propriétés des surfaces du second degré, de révolution, correspondant à des propriétés de la sphère.

Après avoir disposé du point 0' et du plan P', nous pouvons encore prendre arbitrairement un point d^ pour correspondre à un point d de la

sphère, en observant cette seule condition que les droites Od, O'rf' se rencontrent sur le plan P'. Ainsi, pour un point 0' et un plan P' déterminés, on pourra former une inOnité de surfaces de révolution, homographiques à la sphère; et les propriétés de la sphère produiront des propriétés de ces surfaces.

Nous pouvons faire en sorte que Tune de ces surfaces ait son centre au point 0, centre de la sphère.

En effet, prenons le point d de la sphère sur la droite 00'; le point correspondant rf' de la surface sera aussi sur la droite 00'; et ce point rf' peut être pris arbitrairement sur cette droite. Cherchons en quel lieu il doit être placé pour que la surface ail son centre au point 0.

Remarquons que le point 0' correspond au point 0 de la première figure, et que le plan P' correspond au plan à Tinfini de cette première Ggure. Ce plan à rinPini est le plan polaire du point 0, par rapport à la sphère; le |)lan P' est donc le plan polaire du point 0', par rapport à la surface de révolution. Donc, si le point 0 est le centre de cette surface, on aura Ôrf^=00'.OJ'.

On doit donc prendre le point rf' de manière que Ton ait cette égalité ; et alors la surface aura son centre au point 0.

Pour déterminer un point m' de la surface, correspondant à un point donné m de la sphère, on mènera, par le point m, les deux droites mO, mdy dont les correspondantes passeront par les points 0' et rf' respectivement, La première passera par le point où la droite Om perce le plan P', et la seconde passera au point où une parallèle à la droite mrf, menée par le point 0, perce ce plan P'. Ainsi le point m^ sera détçrminé.

Si la droite Om est parallèle au plan P', la droite O'm' sera parallèle à Om. On trouve aisément, par une comparaison de triangles semblables, que 0'm'= Orf'. Donc, une corde de la surface, menée par le point 0', perpendiculairement à Taxe de révolution , est égale au diamètre dirigé suivant cet axe. Cela prouve que ce diamètre est le plus petit de la surface; car s'il était le plus grand, on ne pourrait pas inscrire, à la surface, une corde qui lui fut égale. Ainsi la surface est un ellipsoïde aplati. Et le

point 0' jouit de cette propriété qu^il est pris sur Taxe de révolution^ de manière qu'une corde menée par ce points perpendiculairement à cet axe^ est égale au diamètre de Tellipsoïde dirigé suivant ce même axe.

Le plan P' est le plan polaire du point 0'^ par rapport à Tellipsoïde. Si on veut le déterminer directement^ sans chercher d abord le point 0'^ on trouve cette expression remarquable de sa distance au centre de Fellipsoïde :

La valeur inverse du carré de la distance de ce plan, au centre de Vellipsolde, est égale d la différence des valeurs inverses des carrés des deux demi-axes principaux de l'ellipse génératrice de l'ellipsoïde.

371. Dans ce qui va suivre^ nous désignerons toujours le plan en question par P'^ et son pôle par 0'. Il est bien entendu que ce plan et ce point ne sont pas arbitraires ^ et qu'ils sont^ au contraire^ absolument déterminés. Seulement^ si on les prend à droite de Péquateur de la surface^ il existera pareillement^ à gauche^ un pareil plan et un pareil point. Nous regrettons de n'avoir pu donner^ à ce plan et à ce points des dénominations particulières. Ces dénominations pourraient tirer leur origine de celle de foyer et de plan directeur; car le plan et \e point en question ont une relation directe avec le foyer et le plan directeur d'un ellipsoïde de révolution allongé. Voici cette relation : si l'on fait la transformation polaire de cet ellipsoïde^ par rapport à une sphère concentrique^ on obtient un ellipsoïde aplati^ dans lequel le plan et le point en question correspondent, respectivement, au foyer et au plan directeur de l'ellipsoïde proposé.

372. Concevons une sphère ayant son centre au point 0, et l'ellipsoïde de révolution, aplati, formé homographiquement comme nous l'avons dit; prenons le plan P' et le point 0' de cet ellipsoïde; ce plan correspond à l'infini de la première figure; et ce point correspondra au point 0, centre de la sphère.

Nous allons passer en revue différentes propriétés de la sphère, qui s'appliqueront à l'ellipsoïde.

Tout cône qui a pour base une section plane de la sphère et pour sommet le centre de celte surface, est de révolution.

A ce cône correspond^ dans Tellipsoïde^ un second cône ayant pour base une section plane de cette surface^ et pour sommet le point 0'; et ce second cône rencontre le premier sur le plan P'; d^où Ton conclut que :

Tout cône, qui a pour sommet le point 0' et pour base une section plane de Vellipsoïde, rencontre le plan P' suivant une conique qui, vue du centre de la surface, parait être un cercle.

