QUATRIÈME ÉPOQUE

Calcul infinitésimal. § 1. Cinquante ans après que Descartes avait mis au jour sa Géométrie, une autre grande conception préparée par Fermât et Barrow, le Calcul infinitésimal de Leibniz et de Newton, prit naissance (en 1684 et 1687).

Cette sublime invention, qui remplaçait avec un avantage immense les méthodes de Cavalieri, de Roberval, de Fermât, de Grégoire de Saint-Vincent, pour les dimensions des figures et les questions de maxima et minima, s'appliqua aussi, avec une facilité si prodigieuse, aux grandes questions des phénomènes de la nature, qu'elle devint presque exclusivement l'objet des méditations des plus célèbres géomètres. Dès lors, la Géométrie ancienne et les belles méthodes de Desargues et de Pascal, de La Hire et de Le Poivre, pour l'étude des coniques, furent négligées.

L'Analyse de Descartes, seule des grandes productions de notre deuxième et de notre troisième Époque, survécut à cet abandon général. C'est qu'elle était le véritable fondement des doctrines de Leibniz et de Newton, qui allaient envahir tout le domaine des sciences mathématiques.

Cependant, quelques géomètres, dans les premiers temps, et à leur tête Huygens, quoiqu'il sût apprécier toutes les ressources de l'Analyse infini

tésimale, Mac-Laurin, profond commentateur du Traité des Fluxions de Newton, et Newton lui-même, furent fidèles à la méthode des Anciens, et surent pénétrer dans les mystères de la plus profonde Géométrie, pour résoudre, avec son seul secours, les plus hautes questions des sciences physico-mathématiques.

Quelques aulres géomètres ensuite, tels que Stewart, Lambert, dignes admirateurs de ces grands hommes, marchèrent sur leurs traces et continuèrent leurs savantes méthodes. Mais enfin l'attrait de la nouveauté et les puissantes ressources que présentait l'Analyse infinitésimale, tournèrent tous les esprits vers d'autres idées et d'autres spéculalions. De sorte que, si l'on peut dire parfois que la Géométrie d'Huygens et de Newton, après avoir posé les véritables fondements de nos connaissances positives, devenait insuffisante pour continuer son œuvre, il est 'juste de convenir aussi que des disciples lui ont manqué; car je ne sache pas que, depuis trois quarts de siècle, on ait fait de nouvelles applications de cette méthode; et c'est aujourd'hui par tradition et seulement sur parole, que, légèrement peutèlre, on parle de son impuissance et des limites qui en restreignent pour toujours les usages.

§ 2. Nous ne pouvons entreprendre ici d'analyser tous les travaux des grands géomètres que nous avons nommés ; cette tâche n'entre point dans notre cadre et serait au-dessus de nos forces. Nous ne devons citer que ceux de ces travaux qui se rapportent à cette partie de la science de l'étendue, que nous avons appelée Géométrie des formes et des situations; qui prend son origine dans ï Analyse géométrique des Anciens; qui, pendant deux mille ans, s'est exercée sur l'inépuisable théorie des sections coniques, et à laquelle enfin Descartes a soumis, d'un trait de plume, l'innombrable famille des courbes géométriques.

Nous allons présenter d'abord un aperçu rapide des découvertes successives des principales propriétés de ces courbes ; puis, en revenant sur nos pas, nous parlerons des progrès que la Géométrie a faits dans diverses antres parties. ^

Proprieiés générales § 3. Lb GéométHe analytiquc de Descartes était un instrument universel, fr?ques' "^'°"'" éminemment propre à l'étude des courbes géométriques; et ce philosophe en avait montré l'usage et toute la puissance dans la solution des questions les plus diverses. Mais ce furent Newton et Mac-Laurin qui, les premiers, l'appliquèrent à la recherche des propriétés générales et caractéristiques de ce genre de courbes; et c'est à ces deux illustres géomètres et à leur célèbre contemporain Cotes, que l'on doit la découverte des premières et plus importantes propriétés des courbes géométriques. NEWTON. Newton, dans son Enumeratio Uneanmi tertii ordinis [anno 1706),

modèle admirable de haute Géométrie, fit connaître les trois propriétés suivantes, qu'il présenta comme extensions des propriétés principales des coniques '.

