DE BEAUNE, 16U1-I

Nous allons tout de suite présenter un aperçu des travaux des principaux écrivains, parmi les contenaporains de Descartes, qui cultivèrent les premiers sa Géométrie, et qui s'en servirent pour étendre le cercle des vérités mathématiques, particulièrement dans la théorie des courbes.

On distingue d'abord Fermât et Roberval.

Le premier, digne émule de Descartes, employait lui-même, déjà, des procédés analytiques semblables à sa Géométrie, avant qu'elle eût paru. Mais la nature et le caractère spécial de ses travaux, basés en grande partie sur sa belle méthode De maximis et yninimis, les rapprochent beaucoup plus des doctrines de la Géométrie ancienne que de celles de Descartes.

Roberval, que la rivalité jalouse qui a existé entre lui et ce grand philosophe portait à critiquer minutieusement la nouvelle Géométrie, contribua de cette manière à en répandre la connaissance. Ce géomètre a fait d'ailleurs, en quelque sorte, amende honorable, en laissant sous le titre De resoiutione œquationunh une application intelligente de cette méthode à la construction des lieux par leurs équations.

§ 3. Dès que la Géométrie de Descartes eut paru. De Beaune en pénétra l'esprit et l'excellence, et en facilita la lecture par des Notes, très estimées de Descartes lui-même, sur les passages qui, par leur concision et la nouveauté du sujet, offraient des difficultés aux meilleurs géomètres.

C'est De Beaune qui, le premier, conçut l'idée d'introduire dans la théorie des courbes les propriétés de leurs tangentes, comme élément propre à leur construction, et qui, par une question de cette nature proposée à Descartes, donna ainsi naissance à la méthode inverse des tangentes.

11 s'agissait de construire une courbe telle que le rapport de sa sous-tangente (prise sur l'axe des abscisses) à l'ordonnée, fût dans une raison constante avec la partie de l'ordonnée comprise entre la courbe et un axe fixe faisant un demi-angle droit avec l'axe des abscisses, passant d'ailleurs par l'origine de la courbe '.

^ Lettres de Descartes, lom. VI, pag. -2l-i

Ce problème difficile, même avec le secours du calcul intégral, et qui a occupé, à la naissance de ce calcul, Leibniz et les frères Bernoulli, a été résolu par Descartes, qui, avec son habitude de vaincre les plus grandes difficultés en Géométrie, sut ramener la question aux lieux géométriques, en- considérant chaque point de la courbe comme l'intersection de deux tangentes infiniment voisines, et découvrit ainsi que la courbe a une asymptote parallèle à l'axe fixe, et que la sous-tangente prise sur cette asymptote est constante. Ces propriétés ont conduit Descartes à la construction de toutes les tangentes de la courbe elle-même, par l'intersection de deux règles qui se mouvaient avec des vitesses déterminées. L'incommensurabilité de ces deux mouvements lui fit voir que la courbe était mécanique, et de celles auxquelles ne s'appliquait point son Analyse. Aussi n'en donna-t-il pas l'équation. (Lettres de Descartes, tome VI, p. 137.) *

Descartes n'avait compris, dans sa Géométrie, que les courbes dont l'équation, dans son système de coordonnées, était d'un degré fini; il les appela courbes géométriques, et donna le nom de mécaniques à toutes celles qui n'étaient pas géométriques. Leibniz a substitué, à ces dénominations, celles de courbes algébriques el courbes transcendantes. On se sert maintenant indifféremment des deux expressions géométriques et algébriques, pour désigner les courbes que Descaries a considérées dans sa Géométrie. Mais nous emploierons toujours la première, parce que les courbes auxquelles elle s'applique se distinguent des autres par certaines propriétés géométriques qui leur sont communes, tout aussi bien que par la nature de leurs équations; et de plus, on peut démontrer ces propriétés avec les seuls secours de la Géométrie, et sans employer le système de coordonnées et les formules algébriques de Descartes.

