î—l) "*~ir^ ^ ^2"R'". (Proposition

Ce théorème général comprend les propositions 4, 26, 27 et 34.

3° Etant donnés m points quelconques, et autant de quantités a, b, c,...., n étant un nombre plus petit que m, on pourra trouver (n-f-l) autres points, tels que la somme des puissances 2n des distances d'un point quelconque aux points donnés, multipliées i^espectivement par les quantités a, b, c,...., sera, à la somme des puissances 2n des distances des points trouvés au même point, dans le rapport c?e a -j- b + c 4- ••• « n + 1. (Proposition 44.)

Ce théorème comprend les propositions 14, 12, 32, 33, 43.

4" Étant données m droites quelconques, et autant de quantités a, b, c,...., n étant un nombre plus petit que m, on pourra trouver (n + 1) autres droites, telles que la somme des puissances n des distances d'un point pris arbitrairement, aux droites données, multipliées respectivement par a, b, c,...., sera, à ta somme des puissances n des distances du même point aux droites trouvées, comme 'à -\- h -^ c -\- -" est à n + 1. (Propositions 49 et 53.)

Ce théorème comprend les propositions 17, 21, 24, 25, 37, 38, 42, 50, 51, 52.

§ 29. Nous avons trouvé qu'on peut donner aux énoncés des deux derniers théorèmes une extension très grande et assez remarquable. Car, au lieu d'une seule relation, comme le comporte le premier de ces théorèmes,

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. i79

entre les puissances 2w des distances d'un point quelconque aux points donnés et aux points trouvés, il y a une pareille relation entre les puissances 2 (n—^) de ces mêmes distances, â pouvant avoir toutes les valeurs 0, 1, 2.... (n — i); de sorte qu'il existe, entre les distances d'un point quelconque aux points donnés et aux points trouvés, n relations. Le théorème de Stewart n'en comprenait qu'une seule.

La dernière de ces relations a lieu entre les carrés de ces distances. Elle prouve que les points trouvés ont le même centre de gravité que les points donnés, les masses de ceux-ci étant a, b, c,.., et celles des points trouvés étant toutes égales à l'unité.

Pareillement, dans le second des deux théorèmes en question, qui énonce une relation entre les puissances n des distances d'un point quelconque aux droites données et aux droites trouvées, on aura une relation semblable entre les puissances quelconques (u — 2t?) des mêmes distances, o^ pouvant avoir toutes les valeurs 0, 1, 2, , jusqu'à ^^— si n est impair, et jusqu'à ^^^ si n est pair; de sorte qu'il existe, entre les distances d'un point quelconque aux droites données et aux droites trouvées, ^^^ ou ^^-^ relations différentes, au lieu d'une seule que donnait le théorème de Stewart. (Fo/r la Note XXII.)

§ 30. Nous avons reconnu aussi que les deux premiers théorèmes énoncés ci-dessus, relatifs aux polygones réguliers inscrits ou circonscrits au cercle, sont des cas particuliers de théorèmes plus généraux qui ont lieu dans les sections coniques : et ceux-ci font partie d'une foule d'autres propriétés de ces courbes, qu'on ne paraît pas avoir encore aperçues. Ces nombreux théorèmes offrent, sous un rapport, une généralisation assez remarquable des propriétés connues des diamètres conjugués et des rayons vecteurs menés des foyers d'une conique.

Ces courbes sont vraiment d'une fécondité inépuisable. Chaque jour ouvre des voies nouvelles à l'étude de leurs nombreuses et intéressantes propriétés. Que l'on ne pense pas que de telles spéculations soient oiseuses, ni de mince intérêt. Chaque découverte sur ces courbes sera toujours le prélude de décou-

vertes plus belles et plus générales, qui agrandiront le rôle qu'elles jouent dans toutes les parties des sciences mathématiques, et qui conduiront à la connaissance de propriétés analogues dans une infinité d'autres courbes d'un ordre supérieur ; propriétés auxquelles on ne serait point conduit, en travaillant directement sur ces courbes trop compliquées et d'une étude difficile.

§ 31. Les Proposîtiones geometricae de Stewartsont en deux livres, dont le premier contient soixante propositions, et le second cinquante-deux.

Ces propositions sont relatives à la ligne droite et au cercle.