373. Un cône circonscrit à la sphère est de révolution. A ce cône correspond un cône circonscrit à rcllipsoïde^ qui rencontre le plan P' suivant une conique correspondant à Tinfini du premier cône. Si donc par cette conique on fait passer un cône qui ait son sommet au centre de Tellipsoïde^ il sera parallèle au cône circonscrit à la sphère; donc

Tout cône, circonscrit à l'ellipsoïde, rencontre le plan P' suivant une conique qui y vue du centre, parait être un cercle.

374. Un plan tangent à la sphère est perpendiculaire au rayon qui aboutit au point de contact; donc

Un plan tangent à l'ellipsoïde, et la corde moiée du point 0' au point de contact, rencontrent le plan P' suivant une droite et en un point qui sont tels, que la droite menée du centre, à ce point, est perpendiculaire au plan mené par le centre et par cette droite.

375. Deux plans tangents à la sphère font des angles égaux avec la corde qui joint les points de contact; donc

Etant menés deux plans tangents à l'ellipsoïde, et la corde qui joint les points de contact; si, par les droites suivant lesquelles ces deux plans rencontrent le plan P', on mène deux plans passant par le centre de la surface, ils seront également inclinés sur la droite menée du centre au point oit la corde qui joint les points de contact rencontre le plan P'.

376. Dans la sphère^ deux droites polaires réciproques sont à angle droit; donc

Deux droites, polaires réciproques par rapport à l'ellipsoïde, rencontrent le plan P' en deux points qui sont tels, que les droites, menées de ces points au centre de l'ellipsoïde, sont à angle droit.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 81 i

377. Trois diamètres conjugués de la sphère sont rectangulaires; donc Trois axes conjugués de l'ellipsoïde, relatifs au point 0'^ rencontrent le

plan P' en trois points tels, que les droites menées du centre de l'ellipsoïde, à ces trois points, sont rectangulaires.

378. Beaucoup d'autres propriétés de la sphère s'appliqueraient avec la même facilité à rellipsoïde aplati. Il est inutile de nous étendre davantage sur cet objet.

Gomme nous Tavons dit ci-dessus^ la théorie des polaires réciproques^ ou plus généralement^ le principe de dualité^ établit une relation trèssimple entre Tellipsoïde de révolution , allongé ou aplati , et peut servir à passer des propriétés de Tun aux propriétés de l'autre ; de sorte que nous aurions pu déduire les théorèmes précédents des propriétés ^ connues ^ de rellipsoïde allongé. Mais ce n'était pas là notre but. Nous avons voulu donner une méthode qui servit à tirer directement^ des propriétés de la sphère^ les propriétés de l'ellipsoïde aplati^ de même que, par la théorie des figures homologiques, on peut démontrer celles de l'ellipsoïde allongé. (Foir§§XIXetXXL)

§ XXIII. Méthode propre pour toutes sortes de relations de longueurs,

d'aires et de volumes.

379. Dans la transformation homographique d'une figure, le plan situé à rinfini peut être pris pour son homologue dans la nouvelle figure.

Dans ce cas, les formules générales, qui nous ont servi à la construction des figures bomographiques [§ XV, équations (a)], se sont simplifiées et sont devenues

{i) ad = i.a'd', 6(/ == fx . 6'rf', rd = v.r'd'. (Éq. (d), n« 283.)

Ces formules expriment que :

Étant pris trois axes coordonnés quelconques Ox, Oy, Oz, dans la pre-

8i3 NÉRfOlRE DE GÉOMÉTRIE.

mière figure; et, dans la seconde, trois axes coordonnés O'x', O'y', O'z', qui soient précisémefit les droites correspondant aux premiers axes; si x, y, z désignent les coordonnées d'un point quelconque m de la première figure, rapportée aux trois premiers axes, et x', y', z', les coordonnées du point correspondant de la seconde figure, rapportée aux trois autres axes, on aura

(2) .r=Ax', y = i»-y\ z = yz\

y^fiyv étant trois constantes.

Réciproquement^ quand ^ entre les points de deux figures rapportées à deux systèmes d'axes coordonnés quelconques^ on a ces relations^ ces deux figures sont homographiques y et ont cela de particulier^ que le plan situé à Tinfini^ considéré comme appartenant à Tune d'elles^ est lui-même son homologue dans Tautre.

380. Des formules (2)^ nous déduirions aisément toutes les propriétés des deux figures^ et notamment celles sur lesquelles vont reposer les applications que nous allons faire de ce mode de transformation ; mais nous préférons^ pour ne point nous écarter de la voie purement géométrique que nous avons suivie jusqu'ici^ déduire ces propriétés^ particulières aux deux figures^ de la théorie générale des figures homographiques.