' La lettre dans laquelle Dcscarles communique à De Beaune ses idées sur cette question d'un nouveau genre, qu'il regarde comme l'inverse de sa règle des tangentes, nous parait mériter de figurer comme l'un des documents les plus importants dans l'histoire des nouveaux calculs.

scHooTEN, g 4,^ Schoolen écrivit un commentaire étendu sur la Géométrie de

Descartes, et fit de nombreuses applications de cette méthode dans plusieurs parties de ses Exer citât iones Geometricœ, principalement dans le livre 3% qui est la restitution des Lieux plans d'Apollonius; et dans le livre 5% intitulé : De lineis curvis superiorum generum, ex solidi sectione ortis. C'est là que nous trouvons le premier exemple de la méthode des coordonnées appliquée aux courbes considérées dans l'espace; mais il est vrai qu'il y est question seulement de courbes planes, et que Schooten n'a besoin d'employer que deux coordonnées. Mais ce genre de spéculations, nouveau alors, était un premier pas dans la Géométrie analytique à trois dimensions, qui, comme nous le verrons à la fin de cette troisième Époque, ne s'est développée que cinquante ans plus tard.

Schooten a écrit un Traité de la description organique des coniques, où il enseigne différentes manières de décrire ces courbes, d'un mouvement continu. La description de l'ellipse, par un point d'une droite dont les extrémités glissent sur les côtés d'un angle, était déjà connue : Guido Ubaldi et Stévin l'avaient donnée, et elle était due aux géomètres anciens, ainsi que nous l'avons dit en parlant de Proclus. Schooten la généralisait, en prenant le point décrivant au dehors de la droite mobile. L'ouvrage contient, outre la description des sections coniques, leur quadrature par la méthode des indivisibles de Cavalieri.

§ 5. Le second livre des Exercitationes Geometricœ est un recueil de problèmes résolus par la ligne droite seulement. Ce sont les premiers exemples, que nous trouvons, de ce genre particulier de Géométrie, traité dans ces derniers temps, d'une manière spéciale, par iMiM. Servois et Brianchon, sous le nom de Géométrie de la règle. A la suite de ce livre, et sous le iiivQà'Appendix, Schooten résout douze problèmes, dans lesquels il suppose que des obstacles rendent des points ou des lignes inaccessibles ou invisibles dans certaines positions. Il confesse qu'il a été porté à ce genre de recherches par la lecture d'un ouvrage intitulé Geometria peregrinans, où l'auteur se proposait de résoudre, en se servant de jalons

seulement, les problèmes de Géométrie pratique, qui se présentent parliculièremenl à la guerre. Cet ouvrage, anonyme et sans date, a paru à Schooten n'être pas ancien et avoir été imprimé en Pologne.

§ 6. Les secours que l'Analyse fournissait à la Géométrie étaient si grands et si merveilleux, que Schooten fut Tun des mathématiciens qui voulurent attribuer à celte méthode la clarté et l'élégance que les Anciens apportaient dans les démonstrations et les constructions de leurs théorèmes et problèmes, les accusant d'avoir supprimé, pour rendre leurs inventions plus capables d'exciter l'admiration de la postérité, la véritable voie qu'ils avaient suivie. Pour appuyer celle opinion, Schooten fit voir, par de nombreuses questions traitées des deux manières', qu'elïectivement la méthode synthétique peut toujours se déduire de la méthode analytique. Mais Schooten ne s'attachait pas assez à la vraie signification que les Anciens avaient donnée au mot Analyse, et aux exemples que Pappus, particulièrement, nous avait laissés de celte méthode, et ce fut là la cause de son erreur ; car, ne reconnaissant point d'autre Analyse que celle qui repose sur l'emploi de l'Algèbre, et n'en trouvant aucun vestige avant Diophanle, il en concluait que les Anciens avaient caché leur Analyse.

Cette accusation, portée par Schooten, l'avait été en premier lieu par Nonius, dans son Algèbre, et a été reproduite au chapitre II de V Algèbre de Wallis; mais depuis elle est restée sans créance et a paru absurde.

§ 7. Sluze et Hudde perfectionnèrent les méthodes de Descartes et de Fermât, pour mener les tangentes et déterminer les maxima et minima ; et le premier, s'appliquant à la belle construction que Descaries avait donnée des équations du troisième et du quatrième degré, par un cercle et une parabole, eut la gloire de la compléter, en se servant d'un cercle et d'une section conique quelconque, de grandeur donnée; généralisation alors très désirée des géomètres.

SLUZE, I6S3-I68S.

HUUDE, I6i0-I704.

' Tradatus de concinnandis demonstrationibus geometricis ex calcula algebraîco. Ouvrage posthume On y trouve une démonstration analytique du théorème de Ptolcmce sur les segments qu'une transversale fait sur les trois côtes d'un triangle.