Les premières roulent presque toutes sur une propriété générale du quadrilatère, qui revient à celle que Pappus a démontrée dans ses lemmes sur les Porismes d'Euclide, à savoir que toute transversale rencontre les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère en six points qui ont entre eux la relation d'involution.

Nous avons vu, dans la Note X, que cette relation peut s'exprimer entre six segments, ou bien entre huit. C'est la relation entre six segments que Pappus a démontrée; et celle entre huit segments dont Stewart fait usage. II la démontre dans toute sa généralité, dans la proposition 59 du premier livre.

Les propositions précédentes : 51, 52, 53, 54, 56, 57 et 58,en sont des cas particuliers, dont Stewart se sert pour passer de l'un à l'autre, et s'élever ainsi à la proposition générale. La proposition 60« et dernière du livre en est aussi un cas particulier, dans lequel deux côtés du quadrilatère sont parallèles entre eux.

Les propositions 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 et 13 du second livre sont d'autres propriétés du quadrilatère, dans l'énoncé desquelles n'entre pas la relation d'involution, mais qui en dérivent aisément. Toutes ces propositions roulent en effet sur ce théorème bien connu, et que Pappus nous apprend avoir fait partie des Porismes d'Euclide : quand les trois côtés d'un triangle, de forme variable, tournent autour de trois pôles fixes, situés en ligne droite, et que deux sommets du triangle parcourent deux droites fixes données, le

troisième sommet engendre une troisième droite qui passe par le point de concours des deux premières. Slewart n'énonce pas celle proposition dans toute sa généralité, et n'en démontre que dilTérents cas particuliers. Il semble qu'il n'ait pas aperçu sa liaison intime avec la relation générale d'involution des segments faits, par les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère, sur une transversale.

§ 32, Les proposilions relatives au cercle peuvent être considérées comme concernant la description de cette courbe par l'intersection de deux droites qui tournent autour de deux pôles fixes, en faisant, sur une transversale fixe, des segments qui ont entre eux certaines relations.

Nous rangerons ces propositions en trois classes distinctes.

Dans la première, les deux pôles sont placés sur la circonférence du cercle, et la transversale est prise arbitrairement.

Dans la deuxième, les deux pôles sont placés arbitrairement, l'un d'eux pouvant être sur la circonférence ; et la transversale est parallèle à la droite qui joint ces pôles.

Dans la troisième classe enfin, les deux pôles sont placés encore d'une manière quelconque; mais la transversale est perpendiculaire ou oblique sur la droite qui joint les pôles.

Les propositions de la première classe concernent tous les segments que les quatre côtés d'un quadrilatère, inscrit à un cercle, font sur une corde du cercle.

On penserait qu'il s'agit ici du ibéorème de Desargues; mais non : Stewart exprime la relation entre les segments en question, non par une équation unique, comme l'a fait Desargues, mais par deux équations où entrent un point et deux segments auxiliaires.

L'élimination de ces deux segments, que Stewart n'a pas faite, l'aurait conduit à une relation entre les seuls segments formés, sur la corde du cercle, par les quatre côtés du quadrilatère; mais cette relation n'a pas la forme ordinaire de Tinvolution de six jioints; elle est une équation à trois termes : de sorte que nous devons penser que Stewart n'a pas connu le

théorème de Desargues, ou du moins qu'il n'en a tiré aucun secours dans son ouvrage.

Le théorème auquel ce géomètre est parvenu est démontré, dans toute sa généralité, dans les propositions 4-6, 47 et 48 du premier livre. Les propositions 41, 42, 4-3, 44 et 45 en sont des cas particuliers, qui lui servent pour arriver à la proposition générale.

Les propositions 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 et 38 se rattachent aux propriétés du quadrilatère inscrit au cercle ; Stewart ne fait usage, dans leurs énoncés, que d'une équation; et l'on reconnaît qu'elle exprime des cas particuliers du théorème de Desargues.

Les propositions 39 et 40 font connaître cette propriété assez remarquable du quadrilatère inscrit au cercle : le carré de la droite qui joint les points de concours des côtés opposés, est égal à la somme des carrés des tangentes menées, de ces deux points de concours, à la circonférence du cercle.

