Troisième partie. — Propositions sur le quadrilatère

1° La demi-somme des côtés est écrite quatre fois; on en retranche séparément les côtés, et l'on fait le produit des restes. La racine carrée de ce produit est l'aire, inexacte dans le quadrilatère, mais reconnue exacte dans le triangle; §§ 167, 168.

C'est la formule de Brahmegupta, que Bhascara a copiée, sans l'avoir comprise, et sans avoir aperçu qu'il y était question de quadrilatère inscrit au cercle. Voilà pourquoi il dit que la règle est inexacte pour le quadrilatère; et qu'il prouve ensuite qu'il est absurde de demander l'aire d'un quadrilatère dont on ne connaît que les côtés, parce que avec les mêmes côtés, dit-il, on peut former plusieurs quadrilatères différents *; §§ 169-170, 171, 172.

2° Dans le quadrilatère équilatéral, ou losange, l'aire est égale à la moitié du produit des deux diagonales. L'aire du rectangle est le produit de la base par la hauteur; § 174.

supérieure du rectangle retranche, du triangle, un petit triangle qui est divisé, par la perpendiculaire, en deux triangles rectangles. Ceux-ci sont égaux, respectivement, aux deux triangles qu'il faut ajouter à la portion inférieure du triangle proposé, pour compléter le rectangle. D'oîi il conclut que l'aire du triangle est égale à celle du rectangle, et, conséquemment, égale au produit de la base par la moitié de la perpendiculaire.

Cette démonstration est très simple et parle aux yeux autant qu'à l'esprit. C'est celle qu'emploient les Arabes, et qui a été adoptée à la Renaissance, particulièrement par Lucss di Borgo et Tartalea.

* Le scoliaste Syryadasa, auteur de deux commentaires excellents sur le Lilavati et le Bija-Ganita (Colebrooke; Brahmegupta and Bhascara, Algebra, pag. xxvi), ne paraît pas avoir été plus habile que Bhascara, dans l'intelligence de la proposition de Brahmegupta. Car il donne cette singulière raison pour prouver que l'aire est exacte dans le triangle et inexacte dans le quadrilatère :

« Si les trois restes sont additionnés ensemble, leur somme est égale à la inoilié de la somme de tous les côtés. Le produit de la multiplication continue des trois restes, étant multiplié par la somme de ces restes, le produit ainsi obtenu est égal au produit du carré de la perpendiculaire multiplié par le carré de la moitié de la base. C'est une quantité carrée, car un carré multiplié par un carré, donne un carré. La racine carrée étant extraite, le résultat est le produit de la perpendiculaire par la moitié de la base, et c'est l'aire du triangle. Donc la véritable aire est ainsi trouvée. Dans un quadrilatère, le produit de la multiplication ne donne pas une quantité carrée, mais une irrationnelle. Sa racine approximative est l'aire de la figure ; non pas toutefois la véritable, car, divisée par la perpendiculaire, elle devrait donner la moitié de la somme de la base et de la corauste. » (Lilavati, pag. 72.)

i\0TE8. U9

3° Dans le quadrilatère dont les deux perpendiculaires sont égales, Taire est le produit de la demi-soname des deux bases par la perpendiculaire; §§ 175, 177.

4° Dans le losange, la somme des carrés des deux diagonales est égale à quatre fois le carré du côté; §§ 175-175.

5° Formules qui donnent les segments que les diagonales d'un quadrilatère, dont les flancs sont perpendiculaires sur la base, font l'une sur l'autre par leur point d'intersec- (ion; et expression de la perpendiculaire abaissée de ce point sur la base; §§ 159, 160.

6" Connaissant les côtés d'un quadrilatère et l'une de ses diagonales, trouver l'autre diagonale, les perpendiculaires du quadrilatère et son aire; §§ 178, ... 184.

L'aire est la somme des aires des deux triangles qui ont pour base la diagonale connue; §184.

Les propositions où les différentes parties de cette question sont résolues ne présentent aucune difficulté. Elles reposent sur le principe de la proportionnalité des côtés dans les triangles équiangles.

7" Règle pour former, avec quatre côtés donnés, un quadrilatère qui ait ses deux perpendiculaires égales; § 185-186.

8° Règle pour trouver les diagonales d'un quadrilatère ;§ 190.

