SUR LA GEOMETRIE DES LATINS

Nous continuerions, pour ainsi dire, le même sujet, en passant de la Géométrie des Indiens à celle des Arabes. Mais, comme ce que nous aurons à dire de celle-ci, se liera plus naturellement encore avec les premiers travaux des géomètres européens, à la renaissance des lettres, où nous verrons l'élément arabe non moins répandu et non moins influent

• Œuvres malhématiques de Simon Stevin ; in-fol , Leyde, 1634. Géographie; définition VI, pag. 106.

* > Ces méthodes savantes, pratiquées par des ignorants, ces systèmes, ces idées philosophiques, dans des » têtes qui ne sont point philosophes, tout indique un peuple antérieur aux Indiens et aux Chaldéens : peuple » qui eut des sciences i)erfectionnées, une philosophie sul)lime el sage, et qui, en disparaissant de dessus la terre, « a laissé aux peuples qui lui ont succédé quelques vérités isolées, échappées à la destruction, et que le hasard » nous a conservées. » {Histoire de l'Astronomie ancienne, livre III, § xviii.)

que l'élément grec, nous allons faire, loul de suile, une courte digression pour dire quelques mots de la Géométrie chez les Latins.

Les sciences mathématiques furent extrêmement négligées par le peuple romain, où les esprits supérieurs ne s'appliquèrent qu'à l'art de la guerre et à l'éloquence. La Géométrie, parliculièrement, fut à peine connue à Rome. L'Astronomie y fut plus en honneur; et l'on peut citer plusieurs écrivains célèbres, tels que Varron, J. César, Cicéron, Lucrèce, Virgile, Horace, Senèque, Pline, qui possédaient la connaissance des phénomènes du Ciel. Mais aucun ne les regarda comme devant être l'objet de recherches scientifiques et ne fit faire un pas à la science. On ne cite même que Sulpicius Gallus qui ait cultivé l'Astronomie pratique, et qui ait prédit des éclipses.

La Géométrie semble n'avoir eu pour objet unique, chez les Latins, que de mesurer les terres et d'en fixer les limites : les arpenteurs, qu'on appelait ar/rimensores ou growatici, étaient des hommes très considérés, qu'on regardait comme les vrais dépositaires de la science. Cependant, quelques fragments de leurs écrits qui nous sont parvenus, nous portent à leur refuser absolument le litre de géomètres. Car, outre que ces écrits roulentsur les questions les plus élémentaires de la Géométrie pratique, nous y trouvons des erreurs grossières. L'aire du triangle et l'aire du quadrilatère y sont calculées d'une manière inexacte. Nous avons rapporté leurs règles en parlant du paragraphe 21 de la partie géométrique des ouvrages de Brahmegupta.

Malgré la considération dont les gromalici ont joui à Rome, à raison des services qu'ils rendaient dans les différentes contrées de ce vaste empire, et quoique les noms des plus habiles nous aient été transmis par Boèce, à peu près tous aujourd'hui sont inconnus dans l'histoire de la Géométrie.

Mais quelques hommes, véritablement célèbres à d'autres titres, avaient cultivé les sciences pour elles-mêmes. Varron, qui passa pour le plus savant des Romains, et qu'ils regardaient comme un second Platon, avait écrit sur l'Arithmétique, la Géométrie, l'Astronomie, la Musique et la Navigation. Il est fâcheux qu'aucun de ces ouvrages ne nous soit parvenu. Cet écrivain mérite d'être cité surtout pour avoir soupçonné l'aplatissement de la Terre, comme nous l'apprend un passage de Cassiodore.

L'Architecture de Vitruve nous prouve qu'il fut l'un des hommes de son temps qui eurent le plus de connaissances en Mathématiques.

On peut citer encore Julius Sexlus Frontinus, qui a écrit, en ingénieur habile, sur la conduite des eaux. Son livre, intitulé : De aquœduclibus nrbis Romœ, nous est parvenu. On a de lui un autre ouvrage estimé, sur l'art militaire.

Nous supposons que Frontinus avait écrit aussi sur la Géométrie, et qu'un Traité de la mesure des surfaces, que nous trouvons dans un manuscrit du XI" siècle, avec d'autres fragments des gromalici romains, parmi plusieurs ouvrages de Boèce, peut lui être attribué 2.

