livre

3« « Enfin : le point où chaque iranversale rencontre la polaire du

iM HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

» point fixe est le conjugué harmonique de ce point fixe, par rapport aux » deux points où la transversale rencontre la courbe. » (Propositions 21 du livre 1«^, et 23 et 26 du livre 2.)

Cette dernière proposition était connue d'Apollonius.

Elle est, dans le traité de La Hire, la proposition fondamentale, dont presque toutes les autres se déduisent. On voit, par exemple, dans la proposition 3 du 3^ livre, comment elle conduit naturellement à la propriété du carré de l'ordonnée comparé au rectangle fait sur l'axe.

Ainsi cette proposition joue, dans le grand traité de La Hire, le même rôle que la proposition du latus rectum dans Apollonius ; que le théorème de l'involution de six points dans le Brouillon projet des Coniques de Desargues, et que l'hexagramme mystique dans l'ouvrage de Pascal.

Il est aisé de voir que, des trois propositions énoncées, les deux premières sont comprises dans le théorème sur le quadrilatère inscrit aux coniques : nous avons dit que Pascal l'avait probablement déduit de son hexagramme; et la troisième est une conséquence aussi de ce même théorème, au moyen de la 134'"« proposition du 7" livre des CoUeclions mathématiques, que nous avons citée en parlant de Pappus.

Mais l'ouvrage de Pascal n'ayant jamais été publié, La Hire a le mérite de l'invention de ces belles propositions. Depuis, elles ont été reproduites par Mac-Laurin, dans son Traité des Fluxions et dans son Traité des Courbes géométriques ; par R. Simson, dans son Traité des Sections coniques; par Carnot, dans sa Théorie des Transversales; et par divers autres géomètres.

La première et sa réciproque ont été démontrées, dans la Géométrie descriptive de Monge, d'une manière intuitive fort élégante, et ont été étendues, par cet illustre géomètre, aux surfaces du second degré. C'est de cette époque que datent l'importance et les usages de cette théorie des pôles, renfermée auparavant dans les ouvrages profonds que nous venons de nommer, et presque inconnue aux jeunes géomètres qui n'ont étudié les coniques que dans les traités analytiques.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. i25

' Parmi d'autres propriétés remarquables des sections coniques, dues à La Hire, nous citerons encore le lieu géométrique du sommet d'un angle droit circonscrit à une conique, lequel est un cercle pour Tellipse et l'hyperbole, et une droite pour la parabole (8« livre, propositions 26, 27 et 28) * : c'est Monge aussi qui a généralisé cette proposition, et fait voir que le point d'intersection de trois plans rectangulaires, tangents à une surface du second degré, se trouve toujours sur une sphère qui devient un plan si la surface est un paraboloïde.

La Hire a considérablement enrichi la théorie des foyers, et donné une construction élégante et facile, par la ligne droite et le cercle, d'une conique qui doit passer par trois points et dont le foyer est donné. Problème utile en astronomie, et pour lequel le célèbre astronome et géomètre Halley, qui l'avait résolu le premier, avait employé une hyperbole ^.

§ 27. Jusqu'à Descartes, il n'y avait eu qu'une manière de concevoir la génération des coniques : c'était dans le solide; c'est-à-dire, dans le cône à base circulaire. Mais la Géométrie de cet illustre novateur fit, comme dans les autres parties des mathématiques, une révolution complète dans la théorie de ces courbes : elle apprit à leur donner naissance sur le plan, et sans qu'il fût besoin d'employer la considération du cône. Il suffisait à Descartes de remarquer que, dans son système de coordonnées, toutes les

' La Hire a aussi donné (dans les Mémoires de l'Académie des sciences, année 1704), le lieu des angles égaux, aigus ou obtus, circonscrits à une conique, lequel est une courbe du quatrième degré, qui se réduit au second, et devient une hyperbole, quand la conique proposée est une parabole.

Dans ce même Mémoire, La Flire a traité la même question pour la cycloïde, et est parvenu a ce résultat curieux, savoir, que tous les angles égaux, droits, aigus ou obtus, circonscrits à cette courbe, ont leurs sommets sur une seconde cycloïde raccourcie ou allongée.

