HUYGENS

102 HISTOIRE Dt LA GEOMETRIE.

perfectionna même dans plusieurs de ses applications. Mais son goût irrésistible le retint fidèle à la méthode des Anciens, où la force de son génie savait triompher des plus grandes difficultés.

S'il s'agissait seulement de marquer la place qu'Huygens doit occuper dans l'histoire des mathématiques, il suffirait de dire que Newton lui donnait le surnom de Grand (Siimmus Hiigenius), et ne parlait de ses découvertes qu'avec admiration. « 11 le tenait pour l'écrivain le plus éloquent qu'il y eût parmi les mathématiciens modernes, et pour le plus excellent imitateur des Anciens, admirables suivant lui, par leur goût et par la forme de leurs démonstrations K »

Voici un aperçu des découvertes qu'Huygens dut à la Géométrie des Anciens, et qui montre bien toutes les ressources que peut offrir cette méthode à celui qui sait en pénétrer l'esprit et y découvrir les voies de l'intuition qui lui est propre :

Huygens, en s'occupant de la quadrature approchée du cercle et de l'hyperbole, trouva, entre ces deux courbes, des rapports nouveaux et singuliers.

ir donna la rectification de la cissoïde, quand on n'avait encore rectifié que deux courbes, la parabole cubique et la cycloïde.

11 détermina les surfaces des conoïdes paraboliques et hyperboliques; premier exemple de telles déterminations de surfaces courbes.

On lui doit des théorèmes curieux sur la logarithmique et les solides qu'elle engendre. Toutes ces propriétés, qui n'avaient été qu'énoncées par Huygens à la suite de son discours sur la cause de la pesanteur, ont été démontrées, par Guido-Grandi, à la manière des Anciens.

* Pemberton, Préface des Éléments de la philosophie newtonienne.

On peut penser que cette admiration méritée pour le style géométrique d'Huygens causa chez le grand Newton une sorte d'émulation qui lui fit adopter la même manière d'exposition et de méthode dans son immortel ouvrage des Principes, quoiqu'il fût déjà en possession de toutes les ressources de l'Analyse la plus savante.

Nous énonçons celte opinion d'après M. le baron Maurice, qui l'a émise dans son excellente iVotice sur la vie et les travaux d' Huygens.

Huygens résolut le problème de la chaînette, imaginé par Galilée, qui y avait échoué, et remis sur la scène par Jacques Bernoulli ; et le célèbre problème de la Courbe aux approches égales, proposé par Leibniz, comme défi, aux disciples de Descartes, à Toccasion de son démêlé sur la mesure des forces vives. Ces deux questions paraissaient, aux deux illustres géomètres qui les proposaient, nécessiter impérieusement le calcul intégral. Huygens sut les résoudre par les seules ressources de la Géométrie ancienne.

§ 12. Le célèbre traité De horologio oscUlatorio doit prendre place à côté de Touvrage des Principes, dans l'histoire des grandes conceptions de Tesprit humain : il en est Tintroduction indispensable, que Newton eût dû créer, si le génie d'Huygens ne l'eût prévenu.

Chacun des chapitres de ce traité suffirait seul pour exciter l'admiration.

Le premier est la description des horloges à pendule, qui offraient, pour la première fois, la mesure exacte du temps.

Le deuxième, intitulé De descensu graviiim, complétait la grande découverte de Galilée, sur l'accélération des corps qui tombent librement par la pesanteur, ou qui glissent sur des plans inclinés. Huygens considérait leur mouvement sur des courbes données. C'est là qu'il démontra celte célèbre propriété de la cycloïde, d'être la courbe tautochrone dans le vide.

Le troisième. De evolutione et dimensione linearum curvarum, est la célèbre théorie des développées; acquisition capitale pour la théorie des courbes, et dont les usages dans toutes les autres parties des sciences mathématiques sont devenus aussi fréquents qu'étendus. Cette importante découverte ne fut point une simple spéculation géométrique dans les mains d'Huygens; il sut en tirer les plus heureuses conséquences, pour démontrer une foule de propositions neuves et remarquables, telles que divers théorèmes sur les rectifications des courbes, et la propriété de la cycloïde, d'avoir pour développée une seconde cycloïde égale : on peut considérer celle-ci comme la cycloïde même, déplacée, dans le sens de sa base, de toute la Ion-

i04 HISTOIRE DK LA GÉOMÉTRIE.

gueur de la demi-circonférence du cercle générateur, et, dans le sens perpendiculaire à la base, de la longueur du diamètre de ce cercle \

Dans le quatrième chapitre de VHorologium oscillatorium, Huygens résolvait, d'une manière générale et complète, le fameux problème des Centres d'oscillation, qui avait été proposé par Mersenne, et fort agité entre Descartes et Roberval. C'est dans cette solution que l'on vil, pour la première fois, l'un des plus beaux principes de la mécanique, connu depuis sous le nom de principe de la conservation des forces vives.

Enfin, le cinquième chapitre, où Huygens donnait une seconde construction de ses horloges, est suivi des treize célèbres théorèmes sur la force centrifuge dans le mouvement circulaire.

Ce fut l'application de cette théorie au mouvement de la Terre autour de son axe, et au mouvement de la Lune autour de la Terre, application qui dérivait virtuellement des propositions 2, 3 et 5, qui fit découvrir à Newton la loi de la gravitation de la Lune vers la Terre.

Cette même théorie semblait être le complément de celle des développées, pour conduire naturellement à la connaissance des forces centrales dans le mouvement curviligne, qui fut aussi l'une des grandes découvertes de Newton, et qui lui donna la démonstration a priori des fameuses lois de Kepler. Mais ces rapprochements échappèrent à l'esprit d'Huygens, occupé de tant d'autres grandes conceptions.

§ 43. Le Traité de la Lumière est l'un des plus beaux monuments du génie d'Huygens, qui sut appliquer, avec une sagacité admirable, la Géométrie à son ingénieuse théorie des ondes. On y remarque surtout la belle loi mathématique, qu'il découvrit dans les phénomènes de la double réfraction du

' Par cette disposition, la cycloïde et sa développée forment un pont à deux étages : le pieddroit de l'étage supérieur repose sur la clef de l'étage inférieur.

