PREMIÈRE ÉPOQUE

né 639 et mort S-tS ans a%aol J.-C

ne vers 5i$0 avant J.

§ i. La Géométrie prit naissance chez les Chaldéens et les Égyptiens. THALÈs, Thaïes qui, né en Phénicie, alla s'instruire en Egypte et vint ensuite

s'élablir à Milet, y fonda Técole ionienne, d'où sont sorties les sectes des philosophes de la Grèce, et où commencèrent les premiers progrès de la Géométrie.

PYTHAGonE. Pythagore,^né à Samos, disciple de Thaïes, qui, comme lui, avait voyagé

en Egypte, puis dans les Indes, vint se retirer en Italie, et y fonda son école, beaucoup plus célèbre que celle d'où elle dérivait. Ce fut principalement à Pythagore, qui incorpora la Géométrie dans sa philosophie, et à ses disciples que cette science dut ses premières découvertes. Les principales furent la théorie de V incommensurabilité de certaines lignes, comme la diagonale du carré comparée au côté; et la théorie des corps réguliers. Ces premiers pas dans la science de l'étendue n'offrirent, du reste, que quelques propositions élémentaires, relatives à la ligne droite et au cercle. Les plus remarquables sont le théorème du carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle, dont la découverte coûta, dit l'hisloire, ou la fable, une hécatombe à Pythagore; et la propriété qu'ont le cercle et la sphère d'être des maxima

parmi les figures de même périmètre ou de même surface : propositions qui offrent le premier germe de la doctrine des isopérimètres.

§ 2. La Géométrie fut ainsi restreinte jusqu'à la fondation de l'école platonicienne, époque de ses grands progrès.

Platon, comme les sages de la Grèce qui Tavaienl précédé, alla s'instruire dans les mathématiques chez les prêtres égyptiens; puis en Italie auprès des pythagoriciens.

De retour à Athènes, ce chef du Lycée introduisit dans la Géométrie la méthode analytique ^, les sections coniques et la doctrine des lieux géométriques. Découvertes mémorables qui firent de la Géométrie, pour ainsi dire, une science nouvelle, d'un ordre plus élevé que la Géométrie élémentaire cultivée jusque-là, et que les disciples de Platon appelèrent Géométrie transcendante.

La doctrine des lieux géométriques "^ fut appliquée, dès ce temps, d'une manière très savante, aux fameux problèmes de la duplication du cube, des deux moyennes proportionnelles et de la trisection de l'angle.

Le premier de ces problèmes, célèbre par sa difficulté et par son origine

' La définition suivante de Vanalyse et de la synthèse, rapportée par Viète, au commencement de son Isagoge in artem analylicem, caractérise parfaitement les deux méthodes des Anciens: « Il est en mathématiques une méthode pour la recherche de la vérité, que Platon » passe pour avoir inventée, que Théon a nommée analyse et qu'il a définie ainsi : Regarder » la chose cherchée comme si elle était donnée, et marcher, de conséquences en conséquences, » jusqu'à ce que l'on reconnaisse comme vraie la chose cherchée. Au contraire, la synthèse se » définit : Partir d'une chose donnée, pour arriver, de conséquences en conséquences, à trouver » une chose cherchée. »

' On appelle lieu, en Géométrie, une suite de points dont chacun résout une question proposée, ou jouit d'une certaine propriété dont ne jouit aucun autre point pris au dehors de ce lieu. Les Anciens distinguèrent les lieux géométriques en diverses classes. Ils nommèrent lieux plans la ligne droite et la ligne circulaire, dont la génération a lieu sur un plan; lieux solides les sections coniques, j)arce que l'on concevait leur génération dans le solide; enfin lieux linéaires toutes les courhes d'un ordre supérieur, telles que les conchoïdes, les cissoïdes, les spirales et les quadratrices.

On a appelé théorème local un théorème où il s'agit de démontrer qu'une suite de points d'une ligne, droite ou courbe, satisfait aux conditions d'une question proposée, et problème local celui où il s'agit de trouver une suite de points dont chacun satisfasse à une question proposée.

PLATON, 430—317 avant J.C.

