OBJET DU MÉMOIRE QUI SUIT

§ i*^ La Géométrie descriptive de Monge est passée dans l'enseignement des mathématiques. La théorie des transversales de Carnot, qu'un des géomètres qui ont le plus approfondi la métaphysique et la nature des sciences a déjà depuis longtemps émis le vœu de voir introduire dans les éléments de Géométrie ', est appréciée par la plupart des professeurs, qui en comprennent aujourd'hui dans leurs cours les théorèmes principaux. Mais les autres méthodes dont nous avons parlé sont encore éparses dans les Mémoires des géomètres qui s'en sont servis, Mémoires dont la lecture, à cause du très grand nombre des résultats nouveaux qu'ils contiennent, peut paraître longue et pénible. C'est là, je crois, la véritable cause de l'éloignement pour la Géométrie rationnelle, où Ton ne croit voir, et cette erreur est déplorable, qu'un chaos de propositions nouvelles trouvées au hasard, sans liaison entre elles et sans avenir pour un perfectionnement notable de la science de l'étendue.

' « ... Celte ingénieuse théorie des transversales, dont les principes simples cl féconds mériteraient bien d'être admis au nombre des éléments de la Géométrie. » {Journal de l'Ecole polytechnique, 10* Cahier; Mémoire sur les polygones et les polyèdres, par M. Poinsot.)

Nous avions pensé qu'il serait utile, pour chercher à détruire cette erreur, de coordonner entre elles toutes ces vérités partielles et isolées, de les faire dériver toutes de quelques-unes seulement prises parmi les plus générales, et de rattacher celles-ci aux méthodes dont nous avons parlé; ce qui eùl été aussi une justification de notre classification. Ce travail aurait porté le litre d'Essais de compléments de Géométrie rationnelle. Son objet principal eût été une exposition dogmatique des méthodes en question et de leurs principales applications. Nous y joignions une théorie nouvelle et purement géométrique des surfaces du second degré, et une théorie, géométrique aussi, des courbes planes du troisième degré, avec lesquelles enfin il est temps de se familiariser ; condition nécessaire des progrès ultérieurs de la Géométrie, comme l'a été jusqu'à ce jour la connaissance complète des courbes du second degré.

Nos matériaux étaient plus ou moins avancés, ainsi qu'on peut en juger par diverses Notes que nous y avons puisées pour nous en servir dans cet écrit. Mais, ainsi qu'il devait arriver dans un travail qui embrassait tant de recherches diverses, la matière s'est étendue, et nous avons reconnu qu'il nous fallait un plus long temps et un plus grand cadre que nous ne l'avions cru d'abord, pour le terminer sans une trop grande imperfection ; et des retards trop prolongés devant aussi avoir leurs inconvénients, nous nous sommes décidé à écrire d'abord séparément sur les différentes parties que nous destinions à cet ouvrage, nous promettant de revenir ensuite à notre premier projet, et désirant toutefois qu'une plume plus habile, plus capable de le mener à bien, nous prévînt dans l'accomplissement d'une entreprise que nous croyons utile à la Géométrie.

§ 2. Nous nous proposons de traiter, dans le Mémoire qui va suivre, des méthodes comprises dans notre deuxième et notre troisième division, et de mettre au jour les deux principes généraux de l'étendue, auxquels nous avons dit que toutes ces méthodes peuvent se rattacher, et qui constituent deux doctrines générales de déformation et de transformation des figures.

§ 3. Nous démontrerons ces deux principes d'une manière directe, qui en fera des vérités absolues et abstraites, dégagées et indépendantes de toutes

méthodes particulières, propres à les justifier ou à en faciliter les applications dans quelques cas particuliers.

Nous les présenterons, ainsi que nous l'avons déjà dit, dans une plus grande généralité qu'aucune de ces méthodes. L'extension que nous leur donnerons trouvera sa principale utilité dans un principe de relations de grandeur, extrêmement simple, qui les rendra applicables à de nombreuses questions nouvelles.