On a coutume de dire que la développée de la cycloïde est une seconde cycloïde égale, posée dans une situution renversée, ou bien posée en sens contraire. {Voyez V Analyse des infiniment petits du marquis de Lhospital, pag. 92, et l'Histoire des Mathématiques de Montuela, lom. II, pag. 72 et 154.) Celle manière de s'exprimer est erronée. C'est pour cela que nous avons décrit minutieusement la position de la cycloïde et de sa développée.

HISTOIKE DE LA GÉOMÉTRIK. iOo

spalh d'Islande. Celait, je crois, la première apparition, qui s'est reproduite depuis, des surfaces du second degré dans les phénomènes naturels. Cette grande découverte a été complétée par Fresnel, qui, pour expliquer les phénomènes de la polarisation de la lumière, a substitué aux ondes ellipsoïdales d'Huygens une surface du quatrième degré *. Fresnel, qu'une mort prématurée a enlevé aux sciences physiques et mathématiques, dont il était déjà l'un des plus illustres adeptes, a rendu, par ce grand travail, une nouvelle vie à la théorie d'Huygens, tombée, depuis un siècle, dans un inexpli-

' Fresnel a donné, pour cette surf.ice du quatrième degré, la construction géométrique suivante, qui est extrêmement remarquable et qui conserve aux surfaces du second degré le principal rôle dans toute cette théorie : Que Von conçoive un ellipsoïde (dont les trois demidiamètres principaux sont proportionnels aux racines carrées des trois élasticités principales du milieu, ou bien aux vitesses de la lumière suivant les axes de ces élasticités); qu'on mène par le centre de celle surface une transversale quelconque, et qu'on porte sur cette droite, à partir du centre, des segments égaux aux demi-diamètres de l'ellipse résultant de la sectio7i de la surface par le plan diamétral perpendiculaire à la transversale : les extrémités de ces segments seront sur la surface du quatrième degré en question. (Voir le Mémoire de Fresnel, sur la double réfraction, dans le tome VII des Mémoires de C Académie; le Mémoire de M. Ampère sur la Détermination de la surface courbe des ondes lumineuses dans un milieu dont l'élasticité est différente suivant les trois directions principales, etc., imprimé dans les Awiales de chimie et de physique, année 1828, et le Traité de la Lumière de Herschel, tom. II, pag. 190, traduction de MM. Verhulst et Quelelet.)

D'après ce théorème, les belles lois de polarisation, découvertes dans ces derniers temps par d'illustres physiciens, et particulièrement celles de M. Biot et du docteur Brewster, donnent immédiatement des propriétés géométriques de l'ellipsoïde, et en général des surfaces du second degré.

Ainsi ces phénomènes optiques, qui ont déjà jeté une si vive clarté sur tout ce qui tient à la structure intime des corps cristallisés, peuvent apporter les mêmes secours dans l'étude de la Géométrie rationnelle.

On ne peut trouver un plus bel exemple de l'enchaînement qui unit toutes les sciences, ni une preuve plus évidente que des secours mutuels leur sont nécessaires pour suivre leur marche progressive, d'un pas sûr et rapide.

Puisse-t-on voir surtout, dans ce rapprochement, que les surfaces du second degré sont destinées à jouer un rôle important dans toutes les déductions des lois les plus générales de la nature, et que l'on ne peut trop se hâter d'étudier et d'approfondir les innombrables propriétés géométriques que présentent ces surfaces, soit dans leur constitution propre, soit dans leurs relations entre elles 1

cable oubli ; il l'a replacée au rang qu'elle doit occuper parmi les grandes vérités du monde physique.

C'est ici le lieu de remarquer encore une belle déduction mathématique, tirée par Huygens de sa Théorie de la Lumière, mais qui a eu besoin d'être créée de nouveau, dans ces derniers temps, par M. Quetelet, pour flxer l'attention des géomètres et porter les fruits dont elle était susceptible. Huygens, par l'application de son système ondulatoire, a trouvé que « quand des rayons incidents émanés d'un point fixe, ou parallèles entre eux, se réfractent sur une courbe, si l'on conçoit une circonférence de cercle décrite du point lumineux comme centre, ou bien une droite perpendiculaire à la direction des rayons parallèles, et que de chaque point de la courbe dirimante, comme centre, on décrive une circonférence dont le rayon soit dans une certaine proportion constante avec la distance de ce point à la circonférence ou à la droite fixe, toutes ces nouvelles circonférences auront une courbe enveloppe, à laquelle les l'ayons réfractés seront tous normaux. »

Cette courbe est la forme de Vonde réfractée. C'est de là qu'Huygens concluait la loi du rapport constant des sinus d'incidence et de réfraction.

Ainsi, de même que Tschirnhausen a considéré, depuis *, la courbe enveloppe des rayons réfractés, de même Huygens considérait la courbe normale à ces rayons. La première seule a fait impression sur l'esprit des géomètres, et sa considération est devenue la base de leurs- travaux en optique. La seconde a passé inaperçue, comme si elle n'avait pas reposé, comme la première, sur une construction purement géométrique, et indépendante du système, alors douteux, qui y avait donné naissance.

' Tschirnhausen a communiqué en 1682, à l'Académie des sciences de Paris, ses premières vues et ses premiers résultats sur la théorie des caustiques. Huygens avait présenté à la même Académie, trois ans auparavant, son Traité de la Lumière. 11 était alors en possession depuis longtemps de ia théorie des développées; il n'aurait donc eu à faire qu'un pas facile pour donner son nom aux célèbres caustiques dont l'invention et les usages en o'ptique, et en Géométrie pour la rectification de certaines courbes, ont fait la gloire de Tschirnhausen.

Et cependant la courbe d'Huygens est généralement beaucoup plus simple que celle de Tschirnhausen, et se prêle mieux à Télude des propriétés optiques des courbes. II nous suffit de dire, par exemple, que la caustique de Tscbirnhausen, produite par réfraction dans le cercle, s'est refusée jusqu'à ce jour à toutes les ressources de l'Analyse, qui n'a pu encore en donner l'équation, tandis que la courbe analogue d'Huygens est tout simplement une Qvale de Descartes (courbe du qualrième degré), dont quelques considérations de Géométrie, ou quelques lignes d'Analyse, font connaître la nature ou l'équation *.