HIPPOCRATE DE CIIIO, vers tSO avant J.C.

fabuleuse, avait déjà occupé les géomètres. Hippocrate de Chio, si connu par la quadrature de ses lunules, l'avait réduit à la recherche de deux moyennes proportionnelles entre le côté du cube donné et le double de ce côté; ce qui probablement a donné lieu au problème général des deux moyennes proportionnelles.

Celui-ci a été résolu de différentes manières, qui toutes font honneur aux géomètres de l'antiquité. La première solution est due à Platon, qui employa un instrument composé d'une équerre sur l'un des côtés de laquelle glisse une droite qui lui est perpendiculaire et reste conséquemment parallèle au second côté; premier exemple, sans doute, de la solution mécanique d'un problème de Géométrie.

MENECHME. Mcnechmc, disciple de Platon, se servit des lieux géométriques, qui furent

deux paraboles, ayant même sommet et leurs axes rectangulaires; ou bien une parabole et une hyperbole entre ses asymptotes.

Eudoxe, autre disciple et ami de Platon, se servait de certaines courbes qu'il avait inventées pour cet objet; malheureusement, sa solution ne nous est point parvenue, et nous ne savons quelles étaient ces courbes. ARCHiTAs. La solution d'Archilas, célèbre pythagoricien dont Platon avait suivi les

leçons en Italie, était purement spéculative ; mais elle a cela de remarquable qu'elle faisait usage d'une courbe à, double courbure, qui paraît être la première qui ait été considérée par les géomètres; du moins elle est la plus ancienne de celles qui nous sont parvenues '.

< Voici la description de cette courbe : « Que, sur le diamètre de la base d'un cylindre » droit circulaire, on conçoive un demi-cercle dont le plan soit perpendiculaire à celui de la » base du cylindre; que le diamètre tourne autour d'une de ses extrémités et emporte, dans » ce mouvement circulaire, le demi-cercle, toujours situé dans un plan perpendiculaire à celui » de la base du cylindre; ce demi-cercle rencontrera, dans chacune de ses positions, la surface » cylindrique en un point : la suite de tous ces points formera la courbe à dauble courbure en ï question. »

Pour résoudre le problème des deux moyennes proportionnelles, Architas coupait cette courbe par un cône de révolution autour de l'arête du cylindre, menée par l'extrémité fixe du diamètre du dcmi-ctrcle mobile; le point d'intersection donnait la solution cherchée.

Les quatre solutions du problème des deux moyennes proportionnelles, que nous venons de citer, sont, comme on le voit, essentiellement diiïérenles. Ce problème continua, pendant un grand nombre de siècles, d'occuper les géomètres, qui en multiplièrent les solutions. Eutocius, matbématicien du VI*' siècle, rapporte, dans son Commentaire sur le second livre de la sphère et du cylindre d'Archimède, celles d'Éralosthène, d'Apollonius, de Nicomède, de Héron, de Philon de Byzance, de Pappus, de Diodes et de Sporus. Nous citons ces mathématiciens suivant l'ordre chronologique.

§ 3. Les savantes méthodes ébauchées par Platon et ses disciples furent cultivées avec ardeur par leurs successeurs, et fournirent la matière à plusieurs ouvrages assez considérables, où sont développées les principales propriétés de ces célèbres courbes, les sections coniques qui, deux mille ans après, ont joué un si grand rôle dans le mécanisme de l'univers, lorsque Kepler les reconnut pour les vraies orbites parcourues par les planètes et leurs satellites, et que Newton découvrit dans leurs foyers les points mêmes où résident les forces qui animent tous les corps du système du monde.

Le principal de ces ouvrages était d'Aristée; il contenait cinq livres sur les sections coniques; les Anciens en parlent avec beaucoup d'éloges; mais malheureusement ils ne nous sont point parvenus, non plus que cinq livres sur les lieux solides, du même géomètre '.

§ 4. C'est à peu près à cette époque que remonte la découverte de la quadratrice de Dinostrate. Cette courbe, dont la principale propriété la rend propre à la division d'un angle en un nombre quelconque de parties proportionnelles à des lignes données, paraît avoir été inventée pour résoudre le problème de la trisection de l'angle, agité dans l'école de Platon. Elle résou-

ARISTÉE, vers 350 avant J

DINOSTRATE.

