DA. BC -4- DB.AC — DC. AB

Cette équation exprime la relation la plus simple entre quatre points A, B, C, D, situés en ligne droite ;

3" Enfin, quand le point D est à linfini, l'équation générale devient :

ËÂ\BC-+-Eb'.AC- E(I'.AB = AB.BC.CA.

C'est l'équalion de Stewart.

i° Soit un polygone régulier de m côtés, circonscrit à un cercle dont le rayon est R ; soit n un nombre quelconque plus petit que m;

Si, d'un point quelconque (pris dans l'intérieur du polygone si n est impair, et pris partout où l'on voudra si n est pair), on abaisse des perpendiculaires sur les côtés du polygone : la somme des puissances n de ces perpendiculaires sera égale à

m. (R" + Av'R-« -4- By*R"-* + Cv«.R"-« -^ etc.);

V étant la distance du point au centre du cercle; k le coelflcient du troisième terme du binôme élevé à la puissance n, multiplié par 5; B /e coefficient du cinquième terme, multiplié par ^; C /e coefficient du septième terme multiplié par ^^', et ainsi des autres, (Prop. 40.) De sorte que

Etc., etc.

Si le point d'où Ton abaisse les perpendiculaires est pris sur la circonférence, la formule se réduit à

m. ^^ ^R". Proposition 39.)

Ce théorème général comprend les propositions 3, 3, 22, 23, 28, 29 et 45.

2° Soit un polygone régulier de m côtés, inscrit à un cercle dont le rayon est R; et soit n un nombre plus petit que m;

Si l'on prend arbitrairement un point dont la distance au centre du cercle

soit V, la somme des puissances 2n des distances de ce point à tous les sommets du polygone sera égale à

wi(R*'' -+- aVR'"-' -t- t'v^R**-* + c't;«R^»-« h- etc.);

a étant le coefficient du second terme du binôme élevé à la puissance n; b le coefficient du troisième terme; c le coefficient du quatrième terme; et ainsi des autres. (Prop. 42.)

Si le point est pris sur la circonférence, la formule se réduit à