Néanmoins, les courbes d'Huygens sont restées inaperçues, et c'est seulement depuis dix ans que M. Quetelet, en cherchant à diminuer les difficultés d'Analyse présenlées par les questions de réfraction de la lumière, imagina de substituer, dans cette théorie, aux caustiques de Tschirnhausen, des courbes qui en fussent les développantes : il parvint, en suivant cette idée heureuse, et par de pures considérations de Géométrie, à la construction de ces développantes par l'enveloppe d'un cercle mobile; ce sont ces courbes, qui répondent, comme on le voit, aux ondes réfractées d'Huygens, que 31. Quetelet appela caustiques secondaires ; cet habile géomètre en a étendu la doctrine au cas où les rayons incidents sont perpendiculaires à une même courbe, et au cas de l'espace, où les rayons incidents sont normaux à une même surface ^.

Cette extension était comprise aussi dans la théorie d'Huygens. Il en résulte immédiatement cette lielle loi de la réfraction de la lumière : « des rayons incidents, qui sont normaux à une même surface, jouissent de la

' Dans la réfraction sur une droite, la difTérence entre les deux courbes de Tschirnhausen et d'Huygens n'est pas moins sensible : la première est une courbe du sixième degré, dont le calcul est assez long, et la seconde est simplement une ellipse ou une hyperbole, ainsi que l'a trouvé, le premier, M. Gergonne. {Annales de Malh., tom. XI, pag. 229.)

Ce savant géomètre avait eu déjà la pensée qu'il se pourrait bien que les caustiques eussent pour développantes des courbes beaucoup plus simples qu'elles. {Annal, de Math., tom. V, pag. 289.)

' Nouveaux Mémoires de l'Académie de Bruxelles, tom. III, IV et Y.

même propriété après une réfraction sur une autre surface quelconque; et conséquemment se divisent, après cette réfraction, en deux groupes, qui forment deux séries de développables se croisant à angle droit. » Malus, le premier, avait démontré ce théorème, pour le cas d'un faisceau de rayons émanés d'un même point, ou parallèles entre eux; mais il avait cru, d'après le résultat de calculs trop compliqués, que la proposition ne pouvait être étendue à un système de rayons normaux à une même surface ^ M. Dupin, par de pures considérations de Géométrie, donna au théorème de Malus toute la généralité qu'il devait comporter 2.

On voit, par les considérations précédentes, quelles ouvertures utiles et fécondes le Traité de la Lumière d'Huygens présentait aux géomètres qui auraient eu confiance plus tôt dans les vues de ce grand génie. Exemple remarquable de la lenteur avec laquelle avancent et se perfectionnent nos connaissances positives, et leçon sévère pour l'orgueil de l'esprit humain!

Cette digression est étrangère aux progrès propres des méthodes géométriques; mais du moins elle roule sur l'une de leurs plus belles applications aux sciences physiques, et peut-être pourra-t-elle porter quelques-uns de nos jeunes lecteurs à ce genre de recherches géométriques, qui est encore neuf et qui promet d'abondants résultats ^.

§ 14. La sagacité admirable qu'Huygens a montrée dans toutes les

* Mémoire sur l'optique, art. 22 et 27, dans le 14" Cahier du Journal de l'École polytechnique.

"^ Applications de Géométrie et de Mécanique; Mémoire sur les routes de la lumière, p. 192.

' iM Hamillon, directeur de l'Observatoire de Dublin, en continuant les beaux travaux de Fresnel, est parvenu à soumettre tous les phénomènes si compliqués et si délicats de la lumière à un calcul analytique nouveau, qui paraît devoir conduire aux lois mathématiques qui dominent toute celte vaste et importante théorie.

Nous avons appris de M. Quelelet, avec un extrême plaisir, qu'un autre savant géomètre, M. Mac Cullagh, poursuit les mêmes recherches que M. Hamilton, mais par de pures considérations géométriques.

Puissent les travaux de M. Mac Cullagh réhabiliter la Géométrie auprès des personnes d'un esprit juste et impartial, et rendre aux méthodes d'Huygens et de Newton l'estime qu'elles méritent!

grandes questions qu'il a soumises à la Géométrie, ne Ta point abandonné dans ses recherciies sur la mécanique, telles que la fameuse question du choc des corps, qu'il résolut en même temps que Wallis et Wren ; et dans ses découvertes astronomiques, qui rendent son nom inséparable de ceux de Kepler, Galilée et Newton.

Quoique la méthode des Anciens ait été presque toujours son seul instrument de raisonnement et de recherche, il connaissait toutes les ressources, non seulement de la Géométrie de Descaries, mais aussi du nouveau calcul de Leibniz, qu'il avait étudié dès que cette sublime découverte avait paru, et dont il avait su apprécier tous les avantages '.

§ 15. Nous devons citer, parmi les contemporains de Wallis et d'Huy- babrow. gens qui ont le plus contribué à l'avancement de la Géométrie, Barrow, le professeur de Newton à l'Université de Cambridge. Ce géomètre publia en 1669 ses Lectiones Geometricœ, ouvrage rempli de recherches profondes sur les propriétés des courbes, et particulièrement sur leurs dimensions. On y remarqua surtout, dans la dixième leçon, sa Méthode des Tangentes y méthode peu différente, il est vrai, de celle de Fermât, mais qui cependant, par la considération du petit Iriangle différentiel et l'introduction, dans le calcul, de deux quantités infiniment petites au lieu d'une seule, était un pas de plus vers la doctrine et l'algorithme de Leibniz.

On doit à Barrow, que ses connaissances dans la langue grecque et dans la langue arabe mettaient en état de rendre ce service aux sciences, des versions latines, estimées, des Éléments et des Données d'Euclide, des quatre premiers livres d'Apollonius, des ouvrages d'Archimède et des Sphériques de Théodose. Les démonstrations, dans tous ces ouvrages, se trouvent pour la plupart refaites et extrêmement simplifiées.