381. Soient donc deux figures homographiques telles ^ que le plan situé à TinGni dans la première soit lui-même son homologue dans la seconde. Les propriétés caractéristiques des deux figures sont^ sous le rapport des relations descriptives, que, à deux droites parallèles dans l'une, correspofidefit deux droites parallèles dans P autre; et, conséquemment, à deux plans parallèles dans l'une, corresponde^it deux plans parallèles dans t autre; cela est évident ;

Et, sous le rapport des relations métriques, que deux droites homologues sont divisées en parties prpportionnelles par des points hofnologues; c'est-àdire que a, 6, c, of ,...« étant des points de la première figure^ situés en ligne droite, et a', 6', &,d^, les points correspondants, de la seconde figure,

MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 8i3

les segments ab, cd^.... sont proportionnels aux segments a'b'y&d'y .... En effet ^ on a

6a da b'a' d'à'

bc de b'c' d'c'

Supposons le point d à Tinfini : le point d* sera aussi à riufini; et Téquatiou deviendra

ba b'a'

Ainsi les segments ab^ bc sont proportionnels aux segments a^b', b'&.

382. Il suit de là que^ quand une droite de la première figure est divisée en parties égales^ la droite homologue^ dans la seconde figure^ est aussi divisée en parties égales par les points correspondant aux points de division de la première droite.

383. Les deux sortes de relations^ descriptives ou métriques^ que nous venons de reconnaître à nos fîgures homographiques^ donnent lieu à trois propriétés principales de ces figures; propriétés sur lesquelles reposent les applications auxquelles ce mode de déformation est propre.

Ces trois propriétés sont les suivantes :

1** Le rapport de deux segments, pris sur deux droites jmrallèles quelconques ^ dans la première figure, est égal au rapport des deux segments correspondants, dans la seconde figure.

2° Le rapport des aires de deux polygones plam quelconques, situés dans deux plans parallèles, appartetiant à la première figure, est égal au rapport des aires des deux polygones correspondants, dans la seconde figure.

3^ Les volumes de deux parties correspondantes des deux figures sont dans un rapport constant.

384. Nous allons démontrer successivement ces trois propositions. Soient ab, cd deux lignes parallèles dans la première figure ^ el a'b^, cUV

les deux lignes correspondantes^ de la seconde figure. Il faut prouver que

a6 a'b' cd'^Vd'

Les deux lignes ac^ bd se coupent en un pointe^ et Ton a

ab ea cd ec

Pareillement^ les lignes a'e', 6'rf' se coupent en un point e'; et Ton a, parce que les lignes a'6'^ &d' sont parallèles^

cd' e'c'

Or,

ea e'a*

ce c c

donc les premiers membres des deux équations sont égaux; c'est-à-dire que

ab a'b'

385. Soient deux aires planes T^ U, situées dans deux plans parallèles, et appartenant à la première figure; et soient T', U', les aires correspondantes^ dans la seconde figure; elles seront aussi dans deux plans parallèles entre eux.

Quelles que soient les formes des deux polygones T,U, on peut les décomposer chacun en un certain nombre de petits parallélogrammes^ tous égaux entre eux, et ayant leurs côtés parallèles à deux axes fixes. T contiendra m de ces parallélogrammes^ et U en contiendra n. Le rapport des aires des deux polygones sera ^. Tous ces petits parallélogrammes auront pour correspondants, dans la seconde figure, d'autres parallélogrammes, et ceux-ci seront aussi égaux entre eux (382); de sorte que les deux polygones T', U' seront divisés en autant de parallélogrammes, respectivement, que T, U; par conséquent le rapport de leurs aires sera aussi ^. Il sera donc égal au rapport des aires des deux premiers polygones.

386. II nous reste à démontrer la troisième proposition : deux parties correspondantes des deux figures homographiques ont leurs volumes dans un rapport constant.

Soient V, V les volumes de deux polyèdres correspondants : il faut démontrer que le rapport ^ est constant, quels que soient les deux polyèdres, c'est-à-dire que, v et v' étant les volumes de deux autres polyèdres correspondants, on aura

jy V

En effet, que l'on divise chacun des deux corps V, v en un certain nombre de petits rhomboïdes égaux entre eux, en menant trois séries de plans parallèles, dont les plans de chaque série soient également éloignés entre eux; supposons que les deux corps contiennent, le premier m rhomboïdes, et le second n; le rapport de leurs volumes sera ^*

Les deux corps correspondants V, r', dans la seconde figure, seront divisés aussi en m et n rhomboïdes, différents des premiers, mais qui seront aussi égaux entre eux. De sorte que le rapport des volumes de ces deux corps sera ~ . II est donc égal au rapport des volumes des deux premiers corps. C. Q. F. P.

387. Les trois propositions que nous venons de démontrer serviront pour faire la transformation des relations de distances, d'aires et de volumes, d'une figure.

La transformation des relations de volumes se fera immédiatement, puisque les volumes des différentes parties de la nouvelle figure sont proportionnels aux volumes des parties correspondantes de la figure proposée.

388. Pour opérer la transformation des relations de distances et des relations de surfaces, concevons qu'une sphère fasse partie de la figure proposée. Il lui correspondra, dans la nouvelle figure, un ellipsoïde.

Soient une ligne quelconque ÂB de la figure proposée, et R le rayon qui lui est parallèle. Il y aura, dans la nouvelle figure, une ligne A^B' et

un demi-dramètre D' de Tellipsoïde, parallèle au rayon R,et Ton aura