* Ces cinq livres sur les lieux solides, dont parle Pappus dans le 7* livre de ses Collections mathématiques, ont été rétablis, sur cette indication, par Viviani, dans le style pur de la Géométrie ancienne, sous ce titre : De locis solidis secunda divinalio geometrica in quinque libros injuria temporuni umissos Aristei senioris geomctrœ auctore Vincentio Viviani, etc. (In-fol. Florence, 1701 ). Viviani avait déjà rétabli (en IG59) le 5* livre des coniques d'Apollonius, dont on n'avait alors que les quatre premiers, et qui a été retrouvé, avec le G* et le 7% par Borclli, pendant que Viviani terminait son travail.

drait aussi le problème de la quadrature du cercle, si Ton savait la construire géométriquement; et c'est cette propriété qui lui a fait donner, chez les Anciens, le nom de quadratrice. II paraît, d'après Pappus, que cette propriété a été découverte par Dinoslrate, frère de Menechme. De là, les Modernes ont appelé cette courbe la quadratrice de Dinostrate. Ceoendant il semble résulter, de deux passages de Proclus \ que Hippias, géomètre et philosophe contemporain de Platon, en est le véritable inventeur, et en avait démontré les propriétés ^.

§ 5. C'est dans ces premiers temps de la Géométrie que nous parait devoir être placé Perseus, qui mérite quelque célébrité pour l'invention de ses lignes spirigues. Ce géomètre formait ces courbes en coupant, par un plan, la surface annulaire, ou tore, que produit la révolution d'un cercle autour d'un axe fixe, mené dans son plan.

Il ne nous reste d'autres renseignements sur ce sujet qu'un passage de Proclus, dans son Commentaire sur le l^'^ livre d'Euclide ^, où il décrit distinctement la génération de ces courbes dans la surface annulaire, et en attribue l'invention à Perseus.

Quelques lignes plus bas, Proclus ajoute que Geminus avait écrit sur ces lignes spiriques. Ce document est précieux, parce qu'il prouve l'antériorité de Perseus sur Geminus, qu'on sait avoir vécu vers le temps d'Hipparque, dans les deux premiers siècles avant l'ère chrétienne.

* Votj. la proposition 9 du livre 3 et le commencement du 4" livre du Commentaire de Proclus sur le 4* livre d'Euclide.

' Le P. Léolaud, géomètre du XVII' siècle, très verse dans la Géométrie ancienne, a écrit sur celte courbe un traité, où il lui découvre une infinité de propriétés curieuses, qui répondent au litre du livre : Liber in quo mirabiles quadratricis facultates variœ exponuntur. L'auteur la compare à la spirale d'Archimède et à la parabole; la fait servir à la détermination des centres de gravité; lui reconnaît des branches infinies, etc. Jean Bernoulli a aussi découvert quelques propriétés de celte courbe. {Voy. tom. I", pag. 447 de ses OEuvres, et tom. II, pag 176 et 179 du Commerce épistolaire avec Leibniz.)

' Sur la définition quatrième d'Euclide.

Proclus parle aussi des spiriques dans son Commentaire de la définition septième, et au commencement de son 4* livre, où il dit encore les spiriques de Perseus.

Il esl i\ regretter que les écrits de Perseus et ceux de Geminus ne nous soient point parvenus; il serait intéressant de voir leur théorie géonfiétrique de ces spirites, qui sont des courbes du quatrième degré, dont l'étude semble exiger aujourd'hui des équations de surfaces et un calcul analytique assez profond (voyez la Note I).

§ 6. Euclide, le célèbre auteur des Eléments de Géométrie, établit le lien entre l'école de Platon, où il avait étudié, et celle d'Alexandrie, qui prenait naissance.