* L'Université de Leyde possède de riches manuscrits qui lui ont été légués par Huygens, où se trouve, outre les productions de ce grand homme, une collection de lettres qu'il recevait de tous les savants. Messieurs les curateurs de cette Université ont pensé, il y a quelques années, à faire imprimer une partie de ce précieux dépôt. Un projet aussi louahle ne peut recevoir trop tôt son exécution.

ilO HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

On a recueilli en 1684>, sous le titre de Lectiones mathematicœ, les leçons faites par Barrow à Tllniversité de Cambridge, sur la philosophie des mathématiques, dans les années 1664-, 1665 et 1666; plus quatre leçons, d'une date incertaine, qui ont pour objet d'indiquer la méthode par laquelle Archimède a découvert ses plus beaux théorèmes, et de montrer combien peu elle diffère de l'Analyse moderne ^ On ne pouvait atteindre ce but avec plus de précision et de clarté que ne l'a fait Barrow ; mais l'on regrette que ses autres leçons mathématiques soient hérissées de citations grecques qui en rendent la lecture difficile.

Enfin, Barrow, dans ses Lectiones opticœ, a appliqué avec habileté la Géométrie à un grand nombre de questions concernant la réflexion et la réfraction sur des surfaces courbes. Il a construit les points où se réunissent les rayons infiniment voisins; mais, malgré son goût et son habitude des spéculations géométriques, il n'a pas songé à considérer la courbe qui naît de la succession de ces points ou de l'enveloppe de ces rayons ; comme Huygens, qui a touché de près aussi à la découverte de cette courbe, il en a laissé l'honneur à Tschirnhausen.

§ 16. C'est ici le lieu précisément de parler du géomètre que nous venons de nommer.

TscmRNHAisEN, Tschimbauscn a reçu une grande célébrité de ses fameuses caustiques. Cette invention, en effet, est devenue aussitôt la base de plusieurs théories physico-mathématiques. Considérée comme pure spéculation géométrique, elle avait le double avantage d'offrir un second exemple, après les développées d'Huygens, de la génération des courbes comme enveloppes d'une droite mobile, et de donner naissance à une infinité de courbes rectifiables.

Ces caustiques, de même que les développées, étaient en quelque sorte une application pratique de l'idée de De Beaune, d'exprimer la nature des courbes par quelque propriété commune à leurs tangentes.

Mais ce n'est point cette considération abstraite qui a conduit Huygens et

' Quo planiùs appareat qualem ille subtilissimus vir (Archimkdbs) analysin usurpârit, et quam hodiernœ nostrœ parum dissimileni.

Tschirnhausen à Tinvention des courbes qui portent leur nom ; et ce fut Leibniz qui donna suite à l'idée de De Beaune, et la généralisa même, en chercliant la courbe enveloppe d'une infinité de lignes, droites ou courbes, déterminées, liées entre elles par une propriété commune ^

§ 17. Tschirnhausen, homme de génie et Pun des plus passionnés pour la science qu'il cultivait, a encore eu d'autres titres, après l'invention de ses caustiques, à un rang distingué dans Thistoire de la Géométrie.

Dans un traité intitulé Medicina mentis, publié en 1 686 ^, dont l'objet principal était d'indiquer les règles qui doivent nous guider dans la recherche de la vérité, Tschirnhausen, partant de cette idée que les êtres mathématiques sont formés par le mouvement rapporté à quelque chose de fixe, proposa une génération nouvelle et universelle des courbes. Il les concevait décrites par un stylet tendant un fil qui, fixé par ses extrémités, glisse sur un ou plusieurs autres points fixes, ou s'enroule sur une ou plusieurs courbes de nature connue. C'était, comme on le voit, une généralisation du mode de description des coniques au moyen de leurs foyers, généralisation que Descartes avait déjà eu l'idée de transporter à la description de ses ovales ^.

Tschirnhausen divisa les courbes en plusieurs genres, suivant qu'il y avait plus ou moins de foyers, et suivant la nature des courbes fixes. Il apprit à mener les tangentes aux courbes ainsi décrites : c'est là Torigine du problème de la tangente à une courbe exprimée par une équation dont les variables sont les distances d'un point quelconque de la courbe à plusieurs points fixes.

* Acta Erud. Lips., ann. 1G92 et 1694, et OEuvres de Leibnilz, tom. III, p. 264 et 296.

* Medicina mentis, sive tentamen genuinœ logicœ, in qud disseritur de metliodo detegendi incognitos veritates. In-i", Arnst.

On trouve, dans le tome 111 de la Bibliothèque universelle et historique {ann. i(iS6), une analyse très détaillée de ce remarquable ouvrage de Tschirnhausen.

3 Géométrie de Descaries, liv 2*. Ces courbes, imaginées par Descartes, ont joué un grand rôle, surtout dans sa Dioptrique. Nous n'en parlerons que dans notre quatrième Epoque, où nous les trouverons reproduites dans le 1" livre des Principes de Newton.

§ 18. Ce problème a eu quelque célébrité, et a été résolu de différentes manières originales par les premiers mathématiciens de l'époque : d'abord par Fatio de Duiller, qui releva une erreur échappée à Tschirnhausen, et dont la solution, basée sur de simples considérations de Géométrie, nous paraît offrir l'un des beaux exemples, aujourd'hui très rares, de la méthode des Anciens dans la construction des tangentes ^; puis par le marquis de Lhospital qui, par la considération des infiniment petits, et sans calcul, en donna une construction élégante et de la plus grande généralité ^; et dans le même temps par Leibniz, dont la solution « qui a cet avantage que l'esprit y fait tout sans calcul et sans diagramme, » repose sur un beau théorème de mécanique qu'il imagina à cet effet ^. Quelques années après, Herman compléta en quelque sorte cette théorie, en donnant une construction très simple du rayon de courbure dès mêmes courbes de Tschirnhausen, calculé directement et par la pure Géométrie, sans se servir des coordonnées auxiliaires de Descartes ^.

M. Poinsot a étendu aux surfaces ce mode de génération des courbes et

* Réflexions de M. Fatio de Duiller sur une méthode de trouver les tangentes de certaines lignes courbes, BihuoTHÈçiVE universelle et historique, tom. V, année 1688.

Tschirnhausen a répondu à ces réflexions de Fatio, et reconnu son erreur, dans le tome X du même recueil, même année.

^ Analyse des infiniment petits, section 2% proposition 10.

3 Leibniz considère la question sous cet énoncé : a Mener la tangente d'une ligne courbe qui se décrit par des filets tendus. » Sa construction est fondée sur une règle générale de la composition des mouvements, qu'on peut énoncer ainsi, en substituant à l'idée de mouvement celle de force, comme a fait Lagrange en reproduisant, dans sa Mécanique analytique, la condition d'équilibre qui résulte du principe de Leibniz. « Si tant de forces qu'on voudra, qui sollicitent un point, sont représentées en grandeur et en direction par des droites, leur résultante passera par le centre de gravité des points extrêmes de ces droites, et sera égale en grandeur à la distance de ce point au point sollicité, multipliée par le nombre des forces. » (Journal des Savans, sept. 1693, et OEuvres de Leibnitz, tom. III, pag. 283.)