Nous avons trouvé que les épicycloïdes du cercle jouissent de la même propriété ; c'est-àdire que :

Si à une épicycloïde, engendrée par un point d'une circonférence de cercle qui roule sur un autre cercle fixe, on circonscrit des angles tous égaux entre eux, leurs sommets seront situés sur une épicijcluïde allongée ou raccourcie.

' Methodus directa et geometrica cujus ope investigantur Aphelia, etc., P/ane(arMm. Transactions PHILOSOPHIQUES, année 1676, n° 128.

coniques étaient représentées par Téquation générale du second degré. Ce mode d'expression analytique était propre à la recherche et au développement de leurs nombreuses propriétés. Cette méthode fut adoptée d'abord par Wallis, qui, le premier, donna un traité analytique des sections coniques; et depuis, par la plupart des géomètres qui écrivirent sur ces courbes. Cependant on continua encore, pendant un siècle, de considérer les coniques dans le cône; et les traités qui parurent dans cet intervalle réunirent les deux méthodes, celle des Anciens et celle de Descartes.

La manière de Desargues et de Pascal, de considérer les coniques, rentrait dans celle des Anciens, puisqu'ils formaient ces courbes par la perspective du cercle. Mais leur méthode tirait l'un de ses principaux avantages de l'emploi de la théorie des transversales, dont les Anciens avaient fait usage dans les systèmes de lignes droites seulement, et non dans la théorie du cercle ni des coniques.

Grégoire de St-Vincent, comme nous l'avons dit, avait imaginé de nombreuses manières de former les coniques l'une par l'autre ; Schoolen en avait donné diverses descriptions organiques; De Witt avait fait un pas de plus, en formant ces courbes de différentes manières assez générales, dont il s'était servi avec habileté pour démontrer leurs propriétés principales ; mais ses modes de description n'étaient pas les mêmes pour les trois courbes.

La Hire, ayant sous les yeux la manière universelle, mais analytique, de Descartes, et les tentatives de De Witt, chercha aussi un mode de description générale des coniques sur le plan, qui pût servir à démontrer leurs mêmes propriétés que dans le solide.

§ 28. Il exécuta son dessein de deux manières, dans deux ouvrages qui précédèrent son grand Traité de 4685, et commencèrent sa réputation comme géomètre, en 1673 et 1679.

Dans le Traité de 1679 *, La Hire définit les sections coniques, des courbes

* Nouveaux élémens des sections coniques. Les lieux géométriques. La construction ou effection des équations. (In-12j 1679.)

telles, que la somme ou la différence des dislances de chacun de leurs points à deux points fixes, est constante, ou bien dont chaque point est à égale dislance d'un point et d'une droite fixes. De ce seul point de départ, il conclut un grand nombre de propriétés de ces courbes.

Cette manière de présenter la théorie des coniques a été adoptée par plusieurs géomètres, qui en ont fait la base de leurs ouvrages, tels que le marquis de Lhospital, R. Simson, Guisnée, Mauduit, etc.

La Hire réunit à cet ouvrage deux autres parties différentes sur les lieux géométriques, traités par la méthode de Descartes, et sur leur usage pour la construction des équations.

Cette dernière partie est terminée par la construction, en n'employant que la ligne droite et le cercle, d'un des plus fameux problèmes sur les coniques, qui est de leur mener une normale par un point pris au dehors de la courbe. Anderson \ Sluze et Huygens l'avaienl résolu pour la parabole seulement; ce qui n'offrait pas une grande difficulté, parce que la question, n'ayant dans ce cas que trois solutions, pouvait être résolue par un seul cercle. Mais le cas de l'ellipse et de l'hyperbole, qui admet quatre solutions, était une question très difficile, qui suffisait pour prouver toute la sagacité de La Hire dans l'Analyse de Descartes.

§ 29. Le Traité de 1673, intitulé : Nouvelle méthode en Géométrie, pour les sections des superficies coniques et cylindriques, est celui où La Hire se montre vraiment original et novateur, et celui surtout qui nous porte à placer ce géomètre au rang des fondateurs de la Géométrie moderne.

Cet ouvrage se compose de deux parties, dont chacune offre une méthode nouvelle, et a un mérite différent. Le titre que nous venons d'énoncer se rapporte plus particulièrement à la première partie, où l'auteur considère les coniques dans le cône : la seconde, où il les engendre sur le plan, est intitulée Planiconiques.

