AVERTISSEMENT DES ÉDITEURS

Cette troisième édition, aussi bien que la précédente, est la reproduclion de la première; sauf, bien entendu, quelques corrections grammaticales '.

GAUTmER-VjLLARS.

Hayez.

Septembre 1888.

i L'illustre Auteur étant décédé le 18 décembre 1880, nous avons cru devoir, pour la révision des épreuves, nous adresser à M. Catalan qui, on vient de le voir, avait déjà supplée M. Chasles dans cette tâche.

SUR l'ORIGINK ET LE DÉVELOPPEMENT

Nous nous proposons, dans cet Aperçu, de présenter une analyse rapide des principales découvertes qui ont porté la Géométrie pure au degré d'extension où elle est parvenue de nos jours, et particulièrement de celles qui ont préparé les méthodes récentes.

Nous indiquerons ensuite, parmi ces méthodes, celles auxquelles nous paraissent pouvoir se rattacher la plupart des innombrables théorèmes nouveaux dont s'est enrichie la science dans ces derniers temps.

Enfin nous exposerons la nature et le caractère philosophique des deux principes généraux de l'étendue, qui font l'objet principal de ce Mémoire.

Nous avons distingué, dans l'histoire de la Géométrie, cinq Époques principales. On jugera, après la lecture, si les caractères particuliers que nous avons reconnus à chacune de ces cinq Époques peuvent justifier celte division.

Plusieurs Notes sont jointes à cet Aperçu. Les unes sont destinées au développement de certains passages que nous avons dû traiter brièvement dans le discours ; d'autres présentent quelques détails historiques dont rétendue ne nous permettait pas de les donner comme annotations marginales, parce qu'elles auraient entravé la lecture. Plusieurs autres enfin seront le fruit de nos j)ropres recherches sur différentes parties des théories géométriques dont nous aurons eu à parler, et présenteront peut-être quelques résultats nouveaux.

Celles-ci ne paraîtraient pas indispensables si l'on n'envisageait que le but historique de notre travail. Mais nous avons eu en vue surtout, en retraçant la marche de la Géométrie, et en présentant l'état de ses découvertes et de ses doctrines récentes, de montrer, par quelques exemples, que le caractère de ces doctrines est d'apporter, dans toutes les parties de la science de l'étendue, une facilité nouvelle et les moyens d'arriver à une généralisation, jusqu'ici inconnue, de toutes les vérités géoméiriqiies; ce qui avait été aussi le caractère propre de l'Analyse, lors de son application à la Géométrie. Aussi conclurons-nous, de notre Aperçu, que les ressources puissantes que la Géométrie a acquises depuis une trentaine d'années sont comparables, sous plusieurs rapports, aux méthodes analytiques, avec lesquelles celle science peut rivaliser désormais, sans désavantage, dans un ordre très étendu de questions.

Cette idée se trouvera reproduite, puissions-nous dire justifiée! dans plusieurs endroits de cet écrit, parce qu'elle en est l'origine et qu'elle n'a point cessé de présider aux longues recherches qu'ont nécessitées la partie historique, les Notes et les deux Mémoires qui composent cet ouvrage.

Hâtons-nous de dire cependant, pour éviter toute interprétation inexacte de notre but et de notre sentiment sur les deux méthodes qui se partagent le domaine des sciences mathématiques, que notre admiration pour l'instrument analytique, si puissant de nos jours, est sans bornes, et que nous n'entendons pas lui mettre en parallèle, sur tous les points, la méthode géométrique. Mais, convaincu qu'on ne saurait avoir trop de moyens d'in-

vcstigation dans la recherche des vérités mathématiques, qui toutes peuvent devenir également faciles et intuitives quand on a trouvé et suivi la voie étroite qui leur est propre et naturelle, nous avons pensé qu'il ne pouvait qu'ôlre utile de montrer, autant que nos faihles moyens nous le permettaient, que les doctrines de la pure Géométrie otTrenl souvent, et dans une foule de questions, cette voie simple et naturelle qui, pénétrant jusqu'à l'origine des vérités, meta nu la chaîne mystérieuse qui les unit entre elles, et les fait connaître individuellement, de la manière la plus lumineuse et la plus complète.

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