Ce principe repose sur une relation unique, à laquelle il suffira toujours de ramener toutes les autres. Cette relation est celle que nous avons appelée rapport anharmonique de quatre points ou d'un faisceau de quatre droites. C'est là le type unique de toutes les relations transformables par les deux principes que nous démontrons. Et la loi de correspondance entre une figure et sa transformée, consiste dans l'égalité des rapports anharmoniques correspondants.

La simplicité de cette loi et celle du rapport anharmonique rendent cette forme de relations éminemment propre à jouer un rôle si important dans la science de l'étendue. '

Quand les relations proposées paraîtront au premier abord ne pas rentrer dans cette formule, l'art du géomètre consistera à les y ramener par différentes opérations préparatoires, analogues, sous certains rapports, aux changements de variables et aux transformations de l'Analyse.

§ 4. Nous commencerons par le principe de transformation dont la théorie des polaires réciproques offre des applications, parce que le second, quoique tout aussi général dans sa destination, en sera un corollaire naturel. Nous l'appellerons principe de dualité, suivant l'expression de M. Gergonne; et nous dirons que deux figures qui auront entre elles les dépendances voulues par les lois de ce principe, sont corrélatives ^

' Le mot corrélatif élanl employé d'une manière générale dans mille circonslances, il serait bien à désirer qu'on eût un autre adjectif, dérivé du mot dualilé. Par celte raison, nous avions pensé h substituer au mot dualité celui de diphanie, qui aurait exprimé ce double genre de propriétés que présentent toutes les figures de l'étendue; nous aurions dit le principe de diphanie, et nous aurions appelé diplianiques les figures qui auraient eu entre elles les rela-

Après avoir démontré ce principe, nous en ferons diverses applications, qui nous conduiront à des propositions nouvelles, dont plusieurs seront des propriétés générales, d'un genre tout nouveau, des courbes planes ou à double courbure, et des surfaces géométriques : puis nous donnerons la construction analytique et géométrique des figures corrélatives les plus générales; et enfin, nous exposerons les rapports qui ont lieu entre ce principe et la théorie des polaires réciproques; et nous en déduirons plusieurs autres méthodes particulières, qui offriraient, comme cette théorie, des moyens faciles de mettre en usage ce principe, s'il n'était démontré directement et a priori, comme une propriété inhérente à l'étendue figurée.

§ 5. Parmi les applications du principe de dualité, il en est une qui mérite que nous en fassions ici une mention particulière.

En jetant un coup d'oeil sur l'état de la Géométrie avant qu'on eût fait usage de la théorie des polaires pour transformer certains théorèmes, on s'aperçoit que l'on ne connaissait que très peu de vérités qui fussent les corrélatives d'autres vérités connues. Dans la théorie des courbes, par exemple, aucune de leurs propriétés générales n'avait sa corrélative. Cette circonstance prouve que la méthode analytique de Descartes, à laquelle on devait les plus belles découvertes, particulièrement dans la Géométrie des courbes, n'est pas applicable, ou du moins présenterait des obstacles très grands, si l'on cherchait à l'appliquer à ce genre de théorèmes qu'on obtient immédiatement, en vertu du principe de dualité, comme corrélatifs de théorèmes démontrés par cette méthode de Descartes. Le principe de dualité donne donc sous ce rapport, à la Géométrie pure, un avantage incontestable sur la méthode analytique.

Mais on ne conclura pas de là que l'Algèbre, cet instrument merveilleux, qui, jusqu'à ce jour, s'est prêté à toutes les conceptions géométriques, doive refuser son secours aux nouvelles propriétés de l'étendue, qui semblent échapper aux procédés de Descartes. On pensera, au contraire, qu'il suffira

lions prescrites par ce principe. Mais nous n'avons point voulu nous permettre de substituer une nouvelle dénomination à celle qui a été généralement reçue.

de modifier dans sa mise en œuvre la grande conception de Descartes, en lui reconnaissant, pour objet adéquat, Tappiication des symboles algébriques aux idées de figure et d'étendue.

