ES E'S

où S désigne le point de concours des deux transversales, la conique se réduit à un point; c'est-à-dire <|ue la droite aa' passe toujours, dans toutes ses positions, par un même point.

C'est ce qui a lieu, par exemple, quand les points E, E' sont placés au point de concours S des deux transversales. De sorte que l'équation

Oa O'a'

h A - = lU.

Sa Sa

appartient à un point.

Nous reviendrons, dans un autre moment, sur le théurème qui fait le sujet de cette Note. Nous le considérerons alors comme une propriété des ligures homographiqu.es, et nous lui donnerons cet autre énoncé, qui est très propre à en montrer de nombreuses applications :

Quand deux droites, dans un plan, sont divisées homographiquemenl, les droites qui joignent, un à un, les points de division de la première aux points homologues de la seconde, enveloppent une conique tangente aux deux premières droites.

On peut remplacer, dans le théorème ci-dessus, le système des deux transversales fixes par une circonférence de cercle. On a alors ce théorème :

Etant donnés quatre points fixes quelconques 0, E, 0', E', sur une circonférence de cercle; si l'on prend sur cette circonférence deux points variables a, a', tels que l'on ait la relation

sm.-aO sm.-a'O'

sin. -aE sin. - a'E'

1 et p. étant deux constantes ;

La corde aa' enveloppera une conique ayant un double contact avec le cercle, et qui touchera la droite EE'.

Cette proposition, jointe aux deux qui nous ont déjà présenté de l'analogie avec le rapport anharmonique de quatre points et l'involution de six points, donne lieu à une théorie dans laquelle une foule de propriétés du système de deux lignes droites se trouvent transportées au cercle; et tout cela s'applique, par une transformation convenable, à une section conique arbitraire; ce qui offre une source nouvelle de propriétés de ces courbes.

Nous nous bornerons ici à faire remarquer qu'en prenant pour les points E, E', dans le théorème ci-dessus, les extrémités des diamètres qui passent par les deux points 0,0' respectivement, on donnera à l'équation cette forme plus simple :

tang. - aO -H A tang. - a 0 == p,

laquelle exprime un nouveau théorème.

Parmi les corollaires qui dérivent de ce théorème, on trouve cette propriété du cercle osculateur en un point d'une conique :

Étant mené le cercle osculateur en un point A d'une conique, toute tangente à cette courbe le rencontre en deux points tels que la différence des colangentes des demi-arcs compris entre ces points et le point A est constante.