CB.CB
De ces huit équations, les quatre dernières, numérotées 1', 2', 3', 4', se déduisent respectivement des quatre premières, numérotées 1, 2, 3, 4, au moyen des équations (A).
Nous donnerons plus loin (45), la démonstration de ces huit équations.
(38) Voici une formule d'une autre forme, qui exprime l'involulion de six points, par une équation à quatre termes, entre six segments différents.
Soient a, 6, y, les points milieux des trois segments AA', BB', CC; supposons ces trois points placés dans l'ordre a, ê, y ; on aura la relation
aA .êy — 6B .ay -t- yC . a6 = aê.êy .■ya.
Cette équation est unique; c'est-à-dire qu'il n'en existe point une seconde qui ait la même forme.
Sa démonstration se déduira (46) d'une autre relation générale, que nous donnerons . ci-dessous.
(39) Quand les deux points C, C se confondent en un seul point E, la relation devient
Ta.Œ — 6B*.<xE = a6.aE.6E.
Si les deux points B, B' se confondent aussi en un seul F, il vient :
«A = aE.aF.
Ai
C'est une des formules qui expriment que les points A, A' sont conjugués harmoniques par rapport aux points E, F.
(40) On peut exprimer, comme on sait, la relation harmonique de quatre points, au moyen d'un cinquième point arbitraire, auquel on rapporte les quatre points proposés. Il est aussi une manière d'exprimer l'involution de six points en se servant d'un point auxiliaire, auquel on rapporte les six points proposés; et cette manière donne lieu à un nombre infini d'équations, dont une seule suffit pour exprimer l'involution.
Soient A et A', B et B', C et C les six points en involution, et m un septième point pris arbitrairement sur la droite à laquelle appartiennent les premiers; soient a, ê, y les points milieux des segments AA', BB', CC; supposant ces points placés dans l'ordre où nous les énonçons, on aura la relation
m A .mA'.&y — wîB.mB'.av -+- mC.mC'.aZ==0
Cette équation a lieu quelle que soit la position du point m.
En supposant que ce point se confonde successivement avec les points en involution, ou avec les points a, ê, y, ou avec divers autres points déterminés, on aura diverses relations qui exprimeront, toutes, l'involution de six points.
(41) La démonstration de l'équation (F) est facile. Nous allons faire voir que si cette équation a lieu pour une position du point m, elle aura lieu aussi pour une autre position quelconque de ce point; c'est-à-dire qu'en appelant M cette nouvelle position du point rn, on aura nécessairement
. MA.MA'.êr — MB.MB'.ar -*- MC.MC'.a6 = 0;
ensuite nous montrerons que l'équation (F) a effectivement lieu pour une certaine position du point m.
Pour déduire l'équation (F'') de l'équation (F), j'écris :
m A = MA — Mm, mk' = MA' — Mm , mk . mk' = MA . MA' — (MA -t- MA') Mm -+- Mm*
mA . mA' = MA . MA' — 2Ma . Mm -+- Mm' ,
ou
Pareillement :
mB.mB' = MB . MB' — 2Mg. Mm -4- Mm ,
et
mC.mC =MC.MC' — 2My.Mm -t- Mm .
L'équation (F) devient donc :
MA.MA'.Cr — MB.MB'.ar h- MC.MC. ay — 2 .Mm. (êr.Ma — ar .M6 -t- «6 . Mr) h- (6r — ar -t- ag) Mm = 0.
JNOTES. 325
Or, on a, entre les quatre points a, S, y, M, la relation
6y . Ma — ar • M6 -♦- a6. Mr = 0,
ainsi que nous l'avons démontré dans la Note IX (pag. 305); on a aussi, entre les points a, 6, y, la relation
6>' — ct-y -+- a6 = 0 ;
l'équation ci-dessus se réduit donc à l'équation (F'), qu'il s'agissait de démontrer.
Il reste à faire voir que l'équation (F) a lieu pour une certaine position particulière du point m. Supposons que m soit situé au point central de l'involulion de six points : on aura mk.mk' = mB.wïB' == mCmC; et l'équation deviendra
6y — ay -4- aê = 0 ,
équation identique.
Ainsi la formule (F), ou (F), qui lui est semblable, est démontrée.
(42) On peut remplacer, dans l'équation (F), les segments aê, ay, êy, par d'autres segments entre les seuls points A, A', B, B', C et C; car
BC -t- B'C AC -H AC AB + AB'
èy = , xy= , a6 =
(43) Supposons que, dans l'involution, les deux points C, C se confondent en un seul point E, et que les points B, B'se confondent en F; l'équation deviendra
(G) mA.mA'.EF — mF^.aE -H mE'.aF = 0.
Cette équation exprime une relation entre quatre points, A, A , E, F, dont les deux premiers sont conjugués harmoniques par rapport aux deux autres, et un cinquième point m pris arbitrairement.
En donnant à ce cinquième point différentes positions particulières, on aura différentes expressions de la relation harmonique de quatre points.
(44) L'équation (F) nous paraît être, jusqu'ici, l'expression la plus étendue et la plus féconde de l'involulion de six points; car on en conclut toutes les équations que nous avons données, et diverses autres qui conduisent à des expressions simples de plusieurs rapports de produits de segments, à considérer dans cette théorie.
Par exemple, en supposant que le point m se confonde avec le point A, on trouve cette expression très simple du rapport de AC.AC à AB.AB' :