Beaucoup de géomètres, chez les Grecs, avaient écrit, avant Euclide, sur les éléments de Géométrie; Proclus nous transmet leurs noms et y distingue Hippocrate de Chio; Léon, dont l'ouvrage était plus plein, plus utile que celui de son prédécesseur; Theudius de Magnésie, recommandable pour l'ordre qu'il avait mis dans sa rédaction ; Hermolime de Colophon, qui, perfectionnant les découvertes d'Eudoxe et de Thœtète, mit aussi beaucoup du sien dans les éléments. Peu de temps après vint Euclide, « qui, » ajoute Proclus, rassembla les éléments, mil en ordre beaucoup de choses » trouvées par Eudoxe, perfectionna ce qui avait été commencé par Thœtète, » et démontra plus rigoureusement ce qui n'avait encore été que trop molle- » ment démontré avant lui K »

Euclide introduisit, dans les Eléments de Géométrie, la méthode appelée réduction à l'absurde, qui consiste à prouver que toute supposition contraire à une proposition énoncée conduit à quelque contradiction ; méthode utile surtout dans les questions où l'infini se présentait sous la forme des irrationnelles, dont Archimède, dans plusieurs de ses ouvrages, et Apollonius, dans son 4-" livre des coniques, ont fait un usage heureux, et dont les géomètres, de nos jours encore, ont tiré un grand parti, dans des questions où la science n'était pas encore assez avancée pour procurer des démonstrations directes, les seules qui mettent une vérité dans toute son évidence, et qui éclairent et satisfassent pleinement l'esprit.

EUCLIDE, V. 385 avant J.-C.

* Proclus, livre 2, chap.lV, de son Commentaire sur le 1"' livre d'Euclide.

Les Eléments d'Euclide sont en treize livres. On y joint ordinairement deux autres livres sur les cinq corps réguliers, attribués à Hypsicle, géomètre d'Alexandrie, postérieur à Euclide de 150 ans.

« Pour se former une idée de l'ouvrage entier, on pourrait le considérer comme composé de quatre parties. La première comprendrait les six premiers livres et se diviserait en trois sections, savoir : la démonstration des propriétés des figures planes, traitée d'une manière absolue et comprise dans les livres 1, 2, 3 et 4; la théorie des proportions des grandeurs en général, objet du 5« livre, et l'application de cette théorie aux figures planes. La seconde partie renfermerait les 7*, 8« et 9« livres, qu'on désigne par l'épilhète à' arithmétiques, parce qu'ils traitent des propriétés générales des nombres. La troisième partie serait formée du 4 0^ livre seulement, où l'auteur considère en détail les grandeurs incommensurables. La quatrième partie, enfin, se composerait des cinq derniers livres, qui traitent des plans et des solides. De tout ce grand corps de doctrine, on n'a fait passer dans l'enseignement que les six premiers livres, le il* et le 12* ^ »

§ 7. C'est surtout à ses Éléments qu'Euclide doit la célébrité de son nom. Mais ce n'était pas le seul de ses ouvrages qui méritât l'admiration. Ce grand géomètre avait reculé les bornes de la science par divers autres écrits, qui ne lui feraient pas moins d'honneur, s'ils nous étaient parvenus. L'un d'eux seulement, mais le moins important, intitulé les Données, nous est connu. C'est une continuation des Éléments, destinée à en faciliter les usages et les applications à toutes les questions qui sont du ressort de la Géométrie.

Euclide appelle donnée ce qui résulte immédiatement, en vertu des propositions comprises dans ses Eléments, des conditions d'une question.

Par exemple : « Si, d'un point donné, on mène une droite qui touche un

• Nous cmprunloQs celle analyse des Éléments d'Euclide à rexcellenle Notice de M. Lacroix, publiée dans la Biographie universelle.

cercle donné de position, la droite menée est donnée de position et de grandeur. » (Proposition 91 des Données d'Euclide.)

Les propositions des Données étaient toujours citées comme celles des Éléments, par les géomètres anciens et par ceux du moyen âge, dans toutes leurs recherches géométriques; Newton même en fait usage dans ses Principes, ainsi que des coniques d'Apollonius; mais depuis, ces traces de l'antiquité ont disparu des écrits des géomètres et le livre des Données n'est plus guère connu que de ceux qui étudient l'histoire de la science '.