C'est la règle donnée au paragraphe 28 de Brahmegupta, pour le quadrilatère inscrit au cercle. Mais elle ne s'applique point, dans l'ouvrage de Bhascara, à un quadrilatère inscriptible quelconque, parce que ce géomètre n'a jamais prononcé le mot cercle dans aucune de ses propositions relatives au triangle ou au quadrilatère, et qu'il a ignoré absolument que les propositions de Brahmegupta concernassent le quadrilatère inscrit.

On reconnaît que la règle énoncée par Bhascara concernait seulement, dans l'esprit de ce géomètre, le quadrilatère à diagonales rectangulaires, formé au moyen de deux triangles rectangles générateurs^ comme nous l'avons dit dans nos observations à la suite du paragraphe 38 de Brahmegupta. Cela est confirmé par la règle plus simple, et propre uniquement à ce cas particulier, que Bhascara substitue à la règle générale, dans son paragraphe 191-192.

Une autre observation de Bhascara prouve encore bien clairement qu'il a ignoré qu'il fût question, dans Brahmegupta, du quadrilatère inscriptible au cercle; c'est qu'il lui reproche d'avoir donné une règle générale pour déterminer des diagonales qui, dit-il, étaient indéterminées. Voici tout ce passage de Bhascara :

« §§ 187-189. Les côtés ont pour mesure 52 et 39 •; la corauste est égale à 25 el » la base à 60. Ces nombres ont été pris, par les anciens auteurs, comme exemple d'une > ligure ayant ses perpendiculaires inégales; et les mesures précises des diagonales ont » été trouvées 56 et 63.

* Remarquons ici, en passant, que Bhascara, pour exprimer 39, procède par soustraction, à la manière des Latins ; il dit : 40 moins 1 {one lesse than fort;/). Mais il paraît que ce mode de composition des nombres n'est pas général dans l'Inde. Chalurveda ne le suit pas; il prononce toujours trente-neuf (thirthy-nine). Voir ses commenlîiires sur les §§ 21 el 32 de Brahmegupta.)

4o0 WOÏES.

i> Former, avec ces quatre mêmes côtés, un autre quadrilatère qui ait d'autres diago- » nales, et particulièrement celui qui aura ses perpendiculaires égales. »

Bhascara résout cette question; puis il ajoute :

» Ainsi, avec les mêmes côtés, il peut y avoir différentes diagonales dans le létragone. B Quoique indéterminées, les diagonales ont cependant été trouvées comme déterminées j> par Brahmegupta et d'autres. Leur règle est la suivante :

B § 190. Règle. Les sommes des produits des côtés aboutissant aux extrémités des » diagonales étant divisées l'une par l'autre, et multipliées par la somme des produits des » côtés opposés, les racines carrées des résultats seront les diagonales dans le trapèze.

» L'objection qu'on peut faire contre ce moyen de trouver les diagonales, c'est qu'il » est long, comme je vais le faire voir en proposant une méthode plus courte.

» §§ 191-192. Règle. Les cathètes et les côtés de deux triangles rectangles, multipliés » réciproquement par les hypoténuses, sont les côtés; et de cette manière est formé un » trapèze dans lequel les diagonales peuvent se déduire des deux triangles.

j> Le produit des cathètes, ajouté au produit des côtés, est une diagonale; la somme » des produits des cathètes et des côtés, multipliés réciproquement, est l'autre diagonale.

V Quand celte courte méthode se présentait, je ne sais pourquoi une règle laborieuse » a été employée par les premiers écrivains. »

Bhascara ajoute que : « Si la corauste et l'un des flancs changent de place, l'une des j> diagonales deviendra égale au produit des hypoténuses des deux triangles rectangles. »

Nous devons conclure, de ce passage, que Bhascara n'a pas compris les propositions de Brahmegupta qu'il reprend. Celui-ci, comme nous l'avons déjà dit, n'a pas énoncé les formules, données au paragraphe 191-192 de Bhascara, parce qu'elles n'étaient, dans son esprit, qu'une simple vérification de la rationalité des diagonales, et non pas le sujet d'une proposition.