Ce théorème peut être étendu au cas où les forces sont appliquées à des points différents d'un corps solide libre dans l'espace. (Correspondance mathématique de Bruxelles, tom. V, pag. 106.)

♦ Melhodus inveniendi radios osculi in curvis ex focis descriptis. Acta Erudit., ann. 1702; pag. 501.

HISTOIHE DE LA GKOMEïRIi:. 113

la construction de leurs normales, et s'en est servi utilement dans un fort beau Mémoire sur la mécanique K

§19. Revenons à Tschirnliausen. En i70i, ce géomètre annonça, à l'Académie des sciences, une nouvelle méthode générale, propre à suppléer le calcul infinitésimal dans plusieurs questions de haute Géométrie, telles que la construction des tangentes et des rayons de courbure '^. Mais sa solution, qui reposait sur l'Analyse de Descartes, n'était qu'une imitation des deux méthodes que ce grand géomètre avait données du problème des tangentes, et qui consistaient à supposer que deux points d'une courbe, distants d'abord l'un de l'autre d'une quantité finie, venaient à se confondre.

Le titre suivant : Essai d'une méthode pour trouver les touchantes des courbes mécaniques, sans supposer aucune grandeur indéfiniment petite ', sous lequel Tschirnhausen présenta l'une de ses découvertes, fit grande sensation alors ; et il devait en elîet piquer vivement la curiosité des géomètres et assurer à son auteur, déjà célèbre, une gloire immortelle, si sa promesse était pleinement remplie. Mais cette méthode, loin de convenir à toute courbe mécanique proposée, ne s'appliquait qu'à un genre de courbes ayant pour abscisses des arcs d'une courbe géométrique, à laquelle on savait mener les tangentes, et pour ordonnées des parallèles à une droite fixe : le calcul employé par Tschirnhausen était le même que pour le cas ordinaire où les abscisses étaient comptées sur une droite, au lieu d'être comptées sur un arc de courbe. Mais cette méthode a toujours le mérite d'être une extension de celles de Descartes qui, pour maintenir l'universalité et la suffisance de sa Géométrie, en a exclu, comme l'on sait, les courbes mécaniques, désignant par ce mot celles qui ne pouvaient pas se déterminer par une mesure exacte et connue. Dès 1 682,

' Théorie générale de l'équilibre et du mouvement des systèmes; 15°" Cali. du Journ. de l'École polytechnique. Ce Mémoire vient d'être reproduit dans la 6* édition de la Statiqie de M. Poinsol.

2 Histoire et Mémoires de l'Académie des sciences, ann. 1701.

' Mémoires de l'Académie des sciences, ann. 1 702.

m HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

Tschirnhausen avait exposé sa méthode des tangentes aux courbes i^éométriques, dans les Actes de Leipzig, sous le titre : Nova methodus tangentes curvariim expedite delerminandi, et avait annoncé qu'il l'appliquerait plus tard aux courbes mécaniques.

Réflexions sur le» mé- g 59. Lc but coustaut dc Tschimbauscn, dans ses diverses spéculations

tbodes en Géométrie.

géométriques, était de rendre la Géométrie plus aisée, persuadé que les véritables méthodes sont faciles; que les plus ingénieuses ne sont point les vraies, dès qu'elles sont trop composées, et que la nature doit fournir quelque chose de plus simple.

Nous rapportons à dessein celte pensée de Tschirnhausen, persuadé que toutes les vérités géométriques sont de même nature; qu'elles doivent être toutes également susceptibles de démonstrations faciles, et très souvent, intuitives. Et en effet, combien n'a-t-on pas d'exemples que celles qui avaient semblé d'abord présenter les plus grandes difficultés, et se refuser même à toutes les ressources des méthodes connues, sont devenues ensuite les plus simples et les plus évidentes? C'est qu'elles dépendaient de théories non encore formées ou assez étendues, ou ne reposant point sur leurs véritables bases.

C'est en cela, soit dit en passant, que nous paraît consister le principal avantage de l'Analyse moderne sur la Géométrie. La première de ces deux méthodes a le merveilleux privilège de négliger les propositions intermédiaires dont la seconde a toujours besoin, et qu'il faut créer quand la question est nouvelle. Mais cet avantage, si beau et si précieux, de l'Analyse, a son côté faible, comme toutes les conceptions humaines : c'est que cette marche pénétrante et rapide n'éclaire pas toujours suffisamment l'esprit; elle laisse ignorer les vérités intermédiaires qui rattachent le point de départ avec la vérité trouvée, et qui doivent former, avec l'un et l'autre, un ensemble complet et une véritable théorie. Car est-ce assez, dans l'étude philosophique et approfondie d'une science, de savoir qu'une chose est vraie, si l'on ignore comment et pourquoi elle l'est, et quelle place elle occupe dans l'ordre des vérités auquel elle appartient?

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. ii5

Il faut, ce me semble, dans l'élat actuel de la Géométrie, pour atteindre le but de Tschirnhausen, le perfectionnement indéfini de celte science, toujours observer, dans les spéculations auxquelles on appliquera son esprit, les deux règles suivantes :

i" Généraliser de plus en plus les propositions particulières, pour arriver de proche en proche à ce qu'il y a de plus général ; ce qui sera toujours, en même temps, le plus simple, le plus naturel et le plus facile;

2" Ne point se contenter, dans la démonstration d'un théorème ou la solution d'un problème, d'un premier résultat, qui sulfirait s'il s'agissait d'une recherche particulière, indépendante du système général d'une partie de la science ; mais ne se satisfaire d'une démonstration ou d'une solution, que quand leur simplicité, ou leur déduction intuitive de quelque théorie connue, prouvera qu'on a rattaché la question à la véritable doctrine dont elle dépend naturellement.

