PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES
(20) La plus ancienne propriété géométrique de l'involution de six points se trouve dans Pappus (proposition 130 du septième livre), où l'on voit que, quand les côtés et les diagonales d'un quadrilatère sont rencontrés par une diagonale quelconque, en six points, A, A'; B, B'; et C, C, dont les deux premiers appartiennent à deux côtés opposés, les deux suivants aux deux autres côtés opposés, et enlin les deux derniers aux deux diagonales, on a, entre les segments formés par ces points, les équations (B).
11 résulte évidemment de cette proposition que, réciproquement, quand une des équations (B) a lieu, on peut faire passer, par les six points, les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère; et l'on conclut de là, par la proposition de Pappus, que les trois autres équations (B) ont lieu en vertu de la première.
Voilà comment, au moyen de la proposition géométrique de Pappus, on démontre cette propriété arithmétique de l'involution de six points, à savoir que l'une quelconque des équations (B) comporte les trois autres.
Et comme, en combinant ces équations entre elles, on en déduit immédiatement les équations (A), il se trouve aussi démontré, par la seule proposition de Pappus, que les six points oîi une transversale, menée arbitrairement dans le plan d'un quadrilatère, rencontre ses côtés et ses diagonales, ont entre eux les relations exprimées par les équations (A).
(21) La démonstration du théorème de Pappus est facile; mais, au moyen de ce que la relation d'involulion est projective, on peut sim|)lifier /cette démonstration, en projetant le quadrilatère de manière qu'il devienne un parallélogramme.
C'est ainsi qu'a fait M. Brianchon pour démontrer ce théorème, dans £on Mémoire sur les lignes du second ordre.
(22) il ne paraît pas que les relations (A), qui comprennent huit segments, aient été connues de Pappus. Car, parmi ses propositions sur le quadrilatère coupé par une- transversale, nous n'en trouvons qu'une qui se rapporte à ces relations; c'en est un cas particulier. La transversale est menée par le point de concours de deux côtés opposés, parallèlement à une diagonale (proposition 155). Les deux propositions qui précèdent celle-là pourraient aussi être considérées comme des cas particuliers des relations (A);
niais, comme elles viennent immédiatement après la proposition 130, dont elles sont aussi
des cas particuliers, nous devons les y rattacher, et les regarder comme des corollaires des relations (B) qu'exprime cette proposition 130.
(25) Les équations (A) ne paraissent pas remonter au delà de Desargues; c'est sous leur forme que ce géomètre a caractérisé V involnlion de six points, à l'occasion du beau théorème suivant, qui est devenu si fécond dans la Géométrie récente :
Un quadrilatère étant inscrit à une conique, les points où une transversale quelconque rencontre la conique et les quatre côtés du quadrilatère, sont en involution.
Il est extrêmement facile de démontrer ce théorème par de simples considérations de Géométrie *.
(24) Et l'on en conclut successivement les deux suivants, qui sont plus généraux : Quand deux coniques sont circonscrites à un quadrilatère, si l'on tire une transversale
quelconque qui rencontre ces courbes en quatre points, et deux côtés opposés du quadrilatère en deux autres points, ces six points seront en involution.
Quand trois coniques sont circonscrites à un même quadrilatère, une transversale quelconq\ie les rencontre en six points qui sont en involution.
Ces deux théorèmes sont, comme on le voit, une généralisation de celui de Desargues, qui s'en conclut comme corollaire. M. Sturm les a démontrés, le premier, par l'Analyse 2.
(25) Le dernier pourrait servir à démontrer les différentes propriétés de l'involution de six points, que nous avons appelées arithmétiques. Pour cela, on considérerait différentes autres coniques passant par les quatre mêmes points qne les trois premières, chacune d'elles pouvant être déterminée par une cinquième condition. Si l'on demande qu'une de ces coniques soit tangente à la transversale, on trouvera les points doubles; si l'on veut qu'une des coniques ait une asymptote parallèle à la transversale, on trouvera le point central; etc.
(26) Une propriété bien importante de l'involution de six points, c'est que; Si d'un point pris arbitrairement, on mène des droites à ces six points, les relations d'involution (A) et (B), qui ont lieu entre les segments compris entre les points, auront lieu aussi entre les sinus des angles formés par les six droites qui interceptent ces segments.