La première concerne leurs diamètres ; elle consiste en ce que : étant menées, dans le plan d'une courbe géométrique, des transversales parallèles entre elles, et étant pris sur chacune d'elles le centre des moyennes dislances de tous les points où elle rencontre la courbe, tous ces centres se trouvent toujours en ligne droite. C'est cetle droite qu'on appelle diamètre de la courbe correspondant, ou conjugué, à la direction des transversales,

La deuxième propriété générale concerne les asymptotes, et consiste en ce que : quand une courbe a autant d'asymptotes qu'il y a d'unités dans le degré de son équation, sous quelque direction qu'on tire une transversale, le centre des moyennes distances des points où elle rencontre les asymptotes est le même que celui des points où elle rencontre la courbe.

Ou, en d'autres termes, la somme des segments compris entre chaque branche de la courbe et son asymptote, est la même de part et d'autre du diamètre conjugué à la transversale.

Enfin, la troisième propriété générale est celle du rapport constant des produits des segments compris sur deux transversales, parallèles, respectivement, à deux axes fixes. On l'énonce d'une manière générale, en disant

* Proprielalis sectionum conicarumcompelunt curvissiiperiorum geuerum.

que : si par un point quelconque, pris dans le plan d'une courbe géométriquCj on mène deux transversales parallèles à deux axes fixes, les produits des segments coinpris sur ces deux droites, entre le point par lequel elles sont înenées et la courbe, sont entre eux dans un rapport constant, quel que soit ce point.

Il est aisé de reconnaître que ces trois belles propriétés, communes à toutes les courbes géométriques, sont une généralisation de trois propositions de la théorie des coniques.

§ 4-. L'objet principal de l'ouvrage de Newton était l'énumération des lignes comprises dans Téquation du troisième degré à deux variables, où il en reconnut soixante-douze espèces différentes, auxquelles Stirling en ajouta quatre.

A la suite de cette énumération. Newton donna cette belle et curieuse proposition, qui range ces courbes en cinq grandes classes principales, savoir : « Qu'ainsi que le cercle, étant présenté à un point lumineux, » donne par son ombre toutes les courbes du second degré, de même les » cinq paraboles divergentes donnent par leur ombre toutes les courbes du » troisième degré. »

L'ouvrage est terminé par la description organique des coniques au moyen de deux angles, mobiles autour de leurs sommets, dont deux côtés se coupant toujours sur une droite, les deux autres engendrent, par leur intersection, une conique ; et ce mode de description est étendu aux lignes du troisième et du quatrième degré qui ont un point double.

Il est fâcheux que Newton se soit contenté d'énoncer ces belles découvertes, sans démonstration ni aucune indication de la méthode qu'il avait suivie. Stirling, peu d'années après, suppléa à ce défaut en rétablissant, avec les développements préliminaires nécessaires;, les démonstrations des propositions de Newton, relatives à l'énumération des lignes du troisième degré. Les autres parties de l'ouvrage ont été, depuis, démontrées par divers géomètres. Le beau théorème sur la génération de toutes les courbes du troisième degré par l'ombre des cinq paraboles divergentes, qui avait

paru l'un des plus difficiles, Ta été par Clairault S Nicole ^, Murdocli ^ et le Père Jacquier *. Mais il nous semble que les considérations analytiques, dans lesquelles ces géomètres ont puisé des preuves suffisantes de la vérité du théorème de Newton, n'en ont pas pénétré la nature ni l'origine. Aussi, un autre théorème semblable^ c'est-à-dire, un autre mode de génération de toutes les courbes du troisième degré par l'ombre de cinq d'entre elles, qui a une connexité intime avec celui de Newton, a-t-il échappé aux géomètres qui ont écrit sur cette matière. Ce théorème consiste en ce que : parmi toutes les courbes du troisième degré, il en est cinq qui ont un centre ^ ; et ces cinq courbes, par leur ombre projetée sur un plan, donnent naissance à toutes les autres.