Le moyen employé par Descartes a été de considérer une courbe comme la conjonction de points se succédant d'après une loi donnée, et d'exprimer la position de tous ces points par une relation constante entre les dislances de chacun d'eux à deux axes fixes.

On conçoit sans peine que le procédé analogue, dans la nouvelle Géométrie analytique, sera de considérer chaque courbe comme l'enveloppe de toutes ses tangentes; et d'exprimer la position de toules ces droites par une équation unique entre deux variables, dont chaque système de valeurs correspondra à l'une de ces droites.

Le principe même de dualité, appliqué aux procédés et aux relations géométriques que représente l'équation d'une courbe ou d'une surface, dans le système de Descaries, conduira immédiatement au nouveau système de Géométrie analytique en question. C'est ainsi que nous l'exposerons dans cet écril, brièvement, comme simple application du principe de dualité, nous réservant de revenir sur cet objet, que nous avons traité directement, et sans le secours du principe de dualilé, en suivant à peu près la marche adoptée pour l'exposition de la Géométrie analytique en usage.

Nous avons déjà dit, en peu de mots, en quoi consiste notre nouveau système de coordonnées, et nous en avons fait des applications. ( Voir le tom. VJ, pag. 8i de la Correspondance mathématique de M. Quelelet.) Mais si nous n'avons pas mis d'empressement à publier ce travail qui, si le principe de dualité n'était pas connu, aurait une grande utilité, parce qu'il servirait à démontrer directement tous les théorèmes corrélatifs de ceux qu'on obtient par la Géométrie de Descartes, c'est qu'il n'est point indispensable, aujourd'hui que le principe de dualité sert à transformer sur-le-champ les vérités obtenues par la méthode de Descartes.

Néanmoins ce nouveau système de Géométrie analytique nous paraît mériter d'être développé, comme complétant, avec la doctrine des coordonnées

de Descartes, l'œuvre que s'est proposée ce grand philosophe dans sa magnifique conception de l'application de l'Algèbre à la Géométrie.

§ 6. Ce que nous venons de dire de la Géométrie analytique, relativement aux propriétés de l'étendue, découvertes par le principe de dualité, s'applique aussi, en partie, à la théorie des transversales, telle que Carnot l'a formée, et qu'elle a été appliquée depuis une trentaine d'années. Celte théorie ne convient pas, dans son état actuel, pour la démonstration de beaucoup de théorèmes relatifs aux lignes et aux surfaces courbes, qui sont les corrélatifs d'autres théorèmes qu'on a démontrés par cette théorie même. Cependant elle s'applique à ceux de ces théorèmes qui ne concernent que les systèmes de lignes droites, parce que Carnot a compris, dans cette théorie, le théorème de Jean Bernoulli (ou plutôt de Jean Ceva, comme nous l'avons dit, Note VI), qui se trouve être le corrélatif de celui de Ptolémée.

Il suffira d'introduire pareillement, dans la théorie des transversales, quelques théorèmes relatifs aux lignes et aux surfaces courbes, pour la mettre en état de satisfaire, par elle-même et directement, aux doubles questions qui doivent toujours se présenter désormais dans les spéculations géométriques. Ces théorèmes, qui seront précisément les corrélatifs des principes actuels de la théorie des transversales, ont déjà été obtenus par M. Poncelet, dans ses applications de la théorie des polaires réciproques; et cet habile géomètre en a fait usage dans son Mémoire intitulé ; Analyse des transversales appliquée à la recherche des propriétés projectives des lignes et surfaces géométriques, (^Voir tom. VIII du Journal de M. Crelle.) utilité du principe de § 7. A près avolr montré que le principe de dualité étend ses applications

dualité dans l'Ai-

«èbre. gur la Géométric analytique, en y introduisant un nouveau système de coor-

données, nous devons ajouter que l'influence et la portée de ce principe peuvent s'étendre jusque sur l'Algèbre même, considérée dans son abstraction absolue. On ne doit point s'étonner de cela; car Monge nous a appris, pas d'assez beaux exemples, qu'aux lois de l'étendue et qu'à toutes les conceptions de la Géométrie suffisamment générales, peuvent correspondre des considérations et des résultats de pure Algèbre.

