BC -V- B'C BA -+-B'A

Ajoutant, membre à membre, cette équation à la précédente, et observant que l'on a ay — ^y..^a!o, on obtient la première des huit équations (D).

(46) L'équation (E) se déduit aussi, très aisément, de l'équation (F).

En effet, on a entre les trois points a, ê, y, et un quatrième point quelconque m, la relation suivante, due à Matthieu Stewart :

ma. . fty — m6 . ay -\- my . a6 = aê . Sr . ■ya '

Retranchant, de cette équation, l'équaiion (F), il vient

fma — mA.mA'^êr — (f^'ê — mB.mB'^ar -+- [my — mC.mC'j a.& = x6 îy .yx.

ma — aA = (ma -4- a.A) {ma — aA) = m\ . mX' ;

Mais d'où

Pareillement

ma. — wjA . mA' = «A .

mS — înB.mB' = 6B, my — mC.mC'=yC L'équation ci-dessus devient donc

a\ . §y — 6B . ay -+- yC aê = «6 .Qy.ya.

(47) On conclut aussi, de l'équation (F), la propriété du point central, qui a été connue de Pappus (18). Pour cela, supposons le point C situé à l'infini, de sorte que le point C devienne le point central 0; et écrivons l'équation (F) sous la forme

ay mC

mA.mA — wjB.mB' v-mC.ay . = 0.

Le point y est aussi à l'inflni, et l'on a

mC

av 6C -4- êC mC

mC mC

•C'est le second des Some gênerai theorems^ etc. [Voir quatrième Époque, § 28.)

Or

donc

et l'équation devient Remplaçant c& par

êC êC

mk.mA' — mB. mB' -f- 2a6.mO == 0.

AB -f- A'B'

on a l'équation de Pappus.

(48) Si l'on suppose que les deux points B,B' se confondent en l'un des points doubles E, de l'involulion, celte équation deviendra

(H) mA.mA' — »3^V 2aE.wO = 0.

(49) Si les deux points A, A', se confondent avec le second point double F, il viendra

»ïF*— rnlV 2EF.mO = 0.

Cette équation exprime une relation entre trois points quelconques m, E, F, et le point milieu des deux derniers.

(50) f^a première des équations (D), et l'équation (H), donnent une démonstration du cas de maximum ou de minimum démontré par Apollonius, dont nous avons parlé (17). Car, d'après la première de ces deux équations, on voit que le rapport