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ment de cette troisième Epoque, comme les promoteurs de la Géométrie de Descartes, ne roulèrent généralement que sur la Géométrie plane. Cependant, ce célèbre philosophe, comprenant toute la portée et la puissance de sa doctrine des coordonnées, ne l'avait pas restreinte aux courbes planes, et en avait montré l'usage dans la Théorie des Courbes à double courbure. Pour cela, des points d'une courbe quelconque tracée dans l'espace, il abaissait des perpendiculaires sur deux plans rectangulaires; leurs pieds formaient deux courbes planes qu'il rapportait chacune à deux axes coordonnés situés dans son plan, et dont l'un était l'intersection des deux plans.

Cette doctrine des courbes situées dans l'espace conduisait, comme on le voit, au système de coordonnées à trois dimensions, et à l'expression d'une surface par son équation unique entre ces trois coordonnées. iMais les spéculations des géomètres se bornèrent, pendant longtemps, aux courbes planes ; et la Géométrie analytique à trois dimensions ne se développa que plus d'un demi-siècle après.

i38 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

PARENT, C'est, je crois, Parent qui représenta pour la première fois, en 1700, une

1666-17.6. surface courbe par une équation entre trois variables, dans un Mémoire qu'il lut devant l'Académie des sciences.

Ce Mémoire, écrit d'une manière assez peu soignée, comme les autres ouvrages de l'auteur, géomètre, du reste, très babile et pou vu de connaissances très variées, mérite pourtant d'être remarqué comme olïrant la première application de notre système de coordonnées dans l'espace ; et cette application portait sur des questions assez difficiles. On y trouve l'équation de la sphère, et celle de son plan tangent; la déterminalion des ordonnées maxima et minima dans certaines sections de la sphère ; les équations de diverses surfaces du troisième degré, et des courbes à double courbure passant par les points auxquels répondent des ordonnées maxima et minima ; enfin, la construction des points d'inflexion de certaines courbes tracées sur les surfaces ^

Depuis, Jean Rernoulli a aussi exprimé les surfaces par une équation

entre trois coordonnées, à l'occasion du problème de la ligne la plus courte

qu'on puisse tracer sur une surface, entre deux points donnés.

cLAiRAULT, Mals cc uc fut qu'en 1731 que Clairault, dans son célèbre Traité des

Courbes à double courbure, qu'il composa à l'âge de seize ans 2, exposa pour

* Des affections des superficies : t" de leurs plans tangents ; 2° des plus grands et plus petits des superficies et de leurs plus grands et plus petits absolus; 3° des courbes qui soutiennent ou contiennent les plus grands et plus petits des superficies; 4° des courbes qui soutiennent ou contiennent les inflexions des superficies. Voir le deuxième volume des Essais et Recherches de mathématiques et de physique de Parent; 5 vol. in-12, seconde édition, 1745.

2 Dès l'âge de douze ans, Clairault s'était déjà annoncé dans le monde savant, par un Mémoire sur quatre courbes géométriques, qui a été jugé digne d'être imprimé à la suite d'un Mémoire de son père, dans le recueil de l'Académie de Berlin [Miscellanea Berolinensia, toni. IV, ann. 1734).

Son frère puîné, mort à Tâge de seize ans, avait annoncé la même précocité de talent, en mettant au jour, à quatorze ans, un écrit sur Diverses quadratures circulaires elliptiques et hyperboliques, suivi d'une construction des paraboles cubiques et de diverses autres courbes pa des mouvements continus.

Ce petit ouvrage, qui a obtenu l'approbation de l'Académie des sciences de Paris en 1750, et qui a été imprimé en 1731, mérite d'être placé, dans le cabinet des bibliographes, à côté de

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la première fois, d'une manière méthodique, la doctrine des coordonnées dans l'espace, appliquée aux surfaces courbes et aux lignes à double courbure qui naissent de leur intersection.

Les questions relatives aux tangentes de ces courbes, à leur rectification, à la quadrature des espaces qu'elles déterminent par leurs ordonnées, sont résolues, dans ce traité, avec une élégance et une facilité qui ne le cèdent aux méthodes actuelles que sous le rapport de la symétrie des formules, introduite par Monge dans son grand Traité de V application de l'Algèbre à la Géométrie.

La dénomination de Courbe à double courbure, adoptée par Chirauli, parce qu\ne telle cou?'be participe de la courbure de deux courbes planes qui en sont les projections, est due à Pitot ^, qui l'avait employée dans un Mémoire, pitot,

concernant l'hélice tracée sur un cylindre droit circulaire, lu à l'Académie des sciences en 1724.

§ 39. Nous avons eu occasion de faire voir, en parlant d'Architas, de Geminus et de Pappus, que les courbes à double courbure n'ont pas été étrangères aux études des Anciens. Depuis, et jusqu'à Clairault, d'où datent

V Essai pour les coniques de Pascal, et des Recherches sur les Courbes à double courbure, du frère aîné de l'auleur. La rareté du livre ajoute au prix de cette curiosité littéraire, offerte par un géomètre de quatorze ans.