C'est sous deux points de vue que nous envisageons les usages du principe de dualité en Algèbre. D'abord comme moyen d'intégration dans plusieurs cas; et ensuite comme pouvant donner, par l'expression algébrique de certains résultats de Géométrie, divers théorèmes d'Algèbre.

Nous allons expliquer, en peu de mots, cette double application du principe de dualité à l'Analyse algébrique.

§ 8. A une surface donnée, correspond, suivant le principe de dualité, la surface corrélative; et à chacune des propriétés de la première surface, correspond une propriété de la seconde.

Si la première surface est exprimée par une équation (dans un système quelconque de coordonnées), les relations géométriques qui ont lieu entre elle et la seconde surface serviront à passer de cette équation à celle de la seconde surface, dans le même système de coordonnées; et réciproquement, à passer de l'équalion de celte seconde surface à celle de la première. (Nous donnerons les formules qui servent à cela dans le système de coordonnées de Descartes). Si la première surface est représentée seulement par une équation aux dilTérenlielIcs partielles, à cette équation en correspondra une autre qui sera sa corrélative et qui appartiendra à la seconde surface. Cette autre équation sera généralement différente de la proposée, et pourra se prêter, plus ou moins facilement qu'elle, aux méthodes d'intégration. Si on peut l'intégrer, on aura l'équalion de la seconde surface, et l'on passera, par les formules en question, de cette équation à celle de la première surface; ce sera donc l'intégrale de l'équation aux différences partielles proposée.

Cette méthode est, comme on le voit, celle que nous avons développée dans la Note XXX sur les surfaces réciproques de Monge, comme ayant pu avoir été l'objet de cette théorie des surfaces réciproques.

Cette méthode, considérée analytiquement et abstraction faite de toute considéralion géométrique, n'est au fond qu'un mode de transformation algébrique, dont les relations entre les variables correspondantes nous sont indiquées, a priori, par l'expression analytique des relations qui ont lieu entre les figures corrélatives, construites suivant le principe de dualité.

§ 9. Voici quelle sera la seconde manière de faire servir le principe de dualité à la découverte de théorèmes d'Algèbre.

Que Ton ait trouvé par ce principe un théorème de Géométrie, et qu'en cherchant à démontrer ce théorème par l'Analyse, c'est-à-dire par la méthode des coordonnées, on éprouve une difficulté insurmontable provenant de l'imperfection actuelle de la science algébrique, on cherchera à préciser le point de difficulté, ou, en d'autres termes, la notion algébrique qu'il serait nécessaire d'admettre pour arriver à la conclusion désirée. Cette notion algébrique sera un théorème d'Algèbre, qui se trouvera, de la sorte, démontré par des considérations géométriques.

Un exemple éclaircira suffisamment cette manière de procéder.

Supposons qu'on veuille démontrer, par la méthode des coordonnées en usage, ce théorème : Si, à une surface géométrique donnée, on mène tous ses plans ^tangents parallèles à un même plan transversal, leurs points de contact avec la surface auront, pour centre des moyennes dislances, un même point de l'espace, quelle que soit la position du plan transversal.

En représentant la surface par l'équation F [x, y, z) = 0, on trouve que les coordonnées des points de contact des plans tangents sont données par cette équation et par les deux suivantes :

"Zz =

*Zz =

a et b étant les deux quantités angulaires qui déterminent la direction commune aux plans tangents. Éliminant y et z entre ces trois équations, on aura une équation résultante en x, dont les racines seront les abscisses des points de conctact des plans tangents avec la surface. Il faudra donc, d'après le théorème énoncé, que la somme de ces racines soit la même, quelle que soit la direction commune des plans tangents, c'est-à-dire quels que soient les deux paramètres a et b. De là résulte donc ce théorème d'Algèbre :

Si, entre les trois équations

F(x,rj,z) = 0, dF iW dx dz

dF .rfF dx dz '

on élimine les deux variables y et z, l'équation résultante, en \, aura la somme de ses racines indépendante des deux coefficients a e/ b.