Ce nouveau théorème et celui de Newton reposent, l'un et l'autre, sur une même propriété des points d'inflexion, qui nous paraît en être la véritable origine, et pouvoir être utile pour une classification purement géométrique des courbes du troisième degré, basée sur leurs différentes formes. Nous donnerons l'énoncé de celte propriété dans la Note XX. MAc-LAURiN, § 5. Mac-Laurlu, inspiré par les belles découvertes de Newton, produisit, sur les courbes géométriques, deux écrits d'une haute importance. Dans le premier, consacré à la description organique des courbes géométriques ^, l'auteur apprend à décrire de diverses manières, par l'intersection de deux angles mobiles, dont le mouvement est déterminé convenablement, toutes les courbes géométriques. Ses démonstrations, traitées par la méthode des coordonnées, n'offrent pas toujours un degré de simplicité satisfaisant; mais le deuxième écrit de Mac-Laurin, intitulé : De linearum geometricarmn proprietatibus generaiibus tractatus, est d'une élégance et d'une précision admirables.

' Mémoires de l'Académie des sciences, ann. 1731. 2 Ibid.

^ Neuloni Genesis curvarum per umbras; in-8°. Lond., 1746. * Elementi di perspeitiva; Appendice, in-8'. Romœ, 1755.

^ Ce sont, dans l'énuméralion des soixante-douze espèces de Newton, les cinq courbes classées sous les u»' 27, 38, 59, ()2, 72, et représentées par les figures 37, 47, 67, 70 et 81. ^ Geometria organica, sive descriplio linearum curvarum, universalis, in-4'', 1719.

Tout cet ouvrage repose sur deux théorèmes, qui sont deux belles propriétés générales des courbes géométriques. Le premier est celui du célèbre Cotes, que son ami, le savant physicien R. Smith, trouva dans ses cotes papiers et communiqua à Mac-Laurin. On peut l'énoncer de cette manière : Si, autow d'un point fixe, ont fait tourner une ti^ansversale qui rencontre une courbe géométrique en autant de points A, B.... qu'elle a de dimensions, et qu'on prenne sur cette transversale, dans chacune' de ses positions, un point M tel que la valeur inverse de sa distance au point fixe soit moyenne arithmétique entre les valeurs inverses des distances des points k,B.... à ce point fixe, le point M aura pour lieu géométrique une droite.

Mac-Laurin a appelé le segment compris entre le point fixe et le point M, moyenne harmonique entre les segments compris entre le point fixe et la courbe ' ; et M. Poncelet a appelé le point M, le centre des moyennes harmoniques des points A, B...., par rapport au point fixe 2. Ce géomètre a fait voir que, quand le point fixe est à Tinfini, le point M devient le centre des moyennes distances des autres points A, B...., d'où il résulte que le théorème de Cotes est une généralisation du théorème de Newton sur les diamètres des courbes.

Le second théorème dont se sert Mac-Laurin, qui lui est dû, est celui-ci :

Que, par un point fixe pris dans le plan d'une courbe géométrique, on mène une transversale qui rencontre la courbe en autant de points quelle a de dimensions; qu'en ces points on mène les tangentes à la courbe; et que, par le point fixe, on tire une seconde droite de direction arbitraire, mais qui restera fixe : les segments cojnpris sur cette droite, entre le point fixe et toutes les tangentes à la courbe, auront la soînme de leurs valeurs inverses constante, quelle que soit la première transversale menée par le point fixe;

' Mac-Laurin dit qu'une quantité est moyenne harmonique entre plusieurs auti-es, quand sa valeur inverse est moyenne arithmétique entre les valeurs inverses de ces quantités. [Traité des Courbes géométriques, § 28.)

* Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques ; Journal de M. Crelle, tom. 111.