La première partie peut être regardée comme un essai de la méthode

* A. Andersoni Exercitationum malhematicarum Decas prima, etc. Paris; i619, in-4».

que La Hire a suivie, douze ans après, dans son grand Traité; car il y commence par vingt lemmes qui roulent sur la même matière que le l*^"" livre de ce Traité, et dont il se sert ensuite pour démontrer, avec une généralité nouvelle alors, et sans se servir du triangle par l'axe, les principales propriétés des coniques. Mais ces démonstrations sont loin d'offrir le même degré d'élégance et de simplicité que celles du Traité de 1685.

Dans ses Planiconiques, La Hire imagina une description générale des coniques sur le plan, au moyen du cercle, comme dans l'espace, et sans connaître aucune propriété de ces courbes; puis il fit voir que les courbes ainsi engendrées sont effectivement les mêmes que celles que l'on peut tracer, dans l'espace, sur le cône. Ce que celte méthode a surtout de beau, c'est que les mêmes lemmes qui ont servi à transporter aux sections du cône les propriétés du cercle, servent pareillement pour les appliquer aux Planiconiques, et les démonstrations restent les mêmes que dans la première partie.

§ 30. Ce premier ouvrage de La Hire étant extrêmement rare, et les auteurs qui en ont parlé dans le temps n'en ayant point fait connaître l'esprit^, on nous pardonnera d'entrer ici dans quelques développements pour dire ce qu'était cette merveilleuse théorie des Planiconiques, restée si longtemps ensevelie et ignorée, et qui offrait la première méthode suffisamment générale pour la transformation des figures en d'autres figures du même genre.

Concevons dans un plan deux droites parallèles entre elles, que l'auteur appelle l'une formatrice, l'autre directrice, et un point appelé pôle. Par

* Les Transactions philosophiques, année 1676, n" 129, rendent un compte favorable de l'ouvrage de La Hire, mais ne parlent pas de la partie des Planiconiques.

Le Journal des Savans, année 1674 (17 décembre), après avoir donné l'analyse de la première partie de l'ouvrage, dit ces seuls mots des planiconiques, qui devaient suffire pour les préserver de l'oubli : « L'auteur a ajouté à sa nouvelle méthode un traité des planiconiques, qui est très » beau et très commode, puisque, par là, il n'est plus besoin d'imaginer aucun solide, ni plan, » que celui sur lequel est la figure. »

Wolf, dans son Commentaire des principaux écrits des géomètres, cite les autres ouvrages de La Hire et omet celui dont il est ici question. Montucla n'en dit mot non plus. Cependant Cornélius à Beughem en avait fait mention dans sa Biographica mathematica, et Murrhard, depuis, l'a inscrit aussi dans sa Bibliotheca mathematica.

chaque point M d'une courbe donnée dans le plan, on mène, sous une direction arbitraire, une transversale; elle rencontre la directrice en un point qu'on joint au pôle par une droite, et la formatrice en un second point, par lequel on tire une parallèle à cette droite. Cette parallèle rencontre la droite qui va du point M au pôle, en un point M', qui est dit formé par le point M.

Chaque point de la courbe proposée forme ainsi le point correspondant d'une seconde courbe.

Les points d'une ligne droite forment des points appartenant à une seconde ligne droite, et ces deux droites se coupent sur la formatrice.

Enfin, les points d'un cercle forment les points d'une section conique.

Pour démontrer cette proposition sans supposer aucune propriété des coniques, La Hire imagine un cône à base circulaire, dans lequel est faite une section plane; il abat le plan du cercle sur celui de la section, en le faisant tourner autour de la droile d'intersection de ces deux plans ; puis, prenant cette droite pour formatrice, une seconde droite (qui, dans la position primitive du plan du cercle, était son intersection par un plan mené par le sommet du cône, parallèlement à celui de la section) pour directrice, et pour pôle un certain point qu'il détermine convenablement : il prouve, par des comparaisons de triangles semblables, que la section peut èlre /ormee par le cercle '.

Telle est la méthode par laquelle La Hire effectuait sur le plan, sans avoir besoin d'aucun solide, ni d'autre plan que celui de la figure, les sections d'un cône. C'est ce qu'il appelait réduire le cône et ses sections en plan. J'appliquai à ces sections planes, dit-il dans la préface de son Traité de 1679, les mêmes démonstrations que j'avais faites pour les solides, et je puis dire que cet ouvrage eut assez de bonheur pour mériter l'approbation des plus savans géomètres.