Pour indiquer un moyen de reconnaître si la pratique de ces deux règles a conduit au but désiré, c'est-à-dire si l'on a rencontré les vraies routes de la vérité définitive, et pénétré jusqu'à son origine, nous croyons pouvoir dire que, dans chaque théorie, il doit toujours exister, et que l'on doit reconnaître, quelque vérité principale dont toutes les autres se déduisent aisément, comme simples transformations ou corollaires naturels; et que celte condition accomplie sera seule le cachet de la véritable perfection de la science. Nous ajouterons, avec l'un des géomètres modernes qui ont le plus médité sur la philosophie des mathématiques, « qu'on ne peut se flatter d'avoir le dernier mot d'une théorie, tant qu'on ne peut pas l'expliquer en peu de paroles à un passant dans la rue ^ » Et en efïet, les vérités grandes et primitives, dont toutes les autres dérivent, et qui sont les vraies bases de la science, ont toujours pour attribut caractéristique la simplicité et l'intuition ^.

' Opinion de M. Gergonne, qui en faisait Tapplicalion à la nouvelle Iticorie des caustiques de M. Quetelel. Nouveaux Mémoires de l'Académie de Bruxelles, tom. IV, pag. 88.

' Celte opinion, admise dans les sciences positives, est un résultat d'expérience, auquel

Division de la Géomé- § 21. Oïl auFR rcmarqué, dans cette analyse succincte des progrès pro-

tneenirois ""''"• jjgieux quc la Géométrie a faits dans l'intervalle d'une trentaine d'années,

que ces progrès furent dus principalement à deux grandes conceptions : celle

des indivisibles de Cavalieri, et celle de Y Analyse appliquée aux lignes

courbes, de. Descartes.

La première s'adaptait aux formes et aux procédés accoutumés de la Géométrie ancienne ; et Ton regarda, comme appartenant à la Géométrie pure des Anciens, les découvertes auxquelles conduisit cette méthode de Cavalieri.

La deuxième, véritable instrument analytique, faisait de la Géométrie une science toute nouvelle, qui exciterait l'étonnement et l'admiration d'Archimède et d'Apollonius, qui n'en ont laissé aucun germe : on l'a appelée Géométrie mixte, Géométrie analytique, ou Géométrie de Descartes.

Mais, tandis qu'une sorte de division s'établissait ainsi dans les méthodes de la Géométrie, un troisième mode de procéder, une troisième espèce de Géométrie, pour ainsi dire, prenait naissance. C'est celle que nous avons déjà dit avoir été employée par Pascal et Desargues, et dont les premiers germes se trouvaient dans les Porismes d'Euclide, et nous ont été conservés par Pappus dans ses Collections mathématiques.

Ainsi donc nous voyons la Géométrie divisée en trois branches :

La première comprend la Géométrie des Anciens, aidée de la doctrine des indivisibles et de celle des mouvements composés;

La deuxième est l'analyse de Descartes, accrue des procédés de Fermât, . dans sa méthode de maximis et minimis, pour calculer l'infini ;

conduit la culture de chacune d'elles. Mais on peut aussi la justifiera priori. Car les principes les plus généraux, c'est-à-dire qui s'élendcnt sur le plus grand nombre des faits particuliers, doivent être dégagés des diverses circonstances qui semblaient donner un caractère distinctif et différent à chacun de ces faits particuliers, considéré isolément, avant qu'on eût découvert leur lien et leur origine commune : s'ils étaient compliqués de toutes ces circonstances ou propriétés particulières, ils en porteraient l'empreinte dans tous leurs corollaires, et ne donneraient lieu, généralement, qu'à des vérités excessivement embarrassées et compliquées elles-mêmes. Ces principes les plus généraux sont donc nécessairement, par leur nature, les plus simples.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. il7

La troisième enfin est cette Géométrie pure, qui se distingue essentiellement par son abstraction et sa généralité, dont Pascal et Desargues ont donné les premiers exemples dans leurs traités des coniques, et dont nous verrons que Monge et Carnot, au commencement de ce siècle, ont assis les fondements sur des principes larges et féconds.

Cette troisième branche de la Géométrie, qui constitue aujourd'hui ce que nous appelons la Géométrie récente, est exempte de calculs algébriques, quoiqu'elle fasse un aussi heureux usage des relations métriques des figures que de leurs relations de situation, ou descriptives; mais elle ne considère que des rapports de distances rectilignes d'un certain genre, qui n'exigent ni les symboles ni les opérations de l'Algèbre.

Celte Géométrie est la continuation de Y Analyse géométrique des Anciens, dont elle ne diffère point quant au but et à la nature de ses spéculations, mais sur laquelle elle offre d'immenses avantages, par la généralité, l'uniformité et l'abstraction de ses conceptions et de ses méthodes, remplaçant les propositions particulières, incomplètes et sans liaison, (jui formaient toute la science et l'unique ressource des Anciens, et surtout par l'usage, si utile, de la contemplation des figures à trois dimensions dans les simples questions de Géométrie plane.

C'est dans cette Géométrie générale que rentrent les théories et leurs applications, auxquelles on a donné, dans ces derniers temps, les dénominations de Géométrie de la règle et de Géométrie de situation, suivant qu'on y fait usage d'intersections de lignes droites seulement, ou d'interseclions de courbes ou de surfaces, dans l'espace, pour découvrir les propriétés descriptives des figures.

Des trois branches, bien distinctes, que nous venons de reconnaître dans la Géométrie, la deuxième, qui est l'Analyse de Descartes, offrit un tel attrait et de si prodigieux avantages, qu'elle fut cultivée, avec une prédilection marquée, par les grands géomètres que nous avons nommés dans le cours de cette troisième Époque.

Il est vrai que cette Géométrie de Descartes, loin d'offrir un ordre de

as HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

spéculations particulières, n'était autre qu'un instrument universel, propre à toutes les conceptions géométriques anciennes et modernes.

§ 22. Quelques mathématiciens cependant furent encore fidèles à la méthode des Anciens. Parmi eux on distingue surtout La Hire. LABiBE, Ce géomètre, quoique familiarisé avec l'Analyse de Descartes, enrichit la

Géométrie pure de plusieurs ouvrages écrits dans le style des Anciens, et qui eurent beaucoup de succès.

Il fut aussi le digne continuateur des doctrines de Desargues et de Pascal, et introduisit dans la Géométrie, principalement par une nouvelle façon d'engendrer les coniques sur le plan, plusieurs innovations qui se rapportent aux méthodes récentes. C'est donc à un double titre que nous avons à citer ici ce célèbre mathématicien.