On peut déduire aisément de quelques propositions du livre des Données la résolution des équations du second degré, qu'on ne trouve, chez les Anciens, que dans Diophante, postérieur de plus de 600 ans à Euclide. Telle est, par exemple, cette proposition : « Si deux droites comprennent un espace donné, dans un angle donné, et si leur somme est donnée, chacune d'elles sera donnée. » (Proposition 85 ^.)

Le 13^ livre des Éléments, qui traite de l'inscription au cercle et à la sphère des polygones et des polyèdres réguliers, contient, à la suite de la 5« proposition, la définition suivante de l'analyse et de la synthèse ; « Ce » que c'est que l'analyse, et ce que c'est que la synthèse.

' Euclide fait usage, dans ses Données, d'une expression embarrassante dans le raisonnement,

et dont le sens même est dilïicilc à comprendre dans la définition qu'il en donne. Comme elle

se trouve diins Apollonius etdans Pappus, et qu'elle était encore employée dans des ouvrages

du dernier siècle, nous croyons utile de faire mention ici de celle expression. Euclide dit que :

« Une grandeur est plus grande à l'égard d'une autre d'une donnée qu'en raison, quand la

grandeur donnée étant retranchée, le reste a, avec l'autre, une raison donnée. » (Définition i I*

des Données.) Ainsi, soil A plus grand que B d'une donnée qu'en raison; soil c cette donnée,

et [i la raison : on aura —^ — = ju..

Euclide a voulu, comme on le voit, énoncer sous la forme d'une égalité à deux termes une équation à trois termes.

* Celte question renferme la résolution des deux équations xy = a^fX -*■ y-=b, qui donnent immédiatement l'équation du second degré x^ — bx -^ a^ = 0. Ainsi la solution de la question d'Euclide donne les racines de cette équation du second degré.

Une autre proposition (la 87*) résout les deux équations xy = a', x^ — /kj/' = fc', dont les racines s'obtiennent par une équation du quatrième degré, réductible au second.

i2 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

» Dans l'analyse, on prend comme accordé ce qui est demandé, parce » qu'on arrive, de là, à quelque vérité qui est accordée.

» Dans la synthèse, on prend ce qui est accordé, parce qu'on arrive, de » lù, à la conclusion ou à l'intelligence de ce qui est demandé. »

Plusieurs propositions, à la suite de cette définition, sont traitées par l'analyse et par la synthèse.

§ 8. Parmi les ouvrages d'Euclide qui ne nous sont point parvenus, les géomètres regrettent principalement quatre livres sur les sections coniques, dont il avait considérablement augmenté la théorie; deux livres sur les lieux à la surface ^ ; et enfin, trois livres sur les porismes.

D'après la préface du 7« livre des Collections mathématiques de Pappus, il paraît que ce traité des porismes brillait d'un génie pénétrant et profond, et qu'il était éminemment utile pour la résolution des problèmes les plus compliqués (collectio artificiosissima mullarum rei'um , quœ spectant ad anahjsin difpciliorum et generalium problematunt). Trente-huit lemmes, que ce savant commentateur nous a laissés pour l'intelligence de ces /sommes, nous prouvent qu'ils formaient un ensemble de propriétés de la ligne droite et du cercle, de la nature de celles que nous fournit, dans la Géométrie récente, la théorie des transversales.

Pappus et Proclus sont les seuls géomètres de l'antiquité qui aient fait mention des porismes; mais déjà, au temps du premier, la signification de ce mot s'était altérée, et les définitions qu'il nous en donne sont obscures. Celle de Proclus n'est pas propre à éclaircir les premières. Aussi, c'a été une grande question, parmi les Modernes, de savoir la nuance précise que les Anciens avaient établie entre les théorèmes et les problèmes d'une part, et ce troisième genre de propositions, appelées porismes, qui participaient, à ce qu'il paraît, des uns et des autres; et de savoir particulièrement ce qu'étaient les porismes d'Euclide.

' Nous formerons, dans la Note II, quelques conjectures sur cet ouvrage d'Euclide, qu'on n'a point encore cherché à rétablir.