Bhascara remarque qu'en changeant de place deux côtés conligus du quadrilatère, on en forme un second, où l'une des diagonales est différente, et a pour expression le produit des hypoténuses des deux triangles générateurs. Cela est vrai; mais Bhascara ne dit pas plus, pour ce second quadrilatère que pour le premier, quelles seront ses propriétés, qui avaient été l'objet de l'ouvrage de Brahmegupta. 11 ne remarque pas non plus que ce nouveau quadrilatère a deux angles droits.

9° Calcul des segments que les diagonales et les perpendiculaires d'un quadrilatère, et les côtés prolongés, font les uns sur les autres; §§ 193-194, 195-196, 197, 198-200.

On suppose connus les côtés, les diagonales et les perpendiculaires.

Tous ces calculs sont sans difficullé; ils reposent sur le principe de la proportionnalité des côtés dans les triangles équiangles.

Telles sont les propositions sur le quadrilatère. Elles forment, avec celles qui concernent le triangle, la partie de l'ouvrage de Bhascara qui correspond aux dix-huit premiers paragraphes de celui de Brahmegupta. Avant de passer aux autres propositions de Bhascara, nous allons faire ressortir les différences que ces premières ont avec celles de Brahmegupta, dont elles ne sont qu'une imitation.

NOTES. JLM

Ces différences portent sur les points suivants :

i" Toutes les propositions de Bhascara sont étrangères au cercle, dont il est question formellement dans l'énoncé des paragraphes 26 et 27 de Brahmegupta, et qui joue le rôle principal dans plusieurs autres propositions;

2° La formule pour l'aire du quadrilatère (inscrit au cercle), donnée par Brahmegupta, est déclarée inexacte par Bhascara;

3° L'expression générale des diagonales du quadrilatère inscrit, donnée par Brahmegupta, est censurée par Bhascara, comme étant d'un calcul pénible, et est regardée par lui comme n'étant applicable qu'à un quadrilatère d'une construction particulière;

4° Plusieurs propositions de Brahmegupta ne se trouvent point dans l'ouvrage de Bhascara. Telles sont les suivantes :

Première : L'expression du diamètre du cercle circonscrit à un triangle ou à un quadrilatère;

Deuxième : L'expression particulière du diamètre du cercle circonscrit à un quadrilatère ayant ses diagonales rectangulaires;

Troisième : La propriété de ce quadrilatère, qui consiste en ce que la perpendiculaire sur l'un de ses côtés, menée par le point d'intersection des deux diagonales, passe par le milieu du côté opposé;

Quatrième : La manière de former un triangle, isoscèle ou scalène, dont les côtés et la perpendiculaire soient des nombres rationnels ;

Cinquième : La manière de former un quadrilatère inscriplible au cercle, dont deux côtés opposés, ou bien trois côtés, soient égaux, et dont toutes les parties, ainsi que le diamètre du cercle, soient rationnels.

L'absence de ces dernières propositions (quatrième et cinquième) dans l'ouvrage de Bhascara, prouve que ce géomètre n'a point eu en vue, comme Brahmegupta, de résoudre la question de construire un quadrilatère inscriptible au cercle, et dont toutes les parties soient rationnelles.

Enfln nous devons dire que l'ouvrage de Bhascara contient quelques propositions sur le triangle rectangle, qui ne se trouvent pas dans celui de Brahmegupta, et qui, en effet, y eussent été étrangères à la théorie qui est l'objet de cet ouvrage.

En résumé : l'ouvrage de Brahmegupta résolvait complètement, et avec précision, la question de construire un quadrilatère inscriptible au cercle, dont toutes les parties fussent rationnelles. Aucune proposition n'était étrangère à cette question, ni inutile pour sa solution.

Celui de Bhascara n'a point un objet unique. On peut le diviser en trois parties principales, indépendantes les unes des autres.

Dans la première, on donne l'expression de la perpendiculaire dans un triangle, et la formule pour le calcul de l'aire de cette figure, en fonction des trois côtés;

Dans la deuxième, on traite de la construction d'un triangle rectangle en nombres rationnels, et de quelques questions sur le triangle rectangle;

Dans la troisième, l'auteur calcule différentes lignes dans un quadrilatère quelconque, dont on connaît les quatre côtés et une diagonale.

