CA.A'B'.BC' = CA'.AB.B'C

exprime, en même temps, trois égalités de rapports anharmoniques; savoir, entre les quatre points A, B, C, C et leurs correspondants A', B', C, C; entre les quatre points A, B, C, B' et leurs correspondants; et enfin entre les quatre points A, B', C, A' et leurs correspondants.

Chacune des autres équations (B) exprime pareillement une égalité de rapports anharmoniques entre trois couples différents de quatre points; et l'on reconnaît aussi que chacune des équations (A) exprime une égalité de rapports anharmoniijues entre deux couples de quatre points, On conclut de là que les six points A et A', B et B', C et C' étant en

involution, quatre quelconques d'entre eux, dont trois appartiennent aux trois systèmes, ont leur rapport anharmonique égal à celui des points correspondants.

(55) Nous disons que trois des quatre premiers points doivent appartenir aux trois systèmes; car autremenl,deux des six points n'entreraient pas dans l'équation résultant des deux rapports anharmoniques. Par exemple, si les quatre premiers points étaient A, B, A', B', leurs correspondants seraient A', B', A, B; et, en égalant le rapport anharmonique des quatre premiers à celui des quatre autres, on n'aurait pas une relation entre les six points proposés, puisque C et C' n'y entreraient pas. Mais l'équation qu'on obtient ainsi est identique. Nous pouvons donc énoncer d'une manière générale le théorème suivant :

Quand six points, qui se correspondent deux à deux, sont en involution, le rapport anharmonique de quatre quelconques d'entre eux est égal au rapport anharmonique des quatre points qui leur correspondent respectivement.

Ce théorème nous semble exprimer la propriété la plus féconde de la théorie de l'involution de six points; il conduit naturellement à différentes expressions de l'involution, que l'on n'a pas encore aperçues.

Nous allons les faire connaître.

(36) Nous avons vu, dans la Note précédente, que l'égalité des rapports anharmoniques de deux systèmes de quatre points peut s'exprimer, de trois manières, par une équation à trois termes; d'après cela on trouve que la condition d'involution de six points peut s'exprimer, de douze manières, par une équation à trois termes. Quatre de ces douze équations contiennent le segment AA', compris entre deux points conjugués, quatre contiennent le segment BB', et quatre enfin, le segment CC.

Voici quelles sont les quatre premières de ces douze équations :

AB.AC AB'.A'C