L'éclat que jeta celte première production de La Hire fut de peu de

' Celte dëmonslralion est assez difficile; le principe de perspective, que nous avons déduit du théorème de Desargues, en offre une qui est naturelle et d'une extrême simplicité.

durée; et cet ouvrage, malgré son mérite incontestable, est, depuis plus d'un siècle, tombé dans l'oubli ; ce dont nous nous étonnerions, si nous ne savions que chaque époque a ses questions du moment, et que les idées les meilleures et les plus fécondes, pour être bien saisies, doivent venir dans le temps où les esprits sont tournés vers l'objet auquel elles se rapportent. L'étude des sciences nous offre, à chaque pas, la preuve de cette vérité \

§ 3i. La méthode de La Hire a pourtant été reproduite, ou plutôt inventée de nouveau, en 1704, par Le Poivre (de Mons), géomètre inconnu de nos jours, mais qu'il y aurait injustice à ne pas nommer à côté de Desargues, Pascal et La Hire, dans l'histoire de l'origine et des progrès de la Géométrie moderne. Son ouvrage est intitulé : Traité des Sections du cylindre et du cône, considérées dans le solide et dans le plan, avec des démonstrations simples et nouvelles. (In-8° de 60 pages.) La partie relative à la description des coniques sur le plan n'est au fond que la méthode de La Hire, mais présentée d'une manière très différente, qui mérite que nous en exposions ici l'esprit et les procédés '^.

Il paraît que la première idée de l'auteur a été de tracer sur un cône une section plane, sans mener effectivement le plan qui la contient; ce qu'il fait de

^ Nous pourrions ajouter, avec Montucla : « Qu'il est des préjugés jusque dans la Géométrie, et qu'il est rare que ceux qui sont dès longtemps accoutumés à une certaine manière de raisonner soient disposés à quitter une ancienne habitude pour en contracter une nouvelle. » [Histoire des Mathématiques, tom II, pag. 144.)

^ II a été rendu comple de cet ouvrage dans le Journal des Savans, année 1704; et dans les Acta eruditorum, année 1707.

L'article fort étendu du Journal des Savans paraît supposer que la méthode de Le Poivre est prise de celle de La Hire. Mais la voie d'invention est trop différente dans l'une et l'autre, pour que nous adoptions celte conjecture. Ajoutons que l'ouvrage de Le Poivre a un mérite qui ne se trouve pas dans celui de La Hire et qui n'a point été remarqué par l'auteur de l'article du journal; c'est de contenir un second mode de description de ses figures, basé sur leurs relations métriques, dont l'auteur aurait pu tirer un parti considérable s'il eût poussé plus loin cette idée heureuse.

Le Journal de Leipzig parle très favorablement de l'ouvrage de Le Poivre, t IVon soium, inquit, intra paucas pagellas palmarias sectionum conicarum proprietales mira facilitate ac perspicuilate explicat; sed inter eas quoque aliquot proponit anteà parum cognilas.

HISTOIRE DK LA GÉOMÉTRIE. i31

deux manières : parrinlerseclion de chaque arête du cône et d'une autre droite menée convenablement, ou bien par une proportion dont le dernier terme détermine, sur chaque arête, le point de la section. Puis, il observe que ces mêmes procédés peuvent s'exécuter aussi sur le plan même du cercle qui sert de base au cône, comme dans l'espace, et donner naissance aux mêmes courbes. Concevons un cône à base circulaire : un plan coupant, mené arbitrairement, déterminera sur le cône une seclion; c'est cette courbe qu'il s'agit de construire, en faisant abstraction du plan qui la contient. Pour cela, il faut d'abord prendre dans l'espace les éléments nécessaires à la détermination de la position de ce plan; ce qui peut se faire de diverses manières. Le Poivre prend la trace du plan coupant sur la base du cône et une seconde droite parallèle à cette trace, el qui est l'intersection du plan de la base par le plan mené, par le sommet du cône, parallèlement au plan coupant. Ces deux droites et le sommet du cône délerminent la position du plan coupant : ces trois données doivent donc suffire pour la construction de la courbe qui résulterait de l'intersection du cône et de ce plan, s'il existait réellement.