16JS-167S.

i(jO HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

''^^''' S 8. Le célèbre pensionnaire de Hollande, Jean De Witt, simplifia la

théorie analytique des lieux géométriques de Descartes; il imagina une théorie nouvelle et ingénieuse des sections coniques, fondée sur diverses descriptions de ces courbes, sur le plan, sans se servir du cône, et dont il sut tirer avec habileté, par la pure Géométrie, leurs propriétés principales.

Les descriptions de De Witt se faisaient par des intersections de lignes droites qui, généralement, étaient les côtés d'angles mobiles. Jusque-là il n'y avait eu que la parabole qu'on eût décrite de la sorte. L'ellipse et l'hyperbole tiraient leur génération du cercle directement, ou bien nécessitaient, dans leurs divers modes de description, l'emploi de cette courbe.

Cependant nous devons dire que Cavalieri avait déjà eu l'idée de rechercher, pour l'ellipse et l'hyperbole, un mode de description par la ligne droite, analogue à celui de la parabole; et ses recherches avaient eu un premier succès, que ce célèbre géomètre avoue lui avoir causé un vif t)laisir K Voici le principe de sa méthode, que nous présentons sous un énoncé plus général, qui la fera mieux concevoir : « Que l'on ait un angle^ et qu'on mène des transversales parallèles entre elles; que, des points ou chaque transversale rencontre les deux côtés de l'angle, on mène deux droites aboutissant respectivement à deux points fixes : ces deux droites se couperont en un point qui aura pour lieu géométrique une conique passant par les deux points fixes. »

Ce n'est pas ce théorème général que Cavalieri démontre, mais seulement l'un de ses cas particuliers; il suppose l'angle droit, les deux points fixes placés sur ses côtés, et la direction des transversales telle que ces deux points soient les sommets de la courbe.

Ainsi, la pensée qui a dirigé De Witt, dans ses descriptions des coniques par la ligne droite, n'était pas absolument nouvelle; mais Cavalieri

' Exercitationes geometricœ sex. Bonoiiiee, in-i»; i()47.

De modo facili describendi sectiones conicas, et in omnibus uniformi. [Exercitatio sexta.)

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. m

s'étanl borné à un seul théorème, Pun des plus restreints de celte théorie qui est extrêmement féconde, Touvrage de De Wilt présente réellement un caractère de nouveauté qui mérite d'être remarqué dans l'histoire de la Géométrie.

Outre ce caractère de nouveauté, nous trouvons aussi, dans les descriptions de De Witt, le germe de cette célèbre description organique des coniques, donnée par Newton dans le i^" livre des Principes, puis répétée dans ÏÈnumération des lignes du troisième ordre, et dans l' Arithmétique universelle. On obtient, en effet, plusieurs théorèmes de De Wit, en supposant, dans celui de Newton, qu'un angle soit nul et son sommet situé à l'infini.

La préface de l'ouvrage de De Witt nous apprend qu'il le regardait comme l'introduction à une théorie générale et à l'énumération des courbes d'un ordre supérieur. Idée féconde, que réalisèrent, cinquante ans après. Newton, Mac-Laurin et Braikenridge.

§ 9. Wallis écrivit, le premier, un Traité analytique des sections coniques, suivant les doctrines de la Géométrie de Descartes. Mais sa prédilection fut pour cette autre partie de la Géométrie, qui se rattache aux découvertes d'Archimède. En appliquant aussi, dans son Arithmétique des infinis, la puissante Analyse cartésienne à la méthode des indivisibles de Cavalieri, il fit faire à la Géométrie des progrès immenses, dans toutes les questions qui sont aujourd'hui du domaine du calcul intégral.

§ 10. Huygens, Van Ileuraet et Neil furent aussi les promoteurs de la van heuraet, neh. Géométrie de Descaries.

Ces deux-ci se partagent la gloire d'avoir résolu, les premiers, le problème de la rectification d'une ligne courbe, qui passait auprès de quelques géomètres pour être, par sa nature, absolument insoluble, et qui, du reste, offrait, à celte époque, de grandes difficultés d'un ordre nouveau.

§ 14. Huygens est célèbre à tant de titres, et ses travaux font tant d'honneur à la Géométrie, qu'il nous faut entrer ici dans quelques détails.

Ce grand géomètre sut à fond la méthode de Descartes, s'en servit, et la

W AIJ,IS, l6l6-!703.