EXCENTRIQUES

(46) « On peut décrire, dans un plan, une infinité de coniques qui aient pour foyers » communs deux points donnés; elles forment deux séries d'ellipses et d'hyperboles; » chaque ellipse coupe en quatre points, et à angle droit, chacune des hyperboles. »

Pareillement :

On peut former une infinité de surfaces du second degré, qui aient toutes pour conique excentrique commune une conique donnée ; toutes ces surfaces se partagent en trois groupes; dans le premier, ce sont des ellipsoïdes; dans le second, des hyperboloïdes à une nappe ; et dans le troisième, des hyperboloïdes à deux nappes ;

Deux surfaces quelconques, appartenant à deux groupes différents, se coupent partout à angle droit ; et leur ligne d'intersection est une ligne de courbure de chacune des deux surfaces;

Trois surfaces quelconques, appartenant respectivement aux trois groupes, se coupent en huit points ;

En chacun de ces points, les normales aux surfaces sont les axes principaux du cône qui a ce point pour sommet et qui passe par l'une des coniques excentriques communes aux trois surfaces ;

Et les deux génératrices de Vhyperboloïde à une nappe, en ce point, sont les deux lignes focales de ce cône.

(47) « Plusieurs coniques, décrites des mêmes foyers, jouissent de toutes les pro- T> priétés d'un système de coniques inscrites à un même quadrilatère : les côtés du ï quadrilatère sont imaginaires, mais deux de ses sommets opposés sont réels, ce sont » les deux foyers; et la droite qui joint ces deux points peut être considérée comme » l'une des coniques inscrites au quadrilatère. j>

Cette propriété capitale des coniques décrites des mêmes foyers, dont M. Poncelet a déjà fait usage, peut être la source d'un grand nombre de propriétés de ces courbes; et de ces propriétés peuvent se déduire, comme cas particuliers, celles des foyers par rapport à chaque conique.

Pareillement :

Plusieurs surfaces^ qui ont les mêmes coniques excentriques, peuvent être considérées comme étant toutes inscrites à une même surface développable ;

Cette surface est imaginaire ; et cependant deux de ses lignes de striction sont réelles ; ce sont les deux coniques excentriques communes aux surfaces ; les deux autres lignes de striC" tion sont imaginaires : l'une est la troisième conique excentrique des surfaces [située dans le plan du petit et du moyen axe principal), l'autre est à l'infini.

Ajoutons que :

Les deux lignes de striction réelles peuvent être regardées comme des surfaces dont un axe est nul, et qui appartiennent à la série des surfaces proposées.

(48) Ainsi :

Des surfaces du second degré qui ont les mêmes coniques cxcentticjues, et ces deux courbes, considérées comme des surfaces infiniment aplaties, jouissent de toutes les propriétés d'un système de surfaces du second degré, inscrites à une même surface développable.

Ce théorème nous paraît être le plus fécond et le plus important de toute la théorie des surfaces décrites des mêmes foyers. On en déduira aisément un grand nombre de propriétés de ces surfaces.

(49) Un tel système de surfaces s'est présenté déjà dans diverses questions, et notamment, ce qui est assez remarquable, dans des questions de Physique et de Mécanique; et l'on a été conduit ainsi à découvrir quelques-unes de leurs propriétés. Mais ces propriétés, peu nombreuses, sont restées isolées, sans qu'on ait cherché à les rattacher à quelque théorie relative aux surfaces du second degré en général, ni à quelque proposition fondamentale, comme celle que nous avons énoncée en dernier lieu.

(50) Les théorèmes suivants sont des conséquences de cette proposition :

Quand plusieurs surfaces du second degré ont mêmes coniques excentriques ; si l'on mène un plan transversal quelconque, qui les rencontre suivant des coniques, et que ces courbes soient prises pour les lignes de contact d'autant de cônes circonscrits à ces surfaces respectivement, tous ces cônes auront leurs sommets sur une même droite, perpendiculaire au plan transversal.

Ou, en d'autres termes, et plus généralement :

Les pôles du plan transversal, pris par rapport aux surfaces, sont situés sur une même perpendiculaire à ce plan.

(5i) Comme les deux coniques excentriques des surfaces peuvent être regardées ellesmêmes comme deux surfaces infiniment aplaties, on en conclut cette propriété particulière de ces deux courbes :

Étant données les deux coniques excentriques d'une surface du second degré ; si l'on mène un plan transversal quelconque, et qu'on prenne, par rapport à chaque conique, le pôle de la trace de ce plan sur celui de cette courbe, la droite qui joindra ces deux pôles sera perpendiculaire au plan transversal.

Et si ce plan transversal est tangent en un point de la surface du second degré, cette droite sera la normale à la surface, en ce point.

(52) Quand plusieurs surfaces du second degré ont les ïnêmes coniques excentriques ; si, par une droite quelconque de l'espace, on leur mène des plans tangents, les normales à ces surfaces, menées par leurs points de contact avec ces plans, formeront un paraboloïde hyperbolique.