Or, il est aisé de voir que, pour efTectuer cette construction, il n'y a qu'à mener par un point M du cercle, base du cône, appelé cercle génc'raleur, une transversale quelconque qui rencontrera la trace du plan coupant et sa parallèle, en deux points ; joindre le second de ces points au sommet S du cône, par une droite, et mener par l'autre point une parallèle à cette droite. Cette parallèle est évidemment dans le plan coupant, et rencontre l'arête SM du cône, en un point M' qui appartient à la courbe cherchée. Pour un autre point du cercle générateur, on aura un autre point de la section.

Cette construction est générale, quelle que soit la position du point S dans l'espace; et elle subsiste quand ce point est situé sur le plan du cercle, auquel cas il n'y a plus de cône. La courbe formée alors par le point est encore une section conique ^

' Pour s'en convaincre, il suffît de concevoir la courbe que nous venons de construire dans l'espace, et de la projeter sur le plan du cercle, avec toutes les lignes qui ont servi à sa construction. En projection on aura uue courbe, et des droites qui serviront à sa construction,

Ainsi, la construction de l'auteur s'applique à la description des coniques sur le plan, comme dans l'espace. Pour le cas du plan, c'est, comme on le voit, la même construction que celle de La Hire. Le point S est le pôle, la trace du plan coupant est la formatrice, et sa parallèle est la directrice.

§ 32. 11 y a, en général, dans les questions de Géométrie, deux manières d'appliquer les solutions auxquelles la théorie a conduit. La première est de déterminer les points cherchés par des constructions de lignes; la seconde, de les déterminer par des formules qui se réduisent ensuite à des calculs numériques. Il est toujours utile de chercher ces deux genres de solutions, parce que chacune comporte des propriétés de la figure que l'autre n'indique point : la question est résolue complètement quand elle a été envisagée sous toutes ses faces, et que les diverses propriétés graphiques et métriques qui se rattachent aux deux solutions dont nous parlons, ont été découvertes et mises dans tout leur jour.

La construction que nous venons de donner pour décrire les coniques, soit dans l'espace, soit sur le plan, appartient au premier mode de solution. Pour la convertir en une formule numérique, on compare deux triangles semblables, qui ont un sommet commun au point M du cercle générateur, et l'on en tire une proportion entre leurs côtés adjacents à ce sommet. Cette proportion donne la distance du point M' de la conique au point correspondant du cercle : c'est la formule cherchée ^

comme les droites dans l'espace à la construction de la section du cône; c'est-à-dire que la construction de la courbe projetée sera absolument semblable à celle de la courbe située dans l'espace; et, si l'on prend les lignes projetantes perpendiculaires à la trace du plan de la section sur celui de la base du cône, et également inclinées sur ces deux plans, alors la courbe projetée sera égale à la section du cône ; ce sera donc une section conique.

De là aussi on conclut que, pour transporter aux coniques les propriétés du cercle, une seule démonstration suffît, que l'on considère la conique sur le plan du cercle ou dans l'espace,

' Il eût mieux valu prendre pour inconnue la distance du point M' au point S; la formule aurait conduit naturellement à diverses propriétés des coniques, particulièrement à celles de leurs foyers, dont l'auteur n'a rien dit. Il eût suffî, pour cela, de placer le point S au centre du cercle générateur.

Cette dernière observation, relative à la position du point S, s'applique aussi au Traité de

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. i33

§ 33. La méthode de La Hire et de Le Poivre était la plus heureuse et la plus féconde qu'on pût imaginer pour découvrir les nombreuses propriétés des coniques par celles du cercle; mais les avantages qu'elle offrait ne devaient point se borner à cet usage particulier; elle avait un avenir plus grarïd, comme offrant un moyen général de Ircmsformer, sur le plan, les figures en d'autres du même genre, ainsi que ferait la perspective.

L'importance de ces méthodes, qui forment l'une des doctrines principales de la Géométrie récente, nous engage à entrer encore dans quelques considérations au sujet de celle de La Hire et de Le Poivre, qui montreront ses rapports avec les pratiques de la perspective, avec une méthode analogue imaginée dans le même temps par Newton, et avec plusieurs autres méthodes, d'invention plus moderne, dont nous aurons à parler dans la suite.