1 Pitot, en se proposant de carrer la courbe appelée d'abord la compagne de la cycloïde, puis, par Leibniz, la ligne des sinus, parce que ses abscisses seraient égales aux sinus des ordonnées si on enroulait celles-ci sur une circonférence du cercle; Pitot, dis-je, trouve : i° que celle courbe est ce que devient, dans le développement d'un cylindre droit circulaire sur son plan tangent, l'ellipse qui aurait été formée sur ce cylindre par un plan sécant incliné de 45 degrés sur son axe; et, 2', que cette courbe provient aussi d'une hélice tracée sur le même cylindre, el projetée sur un plan parallèle à l'axe du cylindre.

Ces deux propositions ont été démontrées, depuis, dans plusieurs ouvrages.

La courbe dont il s'agit, considérée comme provenant d'une ellipse, dans le développement du cylindre, a fixé l'attention de Schubert, qui en a donné la quadrature el la rectification, dans les Nova Acta de Pétersbourg, lom. XIII, année 1795-1796.

Burja, dans un Mémoire sur les connaissances mathématiques d'Aristole, a remarque que ce prince des philosophes de l'antiquité a parlé de cette même courbe dans la question sixième de la dixième section de ses Problèmes.

leur théorie et le rang qu'elles ont pris dans le vaste enseml)le des propriétés de l'étendue, on les retrouve encore dans les travaux de plusieurs géomètres.

Voici, pour compléter l'historique de ces courbes, un exposé rapide, et suivant l'ordre des temps, des différentes circonstances où ces courbes se sont présentées.

NONius, En 1530, Nonius, Portugais, et plus tard Wright, Stévin, Snellius,

1*92-1577. examinèrent la loxodromie, qui est une courbe à double courbure, tracée sur le sphéroïde terrestre. C'est la route parcourue par un vaisseau dirigé toujours sur le même rumb de vent. On doit à Halley celte propriété curieuse de la loxodromie, d'être la projection stéréographique de la spirale logarithmique.

Vers 1630, Roberval, dans son Traité des Indivisibles, considéra la courbe à double courbure, décrite par un seul trait de compas sur la surface d'un cylindre droit circulaire, et démontra diverses propriétés de celte courbe, et de celle qui en résulte par le développement du cylindre sur un plan.

LALouBÈRE, Peu après, La Loubère étudia aussi cette courbe, et l'appela cyclo-cylindrique.

En 1637, Descaries, à la fin du second livre de sa Géométrie, dit quelques mots des courbes à double courbure, sans s'occuper d'aucune en particulier; mais ce peu de mots en comprenait toute la doctrine ^

* Descartes indique aussi la construction des normales aux lignes à double courbure; mais sur ce point il commet une erreur; car il suppose que les normales aux deux courbes planes, qui sont les projections de la courbe à double courbure, sont elles-mêmes les projections d'une normale à cette courbe. Cela peut se dire des tangentes, mais non des normales.

Quelque peu d'importance qu'ait cette erreur, et quelque étrangère même qu'elle soit à la méthode qui constitue la Géométrie de Descartes, il est fort étonnant qu'elle ait échappé aux envieux comme aux admirateurs qu'a fait naître cette œuvre immortelle, et à Roberval surtout, qui se rail l'esprit à la torture pour y découvrir quelque défaut. Bien plus, le P Rabuel, dans son Commentaire, démontra la construction indiquée par Descaries; il est vrai qu'il omet, dans cette prétendue démonstration, de citer les Éléments d'Euclide, comme il a coutume de faire à peu près une fois par chaque ligne.

<600-tC64.

Pascal résolut un problème sur la spirale conique, qui est une ligne à double courbure, tracée sur un cône droit (OEuvres de Pascal, lom. V, pag. 4.22).

Le P. Courcier, dans son Traité : Opusculiim de secttone superficiel sp/iœricœ per superficium sphœricam, cylindricam alque conicaiHy etc., in-A", 1663, eut à considérer, d'une manière spéciale, des courbes à double courbure. Ce sont celles qui naissent de Tinterseclion de la sphère par le cône et le cylindre droits, à bases circulaires, et de l'intersection de ces deux surfaces entre elles, considérées dans toutes les positions qu'elles peuvent présenter. Cet ouvrage, quoique le sujet n'offre pas de difficultés sérieuses, mériterait d'être plus connu qu'il ne l'est '.

Un problème proposé en 1 692 par Viviani, où il s'agissait de percer quatre fenêtres dans une voûte hémisphérique, telles que le reste de la voûte fût quarrable, était résolu par des lignes à double courbure, et donna lieu à Wallis, Leibniz et Bernoulli, de considérer de telles courbes sur la sphère.

Herman, en répondant à la question de tracer sur la sphère des courbes rectifiables, proposée dans les Actes de Leipzig de 1718, fut conduit à la considération de l'épicycloïde sphérique, engendrée par un point de la surface d'un cône de révolution qui roule sur un plan, son sommet restant fixe.

En 1728, Guido-Grandi considéra sur la sphère deux courbes à double courbure, qu'il appela délies, et dont il donna la quadrature. L'une de ces courbes est simplement l'intersection de la sphère par une surface héliçoïde rampante, dont l'axe passe par le centre de la sphère.

Enfin parut l'ouvrage de Clairault, qui fonda la théorie des courbes à double courbure; et dès lors les spéculations concernant ces courbes se multiplièrent considérablement.

COURCIER.

TIVIANI, 1622-1703.