On a coutume de démontrer cette proposition, en exprimant les segments en fonction des sinus des angles qui les comprennent. Mais la théorie du rapport anharmonique de quatre points nous en fournit une démonstration plus simple. Car il suffit de remarquer que chacune de^ relations d'involution (A) et (B) est une égalité de deux rapports anharmoniques (ainsi que nous le ferons voir dans la seconde partie de cette Note). Ces rapports conservent les mêmes valeurs quand on y substitue, aux segments, les sinus des angles qui comprennent ces segments; par conséquent la relation d'involution a lieu entre les sinus des angles que les six droites font entre elles.
Réciproquement, quand une telle relation a lieu entre les sinus des angles que six
* Voir la Note XV.
* Annales de Malhématiques, lom. XVII, pag. 180.
droites, issues d'un même point, font entre elles, une transversale quelconque rencontre ces six droites en six points qui sont en invoiution. On dit que ces six droites forment un faisceau en invoiution.
(27) Telles sont les six tangentes menées, d'un même point, à trois coniques inscrites à un même quadrilatère.
(28) On peut regarder comme une des coniques, dont un axe est nul, la droite qui joint deux côtés opposés du quadrilatère; comme une seconde conique, la droite qui joint les deux autres sommets; et enfin comme une troisième conique, la droite qui joint les points de concours des côtés opposés. Et l'on conclut, du théorème général que nous venons d'énoncer, plusieurs corollaires, dont l'un est ce théorème :
Les six droites menées, d'un même points aux quatre sommets et aux deux points de concours des côtés opposés d'un quadrilatère, forment un faisceau en invoiution; de sorte que toute transversale rencontrera ces six droites en six points qui seront en invoiution.
(29) Nous ne trouvons, dans Pappus, qu'une proposition qui puisse se rattacher à ce théorème: c'est la 135* du septième livre. Il faut supposer que deux côtés du quadrilatère sont parallèles entre eux, et que la transversale leur sait parallèle et passe par le point de concours des deux autres côtés.
(30) La relation d'involution nous paraît devoir se présenter souvent dans plusieurs théories géométriques, particulièrement dans celle des coniques. Cependant on ne l'a guère considérée que dans le système de trois coniques inscrites ou circonscrites à un même quadrilatère, et dans les cas particuliers d'un tel système.
Nous montrerons, à la fin de la seconde partie de cette Note, que cette relation peut se présenter dans beaucoup d'autres circonstances.
SECONDE PARTIE
(31) Les propriétés de l'involution de six points, que nous venons d'exposer dans la première partie de cette Note, sont, croyons-nous, les seules qui soient connues, et encore nous ne savons si l'on avait remarqué expressément l'existence du point cen/ra/, et le rôle important qu'il joue dans cette théorie.
Mais l'involution de six points jouit de plusieurs autres propriétés, et peut être exprimée sous diverses formes, différentes des équations (A) et (B), et qui pourront être utiles dans diverses recherches géométriques.
La propriété la plus importante de cette relation d'involution, celle qui nous paraît être la source de toutes les autres, repose sur la notion du rapport anharmonique. Cette propriété capitale nous permet même de donner une nouvelle définition de l'involution de six points, définition qui comprend, en même temps, les deux sortes d'équations (A) et (B), et qui conduit naturellement a différentes autres expressions de l'involution de six points.
(32) Nous dirons que :
Six points, qui sont conjugués deux à deux, sont en involution quand quatre d'entre eux ont leur rapport anharmonique égal à celui de leurs conjugués.
Ainsi lés six points A, B, C, A', B', C, dont les trois A', B', C sont conjugués respectivement des trois premiers, sont en involution si le rapport anharmonique des quatre points A, B, C et C, est égal au rapport anharmonique de leurs conjugués, A', B', C et C; c'est-à-dire si l'on a l'une des trois équations :
CA C'A C'A' CA'
CB ' cb"" cF'' "cF'
CA BA C'A' B'A' CG''BC"" CX"'~Fc' CB AB C'B' A B' CC''ÂC'"""CC*TC'
ou