Cette somme sera égale à celle des valeurs inverses des segments compris sur la même droite fixe, entre le même point et ceux où cette droite rencontre la courbe.

^ 6. Ce second théorème est une généralisation importante de celui de Newton sur les asymptotes. L'un se transforme dans l'anke par la perspective des figures.

Ainsi, deux des trois théorèmes de Newton sur les courbes géométriques se trouvent généralisés par ceux de Cotes et de Mac-Laurin. Le troisième, qui concerne les segments faits sur des transversales parallèles, a reçu une généralisation semblable dans la Géométrie de position, où les transversales concourent en des points fixes. Carnot a même donné une autre généralisation plus étendue et plus féconde de ce théorème, en le considérant comme cas particulier d'une belle proposition générale relative à un polygone quelconque, tracé dans le plan d'une courbe géométrique.

§ 7. Dans le théorème énoncé ci-dessus, Mac-Laurin considère le cas où le point fixe, par lequel on mène des transversales, est pris sur la courbe ; et, au moyen d'une propriété du cercle, il transforme l'équation qui exprime le théorème en une autre, où entre une corde du cercle osculateur à la courbe au point fixe. De là il conclut deux autres théorèmes, qui lui servent à construire le cercle osculateur, et à trouver l'expression de la diiïérentielle du rayon de courbure.

Cette construction géométrique du cercle osculateur, sur la figure même, et sans le secours du calcul des fluxions, ni même de l'Analyse de Descartes, paraît être restée inaperçue dans l'ouvrage de Mac-Laurin ; car nous ne voyons pas qu'on en ait jamais parlé. Nous croyons pourtant qu'elle méritait d'y être remarquée, parce que ce problème avait paru jusque-là exiger absolument l'emploi de l'Analyse.

Mac-Laurin suppose connue la direction de la normale au point où il détermine le cercle osculateur. Nous nous étonnons qu'il n'ait pas eu l'idée de construire aussi d'une manière purement géométrique, et sans calcul, cette

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. \i\)

normale. Ce problème était du même ordre, et plus facile que celui du cercle osculaleur. Nous avons trouvé, de l'une et de feutre, une construction simple, qui dérive du troisième théorème de Newton. Nous ignorions alors que le cercle osculaleur eût déjà été construit : du reste notre solution diffère complètement de celle de Mac-Laurin, puisqu'elle repose sur une autre propriété des courbes géométriques.

§ 8. Les quatre théorèmes généraux dont nous venons de parler font robjet de la première section de l'ouvrage de Mac-Laurin. Dans les deux autres sections sont les applications de ces quatre théorèmes aux coniques et aux courbes du troisième degré.

Les diverses propriétés de la division harmonique des sécantes dans les coniques, et le théorème sur le quadrilatère inscrit, qui comprend la théorie des pôles (celui que nous avons déduit de l'hexagramme de Pascal), se trouvent dans la deuxième section. Le théorème de l'hexagramme y est seulement énoncé, Mac-Laurin l'ayant déjà démontré ailleurs de diverses manières K

La troisième section contient un grand nombre de propriétés curieuses des courbes du troisième degré. La plus considérable, d'où se déduisent la plupart des autres, qui sont relatives aux points d'inflexion et au point double, est celle-ci :

Quand un quadrilatère a ses quatre sommets et les deux points de concours de ses côtés opposés sur une courbe du troisième degré, les tangentes à la courbe, menées par deux sommets opposés, se coupent sur cette courbe.

Mac-Laurin avait déjà fait connaître ce théorème, qu'il avait énoncé dans son Traité des Fluxions (art. 401), en observant que celui sur le quadrilatère inscrit aux coniques, dont nous venons de parler, n'en était qu'un cas particulier : ce qu'on voit aisément en considérant la conique et la droite qui joint les points de concours des côtés opposés au quadrilatère, comme représentant une ligne du troisième degré.

