AB'~0B

Chacune de ces sept équations comporte les six autres, et constitue seule l'involution des cinq points A, A', B, B' et 0. La propriété caractéristique de ce point 0 est que son conjugué se trouve à l'infini. Nous l'appellerons le point central des deux systèmes A, A' et B, B'.

La position de ce point central est déterminée par chacune des sept équations précédentes. La première exprime que le produit des distances de ce point, aux deux premiers points conjugués, est égal au produit de ces distances aux deux autres points conjugués ; cette relation va nous conduire à une propriété remarquable de l'involution de six points.

(12) Soient A, A'; B, B'; C, C ces six points; et soit 0 le point central relatif aux quatre premiers, de sorte qu'on ait OA.OA' = OB.OB'. Appelons un instant 0' son conjugué, lequel est à l'infini. Les six points A, AVB, B' et 0, 0' forment une involulion. ïl résulte donc, du théorème (8), que les deux systèmes C, C et 0, 0', et un quelconque des deux autres, le premier A, A', par exemple, forment une involution. C'est-à-dire que le point 0 est le point central des deux systèmes A, A' et C, C. Ainsi l'on a OA.OA' = OCOC Mais déjà OA.OA' = OB.OB'. On a donc cq théorème général :

Quand trois systèmes de deux points forment une involution, il existe toujours un certain point tel que le produit de ses distances aux deux points de chaque système est constant.

Réciproquement : quand on prend sur une transversale, à partir d'un point fixe O, deux points tels que le produit de leurs distances au point 0 soit égala une quantité constante, trois systèmes de deux points ainsi déterminés seront en involution.

Quand les deux premiers points seront pris du même côté, par rapport au point O, il en devra être de même des deux points de chacun des deux autres systèmes, pour que les

produits aient le même signe; et pareillement quand les deux premiers points seront pris de côtés opposés par rapport à un point 0.

(13) Le théorème précédent, qui, croyons-nous, n'a point encore assez fixé l'attention des personnes qui ont écrit sur cette matière, nous paraît être la propriété la plus simple de l'involulion de six points, et celle par laquelle se manifestera le plus souvent, dans les spéculations géométriques, cette involulion.

Nous dirons que le point O, considéré dans une involution de six points, est le point central de l'involution.

('14) Ce point central conduit naturellement aux points doubles, dont nous avons déjà parlé, et fait voir que ces points peuvent être imaginaires.

En effet, soient A, A', B, B' les quatre premiers points d'une involulion. Ils suffisent pour déterminer le point central 0. Si les deux points A, A' sont d'un même côté par rapport à ce point 0, il en sera de même des deux points B, B', et des deux autres points C, C qui doivent compléter l'involution. On peut donc supposer que ces deux derniers se réunissent en un seul, que nous appelons E; et l'on aura, pour déterminer ce point, l'équation

OÂ.OA'=OB.OB' = ()ï; .

Ce point E peut être pris arbitrairement d'un côté ou de l'autre du point 0; de sorte qu'il y aura deux points E.

Ainsi, les quatre premiers points A, A' et B, B' étant donnés, l'involution pourra être complétée de deux manières par un cinquième point, q^ui sera considéré comme double.

Mais si l'on suppose que les deux premiers points A, A' soient placés de côtés différents, par rapport au point 0, il en sera de même des points B, B' et des points C, C' qui doivent compléter l'involution; ces deux derniers ne pourront donc jamais se confondre. Ainsi, dans ce cas, il n'y aura pas de points doubles : l'Analyse donnerait, pour leur construction, une expression imaginaire.

(15) Soient six points en involution A, A', B, B', C, C'. Que les deux premiers soient du même côté du point central 0; on pourra prendre, des deux côtés de ce point, deux points E, F, tels que

ÔË = ÔF = OA.OA'.

Cette double équation exprime que les deux points E, F sont conjugués harmoniques par rapport aux points A, A'.

Mais on a aussi

ÔË*=Ôf'=OB.OB';

les points E, F sont donc aussi conjugués harmoniques par rapport aux points B, B', et de même pour les autres points C, G'. D'où résulte cette propriété, déjà connue, de l'in-

volulion de six \)o\nls: il existe deux points qui sont conjugués harmoniques par rapport aux deux points de chacun des trois systèmes de l'involution. Ces deux points sont situés de part et d'autre et à égale distance du point central de l'involution. Mais ces points peuvent être imaginaires

(16) Il est aisé de voir que, quand les points B, B' seront situés sur le segment AA', ou entièrement au dehors de ce segment, les points E, F seront réels;

Au contraire, quand l'un des deux points B, B' sera sur le segment AA', et l'autre sur son prolongement, les points en question seront imaginaires.

En effet, dans le premier cas, le point 0, qui est toujours réel, sera évidemment en dehors des segments AA', BB', pour que l'équation OA.OA'=OB. OB' puisse avoir lieu; c'est-à-dire que les points A, A' seront placés du môme côté du point 0; et dès lors les points E, F seront réels.

Dans le second cas, le point 0 sera placé sur la partie commune aux deux segments AA', BB', et les deux points A, A' seront de côtés différents par rapport au point 0 : dès lors les deux points E, F seront imaginaires *.

(17) Les points E, F jouissent d'une autre propriété caractéristique, qui était démontrée par Apollonius dans son traité de seclione determinatâ, comme on le voit par les propositions 61, 62 et 64 du septième livre des Collections mathématiques de Pappus; c'est que chacun des rapports

EA.EÂ' FA. FA' EB.EB' FbTfÏÏ'

est un maximum ou un minimum. C'est-à-dire que si l'on prend un autre point quelconque m, le rapport

mk .m\' mB. ffjB'

atteindra son maximum ou son minimum quand le point m viendra se confondre avec l'un des points E, F qui sont conjugués harmoniques par rapport aux points A, A', et par rapport aux points B, B'.

(18) Deux systèmes de points A, A' et B, B', et leur point central 0, jouissent de la propriété suivante, démontrée par Pappus (propositions 45,46,... et 56 du livre septième des CoUections mathématiques) :

Si l'on prend sur la droite AB, ou sur son prolongement, un point quelconque m, on aura toujours la relation

mX.mX' — mB.mB' = (AB h- A'B').mO.

' M. Poncelet a présenté, d'une autre manière, cette discussion relative aux points E, F, en se servant de la consuucliou géonaétrlque propre à la déteiminatioii de ces points. ^Voir Traité des Propriétés projeclives, pag.201.)

iNOTKS. M^

En prenant les points milieux a, c des deux segments AA' et BB', on change cette relation en celle-ci :

mA.mA' — mB.mB' = iaî.mO.

(19) En supposant que le point m se confonde successivement avec A, A', B', B, on aura des relations particulières entre les cinq points A, A', B, B' et 0, qui ont été aussi démontrées par Pappus. (Propositions 41, 42 et 43.)