H y a donc des différences nombreuses et tranchées entre les deux ouvrages. Malgré ces différences, nous devons reconnaître que le plus récent n'est qu'une imitation ou une copie du premier; copie imparfaite et défigurée, qui prouve évidemment que Bhascara n'a pas compris l'ouvrage de Brahmegupta.

Les notes de divers scoliastes, qui accompagnent le texte du Lilavali, nous montrent que ces écrivains n'ont pas été plus heureux que Bhascara, et qu'ils n'ont pas eu non plus l'intelligence des propositions de Brahmegupta.

Mais les propositions qu'il nous reste à citer, du chapitre VI du Lilavati, ont beaucoup plus de valeur que celles qui leur correspondent dans le Traité de Brahmegupta. Nous allons en présenter les principales, où l'on aura à remarquer surtout une expression très approchée du rapport de la circonférence au diamètre, et une formule très simple pour le calcul approximatif d'une corde, en fonction de son arc.

§ 201. a Le diamètre du cercle étant D, l'expression D. ^^g^ est à peu près la circon- » férence; D. ~ est l'approximation employée dans la pratique. »

Ces deux expressions ne se trouvent pas dans l'ouvrage de Brahmegupta. Le rapport y est celui d'Archimède. Le premier, p|J, est plus exact; car il est égal à 3,141 60, et l'on a y= 3 142 8571 .... Pour obtenir une plus grande approximation il faut se servir du rapport 5,141 5926....

L'approximation des Indiens * est remarquable surtout à cause du petit nombre de chiffres qui y entrent. Toutefois le rapport d'Adrien Metius, §|= 3,141 592 92...., est préférable.

§ 205. « Règle. Le quart du diamètre, multiplié par la circonférence, est l'aire du » cercle. Cette aire, multipliée par 4, est la surface de la sphère. Celle surface, multipliée » par le diamètre et divisée par 6, est la valeur précise du volume de la sphère. »

§§ 205-206. « Règle. Soit D le diamètre du cercle; D^H^ est l'aire du cercle, d'une » manière assez rapprochée; D'^|Jest sa mesure grossière, employée dans la pratique; » Y + ^î 1" ^st la mesure du volume de la sphère. »

Ces deux dernières expressions résultent du rapport d'Archimède; car on a

ï4~T'y' "2 "* 27' T^yy *

§206-207. Ce sont les relations entre la corde, sa flèche. et le diamètre du cercle, données par Brahmegupta; §§41 et 42.

* Le rapport —- ne doit pas être attribué à Bhascara: il est beaucoup plus ancien que ce géomètre. On le

trouve, sous la forme ^rrrr, , dans l'Algèbre de Mohammed ben Musa, qui, après avoir donné les deux rap-

Î2 /■ — ■ zuuuu 62833

ports- et y 10, dit que les Astronomes se servent d'un troisième, qui est——. {Voir p. 71 de la traduction de M. Frédéric Rosen.)

D'après cela on peut se demander si ce rapport appartient aux Indiens ou aux Arabes. M Rosen et M, Libri pensent qu'il est d'origine indienne. (Voir Mohammed ben Musa, Algehra transtated hy F. Rosen, p. 199 ; et Histoire des sciences mathématiques en Italie, pag. 128.) Ce rapport est connu en Europe depuis longtemps. Purbach en parle dans son Traité de la construction des sinus, et Stevin dans sa Géographie.

§§ 209-211 et 212. « Dans le cercle dont le fliamèlre est 2 000, les côtés du triangle » équilaléral inscrit, et des autres polygones réguliers, sont: pour le triangle, 1 1^^^; pour » le tétragone, 1414 ^; pour le pentagone, i 175 ^^J; pour l'hexagone, 1000; pour Thepta- » gone, S67^; pour l'octogone, 765^; et, pour le nonagone, 683^. »

L'auteur ajoute : « De différents autres diamètres, on déduira d'autres côtés, comme » nous le montrerons sous le tilre de construction des sinus, dans le Traité sur les » sphériques.

» La règle suivante enseigne une méthode expédilive pour trouver les cordes, par une j) approximation grossière. »

§ 213. Soient : c la circonférence, o l'arc, D le diamètre et C la corde; on aura

4Da (c — a)

Cette formule approximative est très curieuse ; il serait intéressant de savoir comment les Indiens y sont parvenus. M. Servois l'a obtenue en prenant la formule qui donne, en série, le sinus d'un arc en fonction de cet arc. (Voir Correspondance sur l'École polytechnique, tom. III, 3^ Cahier.)