(53) Si la droite par laquelle sont menés les plans tangents est normale à l'une des surfaces, le paraboloïde deviendra une conique; et les points de contact des plans tangents aux surfaces seront sur une courbe plane, du quatrième degré.

Et si la droite est située d'une manière quelconque dans un des plans principaux des surfaces, les points de contact des plans tangents menés par cette droite seront sur une circonférence de cercle.

(54) Quand plusieurs surfaces ont mêmes coniques excentriques ; si un point quelconque de l'espace est regardé comme le sommet commun d'autant de cônes circonscrits à ces surfaces, les plans des courbes de contact envelopperont une surface développable, qui jouira de la propriété que chacun de ses plans tangents la coupera suivant une conique; les trois plans principaux des surfaces, et les trois plans principaux communs aux cônes qui leur seront circonscrits (52), seront des plans tangents de cette développable;

Cette surface est du quatrième degré, et son arête de rebroussement est la courbe à double courbure, du troisième degré.

(55) Quand plusieurs surfaces ont mêmes coniques excentriques ; si, d'un point quelconque de l'espace, on abaisse des normales sur ces surfaces :

1° Ces normales formeront un cône du second degré;

2° Les plans tangents aux surfaces, menés par les pieds des normales, formeront une développable du quatrième degré.

(56) Quand plusieurs surfaces ont les mêmes coniques excentriques ; si, d'un point pris dans l'un de leurs plans principaux, on abaisse des normales sur ces surfaces :

1» Toutes ces normales seront situées dans deux plans, dont l'un sera le plan principal, et l'autre sera perpendiculaire à ce plan principal;

2° Les pieds des normales comprises dans le plan principal seront sur une courbe du troisième degré, qui est celle que M. Queteleta appelée focale à nœud * ;

3» Les pieds des normales comprises dans le second plan sont sur une circonférence de cercle, qui a pour diamètre la perpendiculaire abaissée du point fixe sur la polaire de ce point, prise par rapport à la conique excentrique située dans le plan principal où ce point est placé ;

4° Enfin les plans tangents aux surfaces, menés par les pieds des premières normales, enveloppent un cylindre parabolique ; et les plans tangents, menés par les pieds des autres normales, passent tous par une même droite, située dans le plan principal.

Si l'on conçoit, menée par le point fixe, une conique concentrique, semblable et semblablement placée à la conique excentrique, le plan dans lequel sont les secondes normales sera normal à cette conique.

* M Quetelet a trouvé celle courbe comme lieu géométrique des sections faites dans un cône droit, par des plans menés par une même droite, tangente au cône et perpendiculaire à l'une de ses arêtes.

(57) Quand plusieurs surfaces ont les mêmes coniques excentriques ; si on leur mène des normales parallèles entre elles, leurs pieds seront sur une hyperbole êquilatère, dont une asymptote sera parallèle aux normales.

(58) Quand plusieurs surfaces ont les mêmes coniques excentriques; si l'on mène un plan transversal quelconque, et qu'on cherche toutes les normales aux surfaces, contenues dans ce plan :

i ° Ces normales envelopperont une conique ;

2" Les plans tangents aux surfaces, menés par les pieds des normales, passeront tous par une même droite;

5" Les pieds des normales, sur les surfaces, formeront une courbe du troisième degré, qui sera la focale à nœud.

(59) On sait que le sommet d'un angle droit, dont les deux côtés roulent sur deux coniques décrites des mêmes foyers, engendre une circonférence de cercle.

Pareillement :

Quand trois plans rectangidaires sont tangents respectivement à trois surfaces du second degré, qui ont les mêmes coniques excentriques, le point d'intersection de ces trois plans se trouve sur une sphère.

Celle propriété de trois surfaces, dont les sections principales sont décrites des mêmes foyers, a déjà été démontrée analytiquement par M. Bobillier [Ann. de Mathématiques, tom. XIX, pag. 329).

(60) Les théorèmes que nous venons d'énoncer dans celle Note sont les plus importants de ceux auxquels nous sommes parvenu dans la théorie des coniques excentriques des surfaces du deuxième degré. Il nous resterait maintenant à montrer que cette théorie nouvelle sera un élément utile dans la Géométrie rationnelle; mais cette Noie étant déjà trop longue, nous nous bornerons ici à citer, parmi les questions où l'on fera un usage utile de celle théorie, les trois suivantes, dans chacune desquelles on parvient sans peine à une foule de propositions diverses :

1° La dislribulion, dans l'espace, des axes principaux et des lignes focales de tous les cônes qu'on peut faire passer par une même conique, ou bien circonscrire à une même surface du deuxième degré;

2° La distribution, dans l'espace, des axes principaux de tous les ellipsoïdes qui ont leurs centres en différents points de l'espace, et dont trois diamètres conjugués aboutissent à trois points fixes ;

5° Enfin, la distribution, dans l'espace, de tous les axes permanents de rotation d'un corps solide; et les valeurs des moments d'inertie du corps, par rapport à ces axes.