Ses principaux ouvrages, écrits dans le style de la Géométrie ancienne, sont : le grand traité des sections coniques, intitulé : Sectiones conicœ in novem libros distribulœ (in-fol., Paris, 1685); son Mémoire sur les épicyiioïdes, contenant leurs dimensions, leurs développées et leur usage en mécanique pour la construction des roues dentées ' ; un second mémoire sur le même sujet, généralisé et appliqué à toutes sortes de courbes, sous le titre : Traité des Roulettes, où Con démontre la manière universelle de trouver leurs touchantes, leurs points d'inflexion et de rebroussement, leurs superficies et leurs longueurs, par la Géométrie ordinaire - ; et un Mémoire sur les conchoïdes en général, contenant leurs tangentes, leurs dimensions, leurs longueurs, leurs points d'inflexion (publié dans les Mémoires de l'Académie des sciences, année 1708).

* Ce mémoire a paru en d694, parmi d'autres mémoires de malliématiques et de pliysique de La Hire. Il a clé imprimé de nouveau dans le tome IX des anciens Mémoires de l'Académie des sciences.

La Hire y dit qu'il y a vingt ans qu'il avait découvert les cpicycloîdes et leur usage en mécanique. Depuis, Leibniz a revendiqué l'iionneur de cette double invention pour le célèbre astronome Uoemer, qui l'aurait imaginée en 1674, pendant son séjour à Paris. Mais, comme nous l'avons déjà dit, il paraît, d'après La Hire lui-même, que la partie mécanique, au moins, de celle invention remonte à Desargues.

* Imprime en i 704 dans les Mémoires de l'Académie des sciences.

HISTOIRE DE LA GÉOiMÉTRIE. ii9

Nous devons ajouter à celte liste le Traité de Gnomoniqne, qui parut en 4682, et qui était un ouvrage vraiment nouveau, où La Hire résolvait toutes les questions graphiquement, sans trigonométrie, même rectiligne, et en n'employant que le compas, la règle et le fil à plomb.

§ 23. Le trailé des sections coniques eut une grande réputation dans toute l'Europe savante, et fit regarder La Hire comme un auteur original sur cette matière. Sa méthode, en efïet, quoi(|ue purement synthétique comme celle des Anciens, en différait essentiellement. Les Anciens avaient considéré les sections coniques dans le cône, mais seulement pour en concevoir la génération et en démontrer quelques propriétés principales (dont la plus considérable était le rapport constant du carré de l'ordonnée au produit des segments faits sur l'axe) *, et faire servir ensuite ces propriétés primitives à la recherche et à la démonstration de toutes les autres; de sorte qu'ils formaient leur théorie des coniques sans connaître la nature ni aucune propriété du cône, et indépendamment de celles du cercle qui lui sert de base : Apollonius démontre souvent les propriétés du cercle de la même manière et en même temps que celles

^ Si l'on demande la raison de la fécondité de ceUe propriété des coniques, on dira, en Géométrie analytique, que c'est parce qu'elle est Yéquation même de la courbe, et que dès lors il n'est point étonnant que cette propriété se prête à toutes les transformations que l'on ferait subir à cette équation. Mais, en Géométrie pure, il faut remonter à une raison plus directe, prise de la nature seule de la chose, et non empruntée d'un système de coordonnées auxiliaire et artificiel; et l'on reconnaît alors que cette raison est que la relation en question exprime une propriété de six points pris sur une conique. Mais ces six points n'ont pas entre eux toute la généralité de position possible : quatre de ces points sont deux à deux sur deux droites parallèles.

Malgré cette condition restreinte, la relation dont il s'agit suffit pour construire une conique par points, quand on en connaît cinq, donnes arbitrairement. On conçoit donc qu'elle doit suffire aussi pour conduire à toutes les propriétés des coniques. Mais il faudra souvent suivre une voie moins directe, qui nécessitera quelques détours de plus que si l'on connaissait une relation générale de six points quelconques d'une conique. Cette observation explique pourquoi les beaux théorèmes de Desargues et de Pascal, qui expriment cette relation tout à fait générale de six points d'une conique, ont apporté dans cette théorie une facilité inconnue aux Anciens.

de Tellipse. La Hire conçut une marche plus rationnelle et plus méthodique, et conséquemment plus courte et plus lumineuse. 11 commença par établir les propriétés du cercle, qui devaient se représenter dans les coniques, particulièrement celles qui tiennent à la division harmonique; et ensuite, il en fit usage pour découvrir et démontrer, dans les sections du cône, les propriétés analogues. Et cette méthode eut cela de remarquable alors, qu'elle ne faisait point usage du triangle par Taxe, et qu'elle s'appliquait indistinctement à toutes les sections du cône.

Celte manière de procéder était, comme on le voit, dans l'esprit de celle de Desargues et de Pascal, qui, par la perspective, transportaient aux coniques les propriétés du cercle. La Hire a pu aussi emprunter,du Brouillon projet des Coniques de Desargues, l'usage heureux que l'auteur y faisait de la proportion harmonique et de quelques relations d'involution. C'est sous ces deux rapports que nous regardons ce géomètre comme le continuateur des doctrines de Desargues et de Pascal.

g 24. Nous devons dire que la nouvelle méthode, qui fait dériver les propriétés des coniques de celles du cercle, et de la considération du solide dans lequel ces courbes prennent naissance, avait déjà été pratiquée par deux géomètres du siècle précédent. D'abord par Verner, de Nuremberg, qui avait démontré ainsi plusieurs propriétés élémentaires des sections coniques * ; et ensuite, avec plus d'étendue et d'une manière plus savante, par le célèbre Maurolicus de Messine, qui, après avoir traduit plusieurs écrits des Anciens, mit au jour, entre autres nombreux ouvrages de lui-même, un Traité des Coniques, où il suivit cette marche nouvelle, attribuant à celle qu'avaient suivie les Anciens la prolixité de leurs démonstrations ^.

• J. Verneri Libellus super viginliduobus elementis conicis, etc.; in-4°. 15i22.