Cette proposition peut se conclure aisément, comme les précédentes, du théorème de Desargues.

§ 33. Presque tout le second livre est consacré aux propositions concernant les segments que deux droites mobiles, tournant autour de deux pôles fixes, non situés sur la circonférence du cercle, font sur une transversale.

Dans les propositions 14, 15, 21, et 44, 45 ... 52, la transversale

est parallèle à la droite qui joint les pôles. Les propositions 23, 25 et 26 du premier livre sont de même nature que celles-là.

On aperçoit aisément que, dans toutes ces propositions, les segments formés, par les deux droites mobiles, sur la transversale fixe, ont toujours entre eux une relation du second degré.

En voici la raison a priori; ce sera en même temps un moyen de parvenir directement aux théorèmes de Stewart, de les rétablir s'ils étaient perdus.

En général, quand le point d'intersection des deux droites mobiles par-

court une conique, les segments qu'elles font sur la transversale fixe, supposée parallèle à la droite qui joint les pôles, ont entre eux une relation du second degré; et réciproquement, quand ces segments ont entre eux une relation quelconque du second degré, le point de concours des deux droites mobiles décrit toujours une conique (ce que nous démontrerons dans les applications de notre principe Ôl' homographie). Donc, en premier lieu, quand la courbe est un cercle, les segments doivent avoir entre eux une relation du second degré. Et, en second lieu, étant donnés les deux pôles et la transversale, ainsi que la forme de la relation du second degré qu'on veut avoir entre les segments, on aura deux équations de condition pour exprimer que la conique, décrite par l'intersection des deux droites mobiles, est un cercle. Ces deux équations serviront à déterminer les valeurs de deux inconnues parmi un grand nombre de choses arbitraires, qui seront les coeiïicients de la relation, la position des deux pôles, celle de la transversale et celles des deux points pris sur celte droite, et à partir desquels sont comptés les segments.

Celte observation donne la clef des théorèmes de Stewart. Elle s'applique aussi à diverses autres propositions semblables de ce géomètre, que Simson a reproduites dans son Traité des Porismes. C'est Fermât qui, par la quatrième des cinq propositions qu'il a laissées sous le nom de Porismes, nous paraît avoir donné lieu, le premier, à ce genre de propriétés du cercle.

§ 34. Stewart, après l'avoir imité dans les propositions que nous venons d'énumérer, a généralisé cette idée, en comptant les segments sur une transversale de direction quelconque.

Ses dix-neuf propositions, comprises sous les n"* 22, 23, et 4-0,

expriment de telles propriétés du cercle.

Les segments que les deux droites mobiles font sur la transversale n'ont plus entre eux une relation toujours du second degré; et l'on n'aperçoit pas, aussi aisément que dans le cas précédent, la forme générale commune aux diverses relations que démontre Stewart. Cependant on parvient à recon-

i84 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE.

naître que ces relations peuvent dériver de celte propriété générale des

coniques :

Êtanl donnés deux pôles fixes, et une transversale qui rencontre en un

point E la droite qui joint ces pôles; et étant pris un point fixe 0 sur cette

transversale ;

Si, autour des deux pôles, on fait tourner deux droites qui rencontrent la

transversale aux points a, a', tels que l'on ait entre les deux rapports

S' Ê^^ ^^^^ relation constante où ces rapports entrent au second degré, le

point d'intersection des deux droites engendrera une conique.

Et réciproquement, si le point de concours des deux transversales parcourt

une conique, les rapports ^j-j^' auront entre eux une relation du second degré.

Ce lliéorème général pourra conduire à une foule de propriétés du cercle. Car on aura toujours deux équations pour exprimer que la conique décrite est un cercle. Ces équations serviront à déterminer, soit deux coefficients de la relation, soit la position de quelques parties de la figure.

§ 35. Je ne crois pas qu'on ait donné suite aux recherches de Stewart, sur ce genre de propriétés du cercle.