' Transactions philosophiques, n' 439, ann. \ 755, et Traité des Fluxions, n"' 522 et 023.

im HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

Le théorème de Pascal pourrait être aussi considéré comme un corollaire d'une propriété des courbes du troisième degré, plus générale que celle de Mac-Laurin, et dont voici Ténoncé :

Quand un hexagone a ses six sommets et deux des trois points de concours de ses côtés opposés sur une courbe du troisième degré, le troisième de ces points de concours est aussi sur la courbe ^

§ 9. On a encore de Mac-Laurin, sur la théorie des courbes, un fragment d'un Mémoire qu'il avait écrit en France, en 1721, comme supplément à sa Géométrie organique, et dont l'impression avait été commencée, mais qui n'a point été mis au jour. Ce fragment fut adressé, en 1732, à la Société royale de Londres, et se trouve dans les Transactions philosophiques pour l'année 1735. On y remarque le théorème général suivant, qui en. est la partie principale :

Si un polygone, de forme variable, se meut de manière que tous ses côtés passent respectivement par autant de points fixes donnés, et que tous ses so7nmets, moins un, parcourent des courbes géométriques des degrés m, n, p, q...., le sommet libre engendrera une courbe qui sera en général du degré 2mnpq...; et qui se réduira au degré sous-double mnpq...., quand tous les points seront en ligne droite.

Si toutes les lignes directrices sont droites, la courbe engendrée par le sommet libre du polygone est une conique ; et si le polygone est un triangle, le théorème alors n'est autre que l'hexagramme de Pascal. Ce théorème avait déjà été donné par Newton, pour le cas où l'un des trois points par où devaient passer les trois côtés du triangle mobile était situé à l'infini (lemme 20 du l^»" livre des Principes). Mais c'est à Mac-Laurin qu'on doit son énoncé général, et d'avoir aperçu, dans ce mode de description des

* Pour démontrer ce tliéorème, il suffit de regarder les trois côtés de rang impair de l'iiexagone comme formant une première ligne du troisième degré, et les trois côtés de rang pair comme en formant une seconde. Par les neuf points d'intersection de ces deux lignes on pourra faire passer une infinité de courbes du troisième degré; mais la proposée passe par huit de ces neuf points; il s'ensuit donc, par une propriété générale des courbes du troisième degré, qu'elle passe par le neuvième.

coniques, le beau théorème de Pascal, qui était alors ignoré: V Essai sur les coniques, qui en contient l'énoncé, n'ayant été retrouvé qu'en 4 779, par les soins de M. l'abbé Bossut '.

Depuis, Mac-Laurin démontra ce théorème directement pour le cercle, d'où il le conclut, par la perspective, pour toute espèce de coniques. {Voir le Traité des Fluxions, chapitre XIV, dans lequel Mac-Laurin démontre les propriétés principales de l'ellipse, en la considérant comme section d'un cylindre oblique à base circulaire.)

§ 10. Braikenridge fut, dans la description des courbes de tous les degrés, un digne émule de Mac-Laurin ; et la théorie de ces courbes lui est redevable de plusieurs belles propositions fondamentales, relatives principalement à leur description par l'intersection de droites qui tournent autour de pôles fixes; propositions qu'il exposa dans son traité intitulé : Exercitalio Geometriœ de descriptione linearum curvarum (in-4-°, 1733), et dans un Mémoire qui fait partie des Transactions philosophiques, année 1735.

Depuis, plusieurs autres géomètres appliquèrent avec succès la Géométrie de Descartes à la théorie générale des courbes géométriques.

Nicole, à l'imitation de Slirling, qui avait démontré les propositions seulement énoncées par Newton dans son ^numération des lignes du troisième degré, avait aussi commencé une explication des principes qui avaient guidé ce grand géomètre, et la démonstration de son importante et curieuse proposition, non démontrée par Stirling, sur la description de toutes ces courbes par l'ombre des cinq paraboles divergentes ^.

L'abbé de Bragelongne, qui, dès 1708, avait démontré, le premier, les beaux théorèmes de Newton sur la description organique des coniques,

BRAIKENRIDGE.