^ Quoniam Apollonius omnia ferè conicorum demonstrata conakis est in planum redigere, antiqmoribus insignior ; neghctâ conorum descriptione, et aliundè quœrens argumenta, cogitur persœpe obscurius et indirecte demonstrare id, quod cotitemplando solidœ figurœ sectionem, aperliuset brevius demonstratur.{D.¥R\misc\ Maurolici Opuscula mathematicà. In-i"; Venetiis, 4575; p. 280.)

Il est juste de citer encore à ce sujet Guarini, contemporain de La Hire, qui avait aussi donné, en 1671, un Traité des Coniques^ où il faisait un usage fréquent de la considération du cône, pour démontrer leurs propriétés. On y remarque surtout une démonstration extrêmement simple, et qui s'applique aux trois sections coniques en même temps, de la propriété du rapport constant des produits des segments faits sur des cordes parallèles, qui avait toujours exigé la connaissance de plusieurs propositions préliminaires. Cette méthode était un progrès dans la théorie des coniques; mais Guarini, très savant du reste dans toutes les parties de la Géométrie, ne l'a pas suivie systématiquement et avec le talent de La Hire. {Voir, au sujet de Maurolicus et de Guarini, la Note XVII.)

§ 25. Nous dirons, en passant, qu'outre la méthode des Anciens et celle qu'adopta La Hire, nous en concevons une troisième qui n'a point été employée, et qui eût été propre pourtant, si nous ne nous abusons, à simplifier beaucoup les démonstrations, et à mettre dans tout leur jour les principes et la véritable origine des diverses propriétés des coniques : sous ce rapport, on ne peut se dissimuler que la méthode des Anciens n'offrait qu'obscurité.

Cette méthode eût consisté à étudier les propriétés du cône lui-même, et à les formuler, indépendamment et abstraction faite de celles des coniques ; et celles-ci se seraient déduites des premières avec une facilité et une généralité ravissantes. On le concevra sans peine, car partout où les Anciens employaient trois démonstrations différentes pour établir la même propriété dans les trois sections coniques ; ellipse, hyperbole et parabole, parce qu'ils s'appuyaient sur les caractères particuliers à chacune de ces courbes, un seul raisonnement suffît pour démontrer, dans le cône même, la propriété analogue, d'où celles des trois coniques doivent se déduire comme de leur vraie et commune origine.

De cette manière, on eût vu plusieurs propriétés des coniques prendre naissance dans le cône, telles que celle des foyers, qu'il semble qu'Apol-

i22 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

lonius ait devinée, et que ni ce géomètre, ni aucun de ceux qui l'ont suivi, n'ont rattachée aux propriétés du cercle, ou à celles du cône; de sorte que l'origine première de ces points singuliers, celle qui ne participe que de la nature du cône où la courbe prend naissance, est restée ignorée.

Un autre avantage de la méthode que nous indiquons eût été de former, en même temps que la théorie des coniques, celle des cônes à base circulaire, dont très peu de propriétés étaient connues jusqu'à ces derniers temps. Cela n'eût présenté aucune difficulté; et nous croyons pouvoir en indiquer comme preuve l'essai que nous avons fait de cette méthode dans un Mémoire où, en n'admettant que les seules propriétés du cercle, dont la plupart sont évidentes, nous sommes parvenu à un très grand nombre de propriétés nouvelles des cônes du second degré, dont quelques-unes sont analogues et conduisent à celles des foyers des coniques ; ce qui montre comment l'existence de ces points et leurs propriétés se rattachent à celles du cône ^.

On penserait, à la lecture des premiers mots du Traité des Sections coniques de Wallis, que la méthode que nous venons de proposer fut celle que suivit ce grand géomètre ; car il annonce qu'ayant reconnu que la théorie des coniques est difficile, il va d'abord, dans le but de la simplifier, étudier la nature du cône mieux que ne l'ont fait les Anciens, pour en déduire, comme de leur vraie source, les propriétés de ces courbes. Mais Wallis se hâte d'ajouter qu'il se bornera aux principales de ces propriétés, à celles qui peuvent conduire à la découverte de toutes les autres. El en effet, après avoir démontré celle qui lui sert à exprimer les coniques par une équation entre deux coordonnées, à la manière de Descartes, il suit une autre marche et donne un traité analytique de ces courbes.

§ 26. Revenons au Traité de La Hire. Cet ouvrage est divisé en neuf livres. Le premier, qui est le fondement de tout le reste, traite successive-

* Mémoire de Géométrie pure sur les propriétés générales des cônes du second degré. In-4°; 1830.

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. i23

ment des propriétés de la division harmonique d'une ligne droite; de celles des faisceaux harmoniques; et enfin des lignes divisées harmoniquement dans le cercle. Il s'y trouve aussi quelques cas particuliers de la relation d'involution de six points, quoique cette relation ne s'y trouve pas dans toute sa généralité. Ce livre est une introduction d'où se déduisent, dans la suite, des démonstrations faciles et générales de théorèmes qui avaient coûté, aux Anciens, de longs et pénibles développements. C'est en cela que consistent la nouveauté et le mérite de la méthode de La Hire.

A l'exception du problème ad très et quatuor lineas, et des beaux théorèmes généraux qui faisaient la base des ouvrages de Desargues et de Pascal, toutes les autres propriétés connues des coniques se trouvaient réunies, pour la première fois, dans le traité de La Hire, et démontrées synthétiquement, d'une manière uniforme et élégante. Plusieurs étaient dues à ce géomètre. Parmi celles-ci, nous citerons d'abord la théorie des pôles, qui consiste dans les trois théorèmes suivants :

1° « Si, autour d'un point fixe, on fait tourner une transversale qui » rencontre une conique en deux points, les tangentes en ces points se » croiseront toujours sur une même droite. » (Propositions 27 et 28 du livre l*"^, et 24 et 27 du livre 2.)

Et réciproquement : « Si, de chaque point d'une droite, on mène deux » tangentes à une conique, la droite qui joindra les deux points de contact » passera par un point fixe. » (Propositions 26 et 28 du livre l^"", et 23 et 26 du livre 2.)

Ce point a été appelé, dans ces derniers temps, X^pôle de la droite : celle-ci est la polaire du point.

2° « Si, par un point fixe, on mène plusieurs transversales qui rencontrent une conique, les droites qui joindront deux à deux les points de rencontre de deux quelconques des transversales se rencontreront sur la polaire du point fixe. » (Propositions 22 et 23 du livre 1", et 30 du