Aujourd'hui on néglige ces sortes de spéculations géométriques, parce qu'on se repose sur le secours de l'Analyse, à laquelle on compte s'adresser au besoin ; et l'on ne se donne plus la peine d'étudier certaines propriétés du cercle. Mais on conçoit que cette étude et ces spéculatious seraient utiles et indispensables, si l'on voulait donner suite aux travaux, en Géométrie, des Anciens et des géomètres du dernier siècle. C'est celte idée qui me semble avoir présidé aux recherches de M. Carnot dans sa Géométrie de position et dans sa Théorie des Transversales. Ces ouvrages me paraissent se rattacher, dans leur conception philosophique, de même que ceux de Simson et de Stewart, aux Données et aux Porismes d'Euclide. Ces ouvrages sont de véritables compléments de Géométrie, que les Anciens avaient regardés comme indispensables pour les applications, soit pratiques, soit théoriques, de cette science.

§ 30. L'analyse que nous avons donnée des ouvrages de Slewarl fait voir qu'il s'y trouve, démontrées individuelienienl, beaucoup de propositions qui sont des cas particuliers les unes des autres. C'était là la marche habituelle et nécessaire du géomètre qui s'élevait de quelque proposition très facile à une proposition du même genre, mais un peu plus générale, et de celle-ci à une autre aussi plus étendue; de sorte que la démonstration d'une proposition tant soit peu générale exigeait celle de plusieurs de ses cas particuliers. Aujourd'hui, on peut démontrer, de prime abord et directement, les propositions les plus générales, et établir ensuite entre ces propositions, considérées dans leur plus grande généralité actuelle, les mêmes spéculations qui n'avaient lieu auparavant qu'entre leurs plus simples corollaires. Une telle facilité, qui simplifie extrêmement la science, marque bien les progrès qu'elle a faits dans ces derniers temps; et cette facilité se répandrait sur toutes les applications de la Géométrie aux grandes questions philosophiques traitées par Huygens et Newton, si un goût exclusif pour l'Analyse, encouragé seul dans les établissements destinés au développement et à la propagation des sciences, ne détournait pas de l'étude et de l'usage de l'autre méthode '.

Stewart annonçait, dans la préface de ses Proposiitoncs Geomctricœ^ qu'il

* On dira, sans doute, que les goûts sont libres en mathématiques comme dans toute autre carrière de la république des lettres; et que les géomètres n'ont à s'en prendre qu'à eux-mêmes de l'abiindon où ils laissent la Géométrie. Mais nous répondrons qu'en reconnaissant d'abord que la méthode analytique, à raison de son universalité, doit être enseignée de préférence et peut-être exclusivement, dans les établissements où les mathématiques ne sont point étudiées pour clles-niêmès, mais bien pour leurs applications, soit à d'autres parties des sciences, soit aux services publics, nous pensons que la Géométrie el les belles méthodes qu'elle a fournies à quelques grands géomètres des deux derniers siècles, ainsi que les perfectionnements qu'elle a pu recevoir depuis, devraient trouver place dans ceux des cours publics qui sont destinés spécialement à l'exposition des découvertes nouvelles et des diverses doctrines mathématiques. Or, les doctrines analytiques et les découvertes qu'il est possible de présenter par l'Analyse^ sont seules enseignées dans ces cours; peut-on dire que les goûts sont libres? Cette indifférence, ou plutôt cette exclusion d'une partie si importante des sciences mathématiques, n'est pas philosophique, et fait un très grand tort à leurs progrès; car toutes les sciences ont entre elles un tel enchaînement, que les relards qu'éprouve l'une d'elles arrêtent aussi les autres dans leur développement.

publierait d'autres volumes sur les mêmes matières géométriques. Nous ignorons si Ton a trouvé, dans ses manuscrits, les recherches qui devaient composer ces volumes.

LAMBERT, § 37. Lc célcbre Lambert, autre Leibniz par l'universalité et la profon-

deur de ses connaissances, doit être placé au nombre des mathématiciens qui, dans un temps où les prodiges de l'Analyse occupaient tous les esprits, ont conservé la connaissance et le goût de la Géométrie et ont su en faire les plus savantes applications.

Ses nombreux ouvrages présentent souvent des questions diverses de pure Géométrie. Mais nous devons citer ici surtout son Traité de Perspective et son Traité géométrique des Comètes.

La Perspective de Lambert parut en 17S9, puis en 1773, accrue d'une seconde partie, où l'auteur, faisant usage des principes de cet art, comme méthode géométrique, démontra plusieurs propositions concernant les propriétés descriptives des ligures, qui rentrent aujourd'hui dans la théorie des transversales, et donna des éléments de cette partie de la Géométrie qu'on a appelée, dans ces derniers temps. Géométrie de la règle.