Pappus, il est vrai, nous a transmis les énoncés de trente propositions appartenant à ces porismes; mais ces énoncés sont si succincts et sont devenus si défectueux par des lacunes et l'absence des figures qui s'y rapportaient, que le célèbre Halley, si profondément versé dans la Géométrie ancienne, a confessé n'y rien comprendre ', et que, jusque vers le milieu du siècle dernier, bien que des géomètres d'un grand mérite {voyez la Note 111) aient fait de cette matière Tobjel de leurs méditations, aucun énoncé n'avait encore été rétabli.

Ce fut R. Simson qui eut la gloire de découvrir la signification de plusieurs de ces énigmes, ainsi que la forme des énoncés qui était propre à ce genre de propositions.

Voici le sens de la définition que ce géomètre a donnée des porismes :

Le porisme est une jiroposition dans laquelle on annonce pouvoir déterminer, et oii l'on détermine effeclivement certaines choses' ayant une relation indiquée avec des choses fixes et connues, et avec d'autres choses variables à l'infini; celles-ci étant liées entre elles par une ou plusieurs relations connues, qui établissent la loi de variation à laquelle elles soiU soumises.

Exemple : Étant donnés deux axes fixes, si de chaque point d'une droite on abaisse des perpendiculaires/?, q sur ces deux axes, on pourra trouver une longueur de ligne a et une raison «, telles que Ton ait entre ces deux perpendiculaires la relation constante ^—r^^ «•

(Ou, suivant le style ancien, la première perpendiculaire sera plus grande, à l'égard de la seconde, d'une donnée qu'en raison.)

Ici, les choses fixes données sont les deux axes; les choses variables sont les perpendiculaires/?, 7; la loi commune, à laquelle ces deux choses variables sont assujetties, est que le point variable, d'où ces perpendiculaires sont abaissées, appartient à une droite donnée; enfin, les choses à trouver sont

* La Noie de Halley, à la suite du texte de Pappus sur los porismes, reproduit, avec la |)rcface du 7« WwcAts Collections mathématiques, au commencement du traité d'Apollonius, de seclione rationis, in-i", 1706.

la ligne a, el la raison a, qui établiront, entre les choses fixes et les choses variables de la question, la relation prescrite.

Cet exemple suffît pour faire comprendre la nature des porismes, comme Ta conçue R. Simson, dont l'opinion a été généralement adoptée depuis.

Cependant nous devons ajouter que tous les géomètres n'ont pas reconnu, dans l'ouvrage de Simson, la vraie divination de celui d'Euclide. Pour nous, en adoptant le sentiment du célèbre professeur de Glasgow, nous dirons pourtant que nous ne trouvons pas dans son travail la divination complète de la grande énigme des porismes. Cette question, en efïet, était complexe, et ses différentes parties exigeaient toutes une solution que l'on cherche en vain dans le traité de Simson.

Ainsi, l'on devait se demander :

1" Quelle était la forme des énoncés des porismes;

2° Quelles étaient les propositions qui entraient dans l'ouvrage d'Euclide; notamment celles dont l'indication, très imparfaite, nous est laissée par Pappus ;

3" Quels ont été l'intention et le but philosophique d'Euclide, en composant cet ouvrage dans une forme inusitée ;

4° Sous quels rapports il méritait l'éminente distinction qu'en fait Pappus parmi les autres ouvrages de l'antiquité; car la forme seule de l'énoncé d'un théorème n'en constitue pas le mérite et l'utilité ;

5° Quelles sont les méthodes, ou les opérations actuelles, qui se rapprochent le plus, sous une autre forme, des porismes d'Euclide, et qui les suppléent dans la résolution des problèmes; car on ne peut croire qu'une doctrine aussi belle et aussi féconde ait disparu complètement de la science des géomètres;

6" Et enfin, il y aurait à donner une interprétation satisfaisante de différents passages de Pappus sur ces porismes; par exemple, de celui où il dit que les Modernes, ne pouvant tout trouver par eux-mêmes, ou, en quelque sorte, porismer complètement, ont changé la signification du mot; car si le porisme n'avait consisté que dans la forme de son énoncé, comme il