Cet exemple suffît pour montrer comment on fera usage du principe de dualité pour établir des théorèmes d'Algèbre.

§ 10. Les idées de dualité que nous avons appliquées, dans les para- Application du principe graphes précédents, à deux doctrines géométriques, la méthode des coor- ilque.'"*" '" *'^"'" données de Descartes et la théorie des transversales, et à une théorie algébrique, Tintégration des équations aux différences partielles, peuvent s'étendre à d'autres parties des mathématiques, principalement à la dynamique. Mais ce n'est point ici le lieu de traiter ce sujet, pour lequel nous renvoyons à la Note XXXI V.

§ 11. La seconde partie de cet écrit sera consacrée au second principe Principe dhomogra-

phie.

général en question, celui de déformation des figures.

Comme les figures que l'on considère dans les applications de ce principe sont du même genre, c'est-à-dire qu'à chaque point, à chaque droite, à chaque plan de l'une correspondent respectivement un point, une droite, un plan dans l'autre, ainsi que cela a lieu, par exemple, dans deux figures semblables, ou bien dans deux figures planes dont l'une est la perspective de l'autre, nous appellerons ces figures homographiques ; et le principe en question sera dit principe de déformation homographique, ou simplement principe d'homographie.

§ 12. Il ne paraîtra peut-être pas inutile, avant d'entrer en matière, de bien préciser le caractère philosophique de ce principe, et la nature de ses applications dans la Géométrie rationnelle.

Usage du principe Sa destinalioii première est de généraliser les propriétés de l'étendue.

d'homograpliie.

De là naissent deux usages distincts auxquels il sera propre. Car cette généralisation peut se faire de deux manières : elle peut porter sur la construction et sur la forme de la figure, ou bien sur les propriétés de celte figure.

Dans le premier cas, la question qu'on se propose est celle-ci : Connaissant les propriétés d'une certaine figure, en conclure les propriétés analogues d'une figure du même genre, mais d'une construction plus géné?'ale.

Par exemple, étant données certaines propriétés du cercle ou de la sphère, en conclure les propriétés correspondantes des sections coniques ou des surfaces du second degré.

Dans le second cas, la question peut être énoncée ainsi : Connaissant quelques cas particuliers d'une certaine propriété générale, inconnue, d'une figure, en conclure cette propriété générale.

Par exemple, prenons trois diamètres conjugués d'une surface du second degré : on sait que la somme de leurs carrés est égale à une quantité constante. Ce théorème donnera lieu à celte queslion : étant donnée une surface du second degré, et étant pris un point quelconque dans l'espace, par lequel on mène trois droites; à quelles conditions de construction devront satisfaire ces droites, pour que, dans le cas particulier où ce point serait le centre de la surface, elles deviennent trois diamètres conjugués; et quelle sera la propriété de ces trois droites qui deviendra celle des trois diamètres conjugués que nous avons énoncée?

Ainsi, on conçoit bien les deux questions générales auxquelles est destiné le principe de déformation homographique.

§ 13. La première de ces deux questions donne lieu à une véritable méthode de recherches.

En effet, qu'il s'agisse de démontrer telle propriété d'une figure; on prendra, parmi l'infinité des figures homographiques possibles, celle dans lacjuelle, à raison de sa sim|)licité ou d'autres circonstances, le théorème sera, sinon évident, au moins d'une démonstration plus facile. C'est ainsi que

l'on a souvent réduit, par Temploi de la perspective, la recherche des propriétés des coniques à celles du cercle.

