CONCLUSION

§ 19. Après les considérations que nous venons de développer, sur la nature et la destination des deux principes de dualité et d'homographie, on

* Nous citerons, par exemple, ce théorème qui peut entrer dans les principes de la mécanique pratique : On peut toujours transporter un corps solide d'une première position dans une autre position détertninée, par le mouvement continu d'une vis à laquelle on aurait fixé ce corps. {Voir le Bulletin universel des sciences, novembre 1830; ou la Correspondance mathémathique de Bruxelles^ lom. VII, pag. 5Liî2.)

pensera peut-être que s'il doit exister, dans la science de l'étendue, quelques lois primordiales vraiment grandes et fécondes, comme en Analyse le calcul infinitésimal, qui a résumé et perfectionné toutes les méthodes de quadratures et de maxima, comme en mécanique le principe des vitesses virtuelles, d'où Lagrange a tiré tous les autres, comme dans les phénomènes célestes la grande loi de Newton * ; on pensera peut-être, disons-nous, que les deux simples théorèmes de Géométrie, d'où dérivent les deux principes de dualité et d'homographie, sont de ceux qui approchent le plus, dans l'état actuel de la Géométrie, de ces grandes lois générales qui nous sont encore inconnues.

Ces deux théorèmes, en effet, embrassent dans leurs conséquences directes, non seulement une multitude de vérités particulières, mais aussi des théories et des méthodes fécondes et d'une grande portée.

Sans entrer dans le détail des applications de ces deux théorèmes, et des roules nouvelles qu'ils ouvrent aux spéculations géométriques, il nous suffira de dire que le premier divise en deux grandes classes toutes les propriétés de l'élendue; qu'il n'en est pas une, quelque générale qu'elle soil, qu'il ne serve à convertir en une autre aussi générale dans son genre ;

Que le second généralise toutes les vérités particulières et isolées, en montre les rapports communs, et les lie entre elles en les rattachant à une seule et même vérité générale; et ce théorème comprend aussi, comme le premier, des méthodes dans ses innombrables corollaires.

* C'est l'opinion, sans doute, des personnes accoutumées à contempler plus particulièrement les propriétés de l'étendue, leur nature, leur enchaînement et surtout celte continuité merveilleuse, qui leur donne, à un degré éraincnt, un caractère d'extensibilité indéfinie, que ne présenlenl point d'autres sciences positives, celle des nombres, par exemple. Cette opinion sur la Géométrie et son avenir est celle d'un savant, à qui ses travaux dans plusieurs parties différentes des sciences mathématiques, et la place distinguée qu'il a déjà prise, quoique jeune, dans les premières Académies de l'Europe, donnent une grande autorité : t II est fâcheux, m'écrivait » M. Quelelet, que la plupart des mathématiciens de nos jours jugent si défavorablement de la » Géométrie pure. .. II m'a toujours paru que ce qui les retient le plus est le défaut de généra- » lilé des méthodes qu'ils pensent y voir. Mais est-ce bien la faute de la Géométrie, ou de ceux

> qui l'ont cultivée? Je serais très disposée croire qu'il existe quelques grandes vérités qui

> doivent être pour ainsi dire la source de toutes les autres, à peu près comme le principe des » vitesses viriuelles est pour la mécanique. »

§ 20. Les principes de dualité et d'homographie, et les diverses méthodes qui en dérivent; les autres modes de transformation, que nous avons reconnus dans la Géométrie descriptive de Monge et dans la Géométrie perspective de M. Cousinery, et celui que fournit la théorie des projections stéréographiques, font, avec la théorie des transversales, les plus puissantes doctrines actuelles de la Géométrie récente, et lui donnent un caractère de facilité et d'universalité qui la distingue de la Géométrie ancienne.

Ces modes de transformation, en effet, sont autant de moyens siirs, de moules, pour ainsi dire, qui servent à créer, à volonté, des vérités géométriques sans nombre.

Qu'on prenne une figure quelconque dans l'espace, et l'une de ses propriétés connues ; qu'on applique à cette figure l'un de ces modes de transformation, et qu'on suive les diverses modifications ou transformations qu'éprouve le théorème qui exprime cette propriété, on aura une nouvelle figure, et une propriété de cette figure, qui correspondra à celle de la première.

Ces moyens, que possède la Géométrie récente, de multiplier ainsi à l'infini les vérités géométriques, peuvent être assimilés aux formules et aux transformations générales de l'Algèbre, qui donnent, avec sûreté et promptitude, la réponse aux questions diverses qu'on leur soumet, ou bien, en quelque sorte, aux réactifs du chimiste, qui opèrent d'une manière sûre et invariable la transmutation des matières qu'il leur présente; ces moyens sont donc de véritables instruments, que ne possédait point l'ancienne Géométrie, et qui font le caractère distinctif de la Géométrie moderne.

Dans la Géométrie ancienne, les vérités étaient isolées; de nouvelles étaient' difficiles à imaginer, à créer; et ne devenait pas géomètre inventeur qui voulait.

Aujourd'hui, chacun peut se présenter, prendre une vérité quelconque connue, et la soumettre aux divers principes généraux de transformation; il en retirera d'autres vérités, différentes ou plus générales; et celles-ci seront susceptibles de pareilles opérations; de sorte qu'on pourra multiplier, presque à l'infini, le nombre des vérités nouvelles déduites de la première : toutes, il

est vrai, ne mériteronl pas de voir le jour, mais un certain nombre d'entre elles pourront offrir de l'intérêt et conduire même à quelque chose de très général.

Peut donc qui voudra, dans l'état actuel de la science, généraliser et créer en Géométrie; le génie n'est plus indispensable pour ajouter une pierre à l'édifice.

Aussi croyons-nous pouvoir regarder la Géométrie dans un état prononcé de progrès et de perfectionnements rapides; et pensons-nous qu'on peut dire aujourd'hui, avec raison, de celte science, ce qui a paru, dans un temps, faire le caractère exclusif de la Géométrie analytique : « L'esprit de la Géo- >) métrie moderne est d'élever toujours les vérités, soit anciennes, soit nou- » velles, à la plus grande généralité qu'il se puisse K »

' Fontenelle, Histoire de l'Académie des sciences, ann. 1704; sur les spirales à l'infini.

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