§ 214. Exemple. Le diamètre étant 240, les cordes des arcs de 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160 et 180 degrés, seront 42, 82, 120, 154, 184, 208, 226, 236 et 240.

§ 215. Formule qui donne l'arc a, en fonction de la corde C, de la circonférence c et du diamètre D :

On tire cette formule de celle du parapraphe 213, en résolvant une équation littérale, du second degré.

Les chapitres VII, VIII, IX et X ne contiennent rien de plus que ceux auxquels ils correspondent, dans l'ouvrage de Brahmegupta.

Le chapitre XI a pour objet le calcul des distances par l'ombre du gnomon. On y trouve les questions traitées par Brahmegupta, et, de plus, celle-ci : un gnomon étant éclairé par deux points lumineux différents, si l'on connaît la différence des ombres et la différence de leurs hypoténuses, on saura déterminer les ombres.

Cela se réduit à ce problème :

Connaissant la perpendiculaire d'un triangle, la différence des segments qu'elle fait sur la base, et la différence des deux autres côtés, construire le triangle.

iU

Soient : h la hauteur, ou perpendiculaire du triangle; à la différence des segments; d la différence des côtés; les segments seront égaux à

ih"

C'est la formule de Bhascara.

On trouve, dans le Bija-Ganita, plusieurs questions de Géométrie résolues par le calcul, et plusieurs règles d'Algèbre démontrées par la Géométrie. Toutes ces questions sont traitées avec une précision et une élégance bien remarquables.

Dans quelques-unes, qui pouvaient être résolues de plusieurs manières, c'est la solution la plus simple que l'auteur a choisie : on croit lire un passage de y Arithmétique universelle, où Newton donne des préceptes si judicieux sur le choix des inconnues.

Ainsi, ayant à trouver la base d'un triangle scalène dont les côtés sont 13 et 5, et l'aire 4, Bhascara observe que « si l'on prend pour l'inconnue la base cherchée, on j> tombe sur une équation quadratique. Mais si l'on cherche la perpendiculaire abaissée » sur l'un des côtés donnés, du sommet opposé, et les segments faits sur ce côté, on en » déduit, par une simple extraction de racine carrée, la base cherchée. Elle est 4. » {Bija-Ganita, § 117).

Bhascara donne deux démonstrations du carré de l'hypoténuse. La première consiste à chercher, par une proportion, l'expression des segments faits sur l'hypoténuse par la perpendiculaire, et à ajouter ensemble ces deux segments. C'est la démonstration employée par Wallis. (De sectionibus angularibus, cap. VI.)

La seconde est tout à fait d'origine indienne; elle est fort remarquable. Sur les côtés d'un carré, Bhascara construit intérieurement quatre triangles rectangles égaux entre eux, ayant pour hypoténuses ces côtés, et il dit : voyez. En effet, la vue de la figure suffit pour montrer que l'aire du carré égale les aires de quatre triangles (ou quatre fois l'aire de l'un d'eux), plus l'aire d'un petit carré qui a pour côté la différence des deux côtés de l'angle droit de l'un des quatre triangles. C'est-à-dire que l'on a, en appelant c l'hypoténuse d'un des triangles et a, 6 ses deux autres côtés :

ou

ce qui est la proposition qu'il fallait démontrer. {Bija-Ganita, Les formules d'Analyse :

{a + bf — (a' -t- 6') = 2a6, (a -4- bf — J^ab ={a— b)\

sont démontrées par des figures qui parlent aux yeux et à l'esprit, sans qu'il soit besoin d'aucune explication (§ 147, 149 et 150).

rvOTES. 455

Pour la résolution, en nonabres rationnels, de l'équation indéterminée du second degré,

OX -t- 61/ -f- C = XI/ ,

Bhascara fait voir, par une figure qui donne une signification géométrique à celle équation, qu'elle peut se transformer en celle-ci

{x — b) {y — a) = ab ■*- c.

D'où il conclut qu'on peut prendre, pour les valeurs rationnelles de x et de y :

n étant un nombre arbitraire.