§ 14-. Sous le point de vue de la seconde question, le principe de déformation homographique peut être regardé comme appartenant à la classe des méthodes inverses. L'opération à laquelle il est propre est l'inverse de celle que nous prati(|uons journellement pour conclure, d'un théorème général, les cas parliculiers qui s'y rattachent. Considéré comme une telle méthode, ce principe mérite peut-être quelque attention. En elTet, quoiqu'il soit toujours facile, en Géométrie, de passer d'une vérité à ses corollaires, qui sont autant de vérités moins générales que la première, on n'a point encore de règles inverses pour passer, de l'une de ces vérités particulières, à la vérité générale. L'induction, l'analogie, ou quelques considérations particulières, peuvent bien, dans certains cas, mettre sur les traces de cette vérité primitive et la faire deviner ; mais ensuite sa démonstration devient une question toute nouvelle, pour laquelle on n'a aucune méthode spéciale. Lq principe d' homographie j et les dilTérents modes de déformation qui en émanent, ofl'rent une méthode de ce genre, véritable méthode de généralisalion, la seule, croyons-nous, que l'on ait encore tenté d'introduire dans la Géométrie rationnelle K On appréciera l'utilité de telles méthodes pour hâter les

' Oserons-nous, par suite de ces considérations, indiquer un point de ressemblance entre cette méthode et le calcul intégral ? Le but est le même dans l'un et l'autre : il s'agit de passer d'une dérivation d'un objet à cet objet.

Étant donnée une quantité, on sait toujours, et à l'instant même, trouver sa différentielle; mais pour la question inverse: étant donnée une quantité ou une équation différentielle, trouver son intégrale, on n'a point de méthodes générales. Pareillement, étant donnée une proposition, générale, on peut énoncer sur-le-champ ses cas particuliers; et dans la question inverse, oii, étant donné un cas particulier d'une proposition générale inconnue, on demande de déterminer cette proposition générale, on n'a point non plus de méthode générale.

Ce rapprochement paraîtra peut-être moins étrange, si nous disons que le caractère plus particulier du principe d'homographie, parmi les autres modes de transformation des figures, est de passer, comme dans le calcul intégral, de Vin/ini au fini. Ce sont les propriétés d'une, figure qui a des parties à l'infini qu'on veut, le plus souvent, dans les applications du principe d'homographie, transporter h une figure du même genre, mais dont les mêmes parties sont placées à des distances finies.

progrès de la science. Car il n'est point de découverte un peu capitale dont on n'ait rencontré, longtemps auparavant, quelques germes et quelques cas particuliers, qui auraient pu sur-le-champ, à l'aide de ces méthodes de généralisation, conduire à cette découverte. Il est donc important de rechercher et de cultiver ces sortes de méthodes.

§ 15. Nous ferons diverses applications du principe de déformation homographique : l'une d'elles portera sur le système de coordonnées qui constitue la Géométrie de Descartes, et conduira à un nouveau système de Géométrie analytique plus général, et qui serait propre à la démonstration directe, par l'Analyse, des propositions que ce principe aurait servi à démontrer, comme généralisation de celles auxquelles s'applique la doctrine de Descartes. îfiéii.o(ies dérivées du §16. Lc princlpc général de déformation homographique comprend

principe d'Iioinogra- . , . .

l'hie. plusieurs méthodes particulières, qui serviront pour des questions spéciales

et plus restreintes. Nous en distinguerons trois principales :

La première sera la théorie des figures homologiques, de M. Poncelet, qui servira, par exemple, pour déduire des propriétés de la sphère une foule de propriétés des surfaces de révolution, du second degré, ayant un foyer; mais nous y joindrons le principe des relations métriques, sans lequel cette élégante théorie ne pourrait atteindre à une foule de questions, et serait incomplète ^

La deuxième sera une méthode propre à l'extension des relations angulaires, qui servira particulièrement pour appliquer les propriétés de la sphère aux surfaces de révolution, du second degré, n'ayant pas de foyer. Aucune des méthodes de transformation n'a encore été propre à ce genre de recherches.