Le mode de transformation du cercle en une conique sur le plan, employé par La Hire et Le Poivre, a pour propriété caractéristique que ; à chaque point et à chaque droite, considérés comme appartenant au cercle générateur, correspondent un point et une droite appartenant à la conique ; et les relations de |)Osition des deux figures sont telles, que deux points correspondants sont en ligne droite avec un point fixe S, et que deux droites correspondantes concourent sur un axe fixe : cet axe est la droite que nous avons appelée formatrice dans la méthode de La Hire, et qui nous représentait, dans celle de Le Poivre, la trace d'un plan coupant.

Ce point S et l'axe fixe, considérés comme appartenant au cercle, sont eux-mêmes leurs correspondants par rapport à la conique, de sorte qu'ils jouent le même rôle par rapport à chacune des deux courbes.

Si, du point fixe, on peut mener deux tangentes au cercle, elles seront aussi tangentes à la conique; et si l'axe rencontre le cercle en deux points, la conique passera par ces deux points.

La Hire, qui démontre les propriélcs des foyers, mais en supposant ers points connus a priori, comme dans les coniques d'Apollonius, et sans être conduit à leur découverte. En plaçant le pô(e au centre du cercle, la formatrice et la directrice étant d'ailleurs quelconques (mais parallèles entre elles), on forme une conique qui a pour foyer le pôle; et diverses propriétés du cercle s'appliquent immédiatement à la conique, relativement à son foyer.

On démontre encore que, si deux droites sont parallèles, leurs correspondantes concourent en un point situé sur la droite que nous avons appelée la directrice, de sorte qu'à un point quelconque, situé à l'infini dans la première figure, correspond, dans la seconde figure, un point situé sur la directrice; ce qui prouve, attendu qu'il n'y a qu'une ligne droite qui puisse correspondre à une ligne droite, que tous les points d'un plan, situés à l'infini, doivent être considérés comme appartenant à une même ligne droite.

§ 34. On reconnaît, à ces diverses propriétés, les figures homologiques dont M. Poncelet a donné, le premier, la théorie dans son Traité des Propriétés projectives. Le pôle S est le centre d'homologie, et la formatrice est l'axe d'homologie.

Les personnes qui ont l'habitude des pratiques de la perspective reconnaîtront aussi, dans ce mode de déformation, les figures mêmes que l'on trace sur un plan, comme devant être la perspective l'une de l'autre.

Ainsi, qu'on regarde la formatrice (ou axe d'homologie), comme la ligne de terre, la directrice comme la ligne horizontale, le pied de la perpendiculaire abaissée du pôle (ou centre d'homologie) sur celte directrice, comme le point de vue, et enfin que, pour déterminer le point de distance, on porte, à partir du point de vue, un segment égal à cette perpendiculaire, sur la directrice ; puis, qu'avec ces données on construise la perspective de la conique décrite par La Hire, on trouvera précisément son cercle générateur. {Voyez la Note XVIII.)

Ainsi, la description générale des coniques sur le plan, qu'avait désirée ce géomètre, existait à son insu depuis longtemps; mais elle ne servait que comme simple pratique de la perspective, à l'usage seulement des artistes. La Hire a le mérite très grand d'avoir, le premier, conçu l'idée de se servir d'une telle déformation de figure comme méthode de Géométrie rationnelle, pour transporter directement à une courbe les diverses propriétés d'une autre courbe décrite sur le même plan.

Cette méthode était une généralisation de deux autres modes de transformation d'une figure en une autre de même nature. Le premier consiste à

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. i35

mener d'un point fixe des rayons à tous les points d'une courbe, et à les prolonger dans un rapport constant : leurs nouvelles extrémités forment une seconde courbe semblable à. la première, et semblablement placée par rapport au point fixe ; le second mode de transformation consiste à abaisser, de tous les points d'une courbe, des ordonnées sur un axe fixe, et h les prolonger, à partir de cet axe, dans un rapport donné : leurs extrémités appartiennent à une seconde courbe qui est du même degré et du même genre que la proposée; et les tangentes en deux points correspondants de ces deux courbes se rencontrent sur l'axe fixe. C'est de celte manière que Stévin, Grégoire de St-Vincent et, avant eux, le célèbre peintre Albert Durer, formaient l'ellipse au moyen du cercle. On tombe sur ces deux modes de déformation en supposant, dans celui de La Hire, que la trace et la directrice, dans le premier cas, et le point S dans le second, soient à l'infini.