Bhascara appelle celte démonstration géométrique. Il en donne ensuite une purement a/^é6n>e(§§ 212-214).

Plusieurs questions de Géométrie sont résolues dans le Bija-Ganita, comme application des règles d'Algèbre. Quelques-unes dépendent d'équations indéterminées du second degré. Telles sont ces deux-ci : « Trouver (en nombres rationnels) les côtés du triangle » rectangle dont l'aire est exprimée par le même nombre que l'hypoténuse, ou bien est » égale au produit des trois côtés, d (§ J20.)

Dans le premier cas, les côtés du triangle sont g-, -g et -^; dans le second, ils sont ^^ Aetl. Bhascara ajoute qu'on peut trouver d'autres solutions *.

Ces détails montrent que les Indiens, du temps de Bhascara du moins, appliquaient l'Algèbre à la Géométrie, et la Géométrie à l'Algèbre. Nous ne trouvons pas les mêmes traces d'une alliance aussi intime entre ces deux sciences, dans l'ouvrage de Brahmegupta. C'est probablement parce qu'il est écrit beaucoup plus succinctement que celui de Bhascara, qu'il contient beaucoup moins d'exemples des règles algébriques, et qu'il n'en donne jamais aucune sorte de démonstration. Mais nous devons penser que cette application de l'Algèbre à la Géométrie, qui donne aux ouvrages de Bhascara un caractère'particulier, date d'un temps bien antérieur à cet écrivain, d'autant plus qu'elle a fait aussi le caractère des ouvrages arabes, plusieurs siècles avant l'âge de Bhascara, au temps, par exemple, de Mohammed ben Musa (IX* siècle). Les Arabes n'ont pu puiser que chez les Indiens cette manière de procéder en Malhémalhiques, qui n'était point pratiquée par les Grecs.

Nous avons rejeté l'idée que les ouvrages indiens nous présentassent des Éléments de

• Les deux problèmes dépendent, respectivement, des équations :

x*y* = 4 (Jj' -H y*),

456 JNOÏES.

Géométrie, de même qu'ils nous offrent des Traités d'Arithmétique el d'Algèbre. Nous croyons avoir démontré, en effet, que tel ne pouvait avoir été l'objet de l'ouvrage de Brahmegupta, qui roule sur une seule question de Géométrie. Mais nous ne pouvons en dire autant de l'ouvrage de Bhascara; et nous consentons à y voir le résumé des connaissances géométriques en circulation, dans les temps modernes, chez le peuple indien. La manière dont l'auteur a défiguré l'ouvrage de Brahmegupta pour former le sien, et les notes des divers scoliastes, dont aucun ne l'a repris, nous prouvent que la science a singulièrement décliné chez les Indiens, et qu'ils n'ont plus de véritable Traité de Géométrie.

Nous ne saurions nous prononcer de même sur l'état de la science au temps de Brahmegupta. Les documents nous manquent; et nous ne pourrions dire si l'intelligence et le génie mathématiques de cet écrivain et de ses contemporains étaient bien à la hauteur des ouvrages, si parfaits et si remarquables, qu'il nous a transmis; ou bien si ces ouvrages ne seraient pas eux-mêmes, comme ceux des écrivains postérieurs, de simples fragments d'un savoir véritable et très ancien, qui auraient échappé à la destruction des temps et qui n'auraient point encore perdu, dans le siècle de Brahmegupta, leur perfection el leur pureté primitives. Le célèbre Hollandais Stevin, qui admettait un siècle sage « où les » hommes ont eu une connaissance admirable des sciences, » siècle qui avait précédé celui des Grecs et qui ne lui avait transmis qu'une faible partie seulement de son savoir antique S Stevin, disons-nous, et notre illustre Bailly 2 ne balanceraient point à se prononcer dans cette question, à la vue des ouvrages si étonnants de Brahmegupta.

Pour nous, qui n'avons point à aborder ici une si haute question historique, nous nous bornerons à appeler, sur la partie géométrique des ouvrages de Brahmegupta et de Bhascara, qu'on avait négligée jusqu'ici, l'attention des savants orientalistes, et des érudits qui s'occupent de l'histoire de l'Inde et de la marche de la civilisation humaine. Cette partie géométrique pourra leur procurer quelques documents et quelques aperçus utiles.