AC.AC AB.AB

où A est supposé le point variable, sera un maximum ou un minimum quand le produit BA.BÂ' sera lui-même un minimum ou un maximum. Or, d'après l'équation (H), on a

BA.BA' = BË'— 2aE.B0.

Le produit BA.BA' sera donc un maximum (ou un minimum à cause des signes) quand le coefficient variable «E sera nul. Alors les deux points A, A' se confondront avec le point E; ce qui est la proposition d'Apollonius.

(51) On peut exprimer l'involution de six points par une équation où entrent deux points pris, l'un et l'autre, arbitrairement.

Soient m, n ces deux points; soient a le conjugué harmonique du point n par rapport à A et A' ; ê le conjugué harmonique de n par rapport à B et B'; et y le conjugué harmonique de n par rapport à C et C. On aura, quels que soient les deux points m et n, pris sur la droite où sont situés les points de l'involution, la relation

îwA.inA' mA.mB' mC.mC

(1) 6r . noc ay. ne ■* — — «6 . ny = 0.

^' wA.nA' «B.nB' nC.nC

Si l'on suppose le point n silué à l'infini, cette équation devient la formule (F). Cette remarque suffît pour montrer la légitimité de l'équation.

(52) Si le point m est placé au point central, on a mk.mk' = wïB.mB' = mC.»ïC', et la relation (l) devient

êy .na. cty . ne a&.ny

^' wA.nA' wB.nB' wCnC

Cette équation est d'une forme différente de l'équation (F), et exprime, comme celle-ci, l'involution de six points, au moyen d'un septième point pris arbitrairement.

(55) Nous avons dit (50) que la relation d'involution peut se présenter dans diverses spéculations où elle n'a peut-être pas encore été aperçue. Nous terminerons cette Note en citant plusieurs circonstances où cette relation a lieu :

1" Trois systèmes de deux diamètres conjugués d'une conique forment un faisceau en involution.

2° Quand trois cordes d'une conique passent par un même point, les droites menées d'un point quelconque de la courbe à leurs extrémités sont en involution.

5° Quand trois angles circonsc?its à une conique ont leurs sommets en ligne droite, leurs côtés rencontrent une tangente quelconque à la conique en six points qui sont en involution.

4° Quand quatre cordes d'une conique passent par un même point; si, par les extrémités des deux premières, on fait passer une conique quelconque, et par les extrémités des deux autres, une seconde conique quelconque, les quatre points d'intersection de ces deux nouvelles coniques seront, deux à deux, sur deux droites passant par le point de concours des quatre cordes; et ces deux droites et les quatre cordes formeront un faisceau en involution •.

Si les deux premières cordes se confondent, et que les deux autres se confondent aussi, la relation d'involution devient un rapport harmonique, et l'on a ce théorème :

Quand deux coniques ont un double contact avec une troisième conique, elles se coupent en quatre points situés, deux à deux, sur deux droites qui passent par le point d'intersection des deux cordes de contact; et ces deux droites sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux cordes de contact.

5° Par un point quelconque, pris dans le plan d'une conique, on peut mener deux droites rectangulaires, de manière que le pôle de l'une, pris par rapport à la conique, soit sur l'autre :

Six droites ainsi menées, par trois points pris arbitrairement dans le plan de la conique, rencontrent chacun des deux axes principaux de la courbe en six points qui sont en involution.

Le point central de l'involution est le centre de la courbe; et les deux points doubles

• J'ai démontré, dans la Correspondance polytechnique, la première partie de ce théorème. (Tom. III, p. 339.)

en sont les foyers. Ces deux points doubles sont réels sur le grand axe et imaginaires sur le petit.

Pour un point pris sur la conique, les deux droites rectangulaires, menées par ce point, sont la tangente et la normale.

Ce théorème est, comme on voit, une propriété générale des foyers des coniques, et fait voir comment il existe quatre foyers, dont deux sont imaginaires, mais jouissent de certaines propriétés qui leur sont corrmunes avec les deux foyers réels.

Nous retrouverons, dans les surfaces du second degré un théorème analogue à celui-là, qui nous permettra de caractériser certaines courbes jouant, dans ces surfaces, le même rôle que celui du foyer dans les coniques. [Voir la Note XXXJ.)

La relation d'involulion peut aussi se présenter dans des questions d'un ordre plus relevé que les précédentes. Ainsi :

6° Quand trois surfaces courbes quelconques, qui ont un point de contact, se coupent deux à deux en ce point, si l'on mène les tangentes, en ce point, aux deux branches de chacune des trois courbes d'intersection, ces six tangentes seront en involution.

7° Enfin : Quand, par une génératrice d'une surface réglée, on mène trois plans quelconques, chacun d'eux est tangent à la surface en un point, et lui est normal en un autre point ; on a ainsi six points qui sont en involution.

Chacun des théorèmes que nous venons d'énoncer est susceptible de plusieurs conséquences qui trouveront leur place ailleurs.

(54) Nous ne pouvons termmer celte Note sans faire mention d'une propriété curieuse du cercle, où six points, pris sur sa circonférence, ont entre eux des relations analogues à celles de six points en involution situés en ligne droite. Celte propriété est exprimée par le théorème suivant :

Quand trois droites, issues d'un même point, rencontrent une circonférence de cercle

aux points a, a' pour la première; b, b', pour la seconde et c, e', pour la troisième, on a la

relation :

sin. - ca.sm.-co sm. - c a.sm. -ca 2 2 2 2

sin.- cô.sin. - co sin. -co.sin .- c'6 2 2 2 2

On voit comment on formera deux autres relations semblables; de sorte qu'on aura, entre les six points a, a'\ 6, 6'; c, c', trois relalions analogues aux relations (A) de l'involution de six points en ligne droite.

Ajoutons qu'on aura pareillement, entre les six points, des relations analogues aux équations (B), aux équations (C) et aux équations (D).