Et la troisième sera destinée à une classe très nombreuse de propriétés appartenant à la Géométrie des mesures, c'est-à-dire aux longueurs,

* Par exemple, ce principe des relations de grandeur est indispensable pour connaître les propriétés métriques du système de deux coniques quelconques, dont M. Poncelet a donné les propriétés descriptives; il en est de même pour la lliéorie des bas-reliefs, dont les propriétés métriques ne sont pas moins importantes que leurs propriétés purement descriptives

surfaces et volumes des figures; ce sera la traduction, en pure Géométrie, de la méthode analytique, que nous avons déjà employée pour transporter, aux surfaces du second degré, les propriétés de la sphère. Celte méthode nous servira particulièrement pour démontrer, par pure intuition, les belles propriétés connues, et plusieurs autres, des diamètres conjugués des surfaces du second degré, que Ton n'a démontrées jusqu'ici qu'avec le secours de l'Analyse.

§ 17. En général, nos applications du principe d'homographie, aux surfaces du second degré, nous conduiront naturellement à de nombreuses propriétés de ces surfaces, que les procédés analytiques, employés jusqu'à ce jour, n'avaient point encore indiquées; et ces applications feront peut-être voir qu'il est possible de baser, sur de pures considérations de Géométrie et sans le secours du calcul, une théorie très étendue des surfaces du second de«>-ré ainsi que nous l'avons annoncé plus haut. L'Analyse a de si beaux et de si immenses avantages sur la Géométrie, en tant d'autres circonstances, qu'on nous permettra d'ajouter ici que, dans cette théorie des surfaces du second degré, elle le cède à la méthode géométrique. Celle-ci y est beaucoup plus rapide et plus féconde que la voie du calcul; elle est aussi plus lumineuse, parce que, ne tirant ses ressources que de la nature même des choses, et sans considérations auxiliaires, elle montre mieux l'enchaînement des propositions, pénétre jusqu'à leur source^ et peut conclure, de quelque relation primordiale entre les figures, une infinité de déductions qui font autant de propositions diverses dont les rapports n'apparaîtraient pas toujours dans les formules et les transformations analytiques, et qui, dès lors, exigeraient des démonstrations différentes, souvent longues et pénibles \

§ 18. Indépendamment des usages du principe d'homographie, comme moyen de démonstration et de généralisation des propriétés de l'étendue, ce

' Nous croyons avoir déjà présenté, dans notre Mémoire sur les propriétés des cônes du second degré, un exemple des avantages que la méthode géométrique peut avoir souvent sur l'Analyse, dans la théorie des surfaces du second degré. Car, outre que la méthode analytique n'avait point mis sur la voie des divers théorèmes auxquels des considérations géométriques nous ont conduit, elle les démontrerait plus longuement que nous n'avons fait; ce dont nous nous sommes convaincu en traduisant nos premières démonstrations en Analyse.

principe, en lui-même, renferme un troisième genre d'utilité, qui consiste dans la notion même de Vhomographie des figures. En effet, la considération de deux figures homographiques, et la connaissance des rapports qui les lient Tune à Tautre, présentent des vérités géométriques nouvelles, auxquelles peuvent se rattacher, comme corollaires, une foule de théorèmes connus, et qui peuvent conduire à beaucoup d'autres résultats nouveaux, qu'on n'obtiendrait que difficilement sans le secours de cette doctrine des figures homographiques.

Par exemple, nous dirons que les diverses manières de décrire les coniques, données par Newton, Mac-Laurin, De Wilt, etc., et un grand nombre de propriétés de ces courbes, qui paraissent n'avoir aucun rapport entre elles, sont des conséquences immédiates de la théorie des figures homographiques. {Voir les Notes XV et XVI.)

Les propriétés que présente le système de deux corps égaux, et même de deux corps semblables, situés d'une manière quelconque dans l'espace, sont aussi des conséquences de cette même théorie. Et ces propriétés, qu'on n'a point encore cherchées, sont nombreuses et conduisent à divers théorèmes curieux sur le mouvement infiniment petit, et même sur le déplacement fini quelconque d'un corps solide ^

Nous ne considérons, dans ce Mémoire, les figures homographiques que comme moyen de déformation propre à la démonstration et à la généralisation des théorèmes, nous proposant d'exposer, dans un autre écrit particulier, leurs propriétés générales dont nous venons de parler.