Nous trouvons, dans la Géomélrie des lignes courbes de John Leslie ^, une construction des coniques, par l'intersection de deux droites mobiles autour de deux pôles fixes, qui revient à celle de La Hire. Ce célèbre géomètre a tiré cette construction des pratiques de la perspective; mais il n'en a point fait usage, comme La Hire et Le Poivre, pour démontrer les propriétés des coniques.

§ 35. Dans le même temps que La Hire conçut sa méthode de description des coniques au moyen du cercle. Newton en imagina aussi une du même newton. genre, dont le but général était d'opérer, sur le plan, des transformations de figures, dans lesquelles des points répondissent à des points, et des droites à des droites, et où certaines droites convergentes devinssent parallèles. Il donna cette méthode dans le premier livre de ses Principes, et montra comment elle pouvait servir pour transformer une conique quelconque en un cercle, et simplifier ainsi des problèmes difficiles.

Ce grand géomètre donna une construction géométrique et une expres-

• Geometrical analysis and Geometry of curve Unes, etc. Edinburgli, 1821, in-S".

sion analytique, Tune et l'autre très simples, de ses figures transformées, mais sans laisser apercevoir la route qui l'avait conduit à ce mode de transformation des figures ; et c'est peut-être pourquoi il a été peu cultivé depuis ; car l'esprit éprouve toujours quelque difficulté et quelque répugnance aux choses qui ne porlenl pas en elles plus que l'évidence qui convainc, et où ne se trouve pas celle qui éclaire et montre les véritables raisons des choses. Nous avons été curieux de comparer cette méthode à celle de La Hire, et de rechercher les différences qui pouvaient les caractériser, et donner quelque avantage à l'une sur l'autre, espérant par là retrouver le fil qui avait pu guider Newton. Nous avons reconnu que ses figures n'étaient autres que celles de La Hire placées dans une position différente, l'une à l'égard de l'autre ; et qu'on peut aussi les produire par la perspective, en les abattant ensuite sur un même plan, mais d'une autre manière que ne l'avait fait La Hire; et c'est ainsi probablement que Newton aura imaginé sa méthode. Ce procédé est en effet l'une des pratiques de perspective enseignées par quelques auteurs, dont nous citerons Vignole, Sirigali, Pozzo. {Voir la Note XIX.)

§ 36. Il nous serait facile de montrer les ressources immenses que ces méthodes de transformation des courbes sur un plan auraient offertes, depuis un siècle et demi, aux géomètres, si une fatale et injuste prévention ne les avait éloignés de la culture de la Géométrie pure. Mais il nous suffît d'avoir montré que celle de La Hire, particulièrement, conduisait aux mêmes transformations et au même but que la belle théorie des figures homologiques , dont M. Poncelet a tiré des résultats aussi nombreux que remarquables. Cette méthode d'ailleurs, comme celle de Newton, n'est qu'un corollaire de notre principe général de déformation homographique, et nous ferions double emploi en nous étendant ici davantage sur ses applications.

§ 37. En terminant cet historique des premières méthodes de transformation des courbes, nous remarquerons que la manière ingénieuse par laquelle Le Poivre est parvenu à la sienne, aurait mérité aussi l'attention

des géomètres; car elle repose sur une idée qui comprend tout un système de Géométrie descriptive, ou de représentation graphique, sur une aire plane, des corps situés dans l'espace. Celte idée consiste à représenter, dans la pratique de la perspective, un plan situé dans l'espace, par deux droites parallèles tracées sur le tableau, dont l'une est la trace du plan, et l'autre la trace d'un plan parallèle, mené par le point de vue. De celte manière, une droite est déterminée par deux points, qui sont ceux où cette droite et sa parallèle, menée par le point de vue, percent le tableau. Ainsi, voilà un moyen de représenter sur un plan tous les corps de l'espace, en se servant uniquement d'un point fixe pris arbitrairement au dehors de ce plan. Ce nouveau mode de Géométrie descriptive a été conçu et mis à exécution, il y a peu d'années, par M. Cousinery, ingénieur des ponts et chaussées. Nous reviendrons sur l'ouvrage de ce géomètre, quand nous en serons à parler de la Géométrie descriptive de Monge.

§ 38. Les travaux des géomètres que nous avons cités au commence- Géoméine analytique à