Le Traité des comètes, intitulé Insigniores orbitœ cometarum proprietates (in-8°, Augsbourg, 1761), contient, dans un style purement géométrique, de nombreuses propriétés des coniques, relatives à leurs relations descriptives et à la mesure de divers secteurs pris dans ces courbes; et fait usage de ces belles découvertes pour la détermination du mouvement des comètes.

On y distingue surtout cette propriété de l'ellipse, qui est devenue d'une si haute importance dans cette théorie :

Si dans deux ellipses^ construites sur le même grand axe, on prend deux arcs tels que les cordes soient égales entre elles, et que de plus les sommes des rayons vecteurs menés, des foyers de ces ellipses, aux extrémités de ces arcs respectivement, soient aussi égales entre elles ; les deux secteurs compris dans chaque ellipse entre so7i arc et les deux rayons vecteurs seront entre eux comme les racines carrées des paramètres des deux ellipses. (Sect. 4«, lemme 26.)

Considérant Tellipse comme une orbite planétaire, el substituant aux secteurs les temps employés à parcourir leurs arcs, d'après le principe de Newton, que le temps est comme Taire du secteur parcouru, divisée par la racine carrée du paramètre \ on en conclut que, dans les deux ellipses dont nous venons de parler, les temps employés à parcourir les deux secteurs sont les mêmes.

Ce théorème offre le moyen de ramener le calcul du temps employé à décrire un arc d'ellipse donné, au temps par un arc d'une autre ellipse quelconque, qui ait \g même grand axe; et même au temps par une partie de ce grand axe, en supposant que l'ellipse se confonde avec cet axe, par l'évanouissement de l'axe conjugué, et que le mobile parcoure ce même axe.

Ces considérations géométriques sont simples, et cependant elles ont suffi pour conduire Lambert au théorème le plus important de la théorie des comètes, dont les démonstrations qu'on en a données depuis, par la voie du calcul, ont exigé toutes les ressources de l'Analyse la plus relevée.

La propriété de l'ellipse, qui est le fondement de ce théorème, convient aussi aux secteurs de l'hyperbole, ainsi que l'a démontré, par de simples considérations de Géométrie, le célèbre Lexell, dans un mémoire où il fait connaître diverses autres propriétés des coniques -.

Lambert est revenu souvent sur la théorie et le calcul des mouvements planétaires, et a trouvé encore à y faire un usage utile de la Géométrie, particulièrement pour substituer à l'Analyse, des constructions graphiques qui servent à déterminer les orbites des comètes par trois observations ^.

Nous ne pouvons rechercher, dans les immenses travaux de Lambert, ses autres titres à la reconnaissance des amateurs de la pure Géométrie, parce que le plus grand nombre de ses Mémoires sont écrits en allemand.

' Livre i", section 3, proposition XIV des Principes.

^ Nova acta de Pétersbourg, tom. I", ann. 1783.

5 Cette méthode est détaillée et appliquée à plusieurs exemples dans la troisième partie du recueil des Mémoires divers de Lambert, intitulé : Beytriige zur Mathematik, etc. Berlin, 1765 à i 772; 4 vol. in 8».

§ 38. Nous terminerons ici cet aperçu des progrès el des services de la Géométrie dans le cours du XVIII'' siècle, qui forme notre quatrième Époque. L'usage et le goût de ces sortes de spéculations se sont éteints, et nous ne trouverions plus guère que des questions isolées, éparses dans les collections académiques. Plusieurs cependant pourraient nous donner occasion de citer des noms célèbres : Euler, Lagrange, Fuss, Lexell, etc.; et nous pourrions, en généralisant parfois, au moyen des méthodes nouvelles, les premiers résultats de ces illustres géomètres, montrer que la Géométrie a réellement fait des progrès dans ces derniers temps, et qu'elle est susceptible de perfectionnements décisifs, dont l'effet sera de diminuer un jour l'intervalle qui sépare aujourd'hui cette science de celle du calcul.

Mais de nouveaux développements nous éloigneraient de la fin de cet écrit, à laquelle nous avons hâte d'arriver.

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