' Slratagematum libri quatuor.

* Ce manuscrit, grand in-folio, sur parchemin, appartient à la Bibliothèque de la ville de Chartres. M. le D' G. Haenel l'a inscrit dans ses Catalogi librorum manuscriplorum, etc. (Lipsiae, 1815», m-i"), sous le titre suivant :

Deux raisons concourent à nous autoriser à former cette conjecture. D'abord, Boèce, au commencement du second livre de sa Géométrie, qui roule sur la mesure des surfaces, nomme Julius Frontinus comme ayant été très habile dans cet art, et annonce qu'il lui a fait des emprunts pour ce second livre. Vers la fin de l'ouvrage, Boèce donne la liste des principaux arpenteurs romains, et y inscrit Julius Frontinus. Celte double circonstance nous prouve que cet auteur avait écrit sur la Géométrie pratique. Ensuite, nous remarquons que le morceau de Géométrie que nous trouvons dans le manuscrit dont nous venons de parler, présente, avec le second livre de Boèce, tant de points de ressemblance, qu'on en doit conclure avec certitude que l'un des deux ouvrages a été copié en grande partie sur l'autre. Le style pur et plus facile de ce morceau de Géométrie, annonce qu'il est antérieur à l'époque où a vécu Boèce ; nous sommes donc porté naturellement à conclure qu'il

Aristotelis lib. elenchorum ; Boetii Logica^ Rhelorica, Arithmetica, Musica; Julii Firmici mathematica , Materni Junioris geometria ; canones, tabulœ et diversa de Astronomiâ.

Ce liire est emprunté d'une note placée sur la partie intérieure de la couverture en bois du volume, el qui paraît aussi ancienne que lui; elle est ainsi conçue :

In hoc voiumine continentur :

Liber elenchorum Aristotelis;

Logica, Bhetorica, Arithmetica, Musica, Boecii;

Mathematica Julii Firmici, Materni Junioris;

Geometria;

Canones, tabulœ et alia de Astronomiâ.

Vis-à-vis les mois Mathematica Julii, etc., se trouve une annotation qui paraît aussi fort ancienne, et où nous croyons lire : Hancsuppositam credo. Et, en effet, nous ne trouvons aucune pièce de Julius Firmicus Maternus. Mais il est vrai que, malheureusement, il manque 104 f -uilles (J40...245) dans ce manuscrit, à partir du cliap. XX du second livre du Trailé de la Musique, de Boèce. Nous supposons que le reste de la Musique occupait 64 feuilles à peu près; de sorte que 40 feuilles auraient contenu d'autres matières qui nous sont inconnues et où aurait pu se trouver quelque chose de Firmicus Maternus; cependant on ne connaît el on ne cite, de cet auteur, que son Trailé d'Astrologie, en huit livres.

La feuille 244, la première après la lacune, contient la fin d'un écrit sur les corps réguliers. Puis, on trouve différentes pièces, placées les unes à la suite des autres, sans litres et sans indication d'auteurs, et qui traitent, la plupart, de la Géométrie des arpenteurs romains el des mesures dont ils faisaient usage. Nous avons distingué parmi ce pêle-mêle les morceaux suivants, dont les deux derniers surtout rendent le manuscrit très précieux:

1» Celui que nous attribuons à Frontinusj

2" Le livre d'Arithmétique, de Marlianus Capella;

3» Le cinquième livre de l'ouvrage De re ruslicâ, deCoiumelle, qui traite de la mesure des champs;

40 Différents autres fragments de Géométrie, des arpenteurs romains; .

S» Un passage du quinzième chapitre des Élymologies, d'Isidore de Séville, qui traite des mesures;

6» Les deux livres de la Géométrie de Boèce, dont le premier contient les neuf chiffres et le passage relatif au nouveau système de numération; et dont le second est terminé par un autre passage, encore relatif à celte numération, et qui ne se trouve pas dans les éditions qu'on a données de Boèce;

7» Enfin, un autre écrit sur l'usage des neuf chiffres, qui présente des analogies frappantes, d'une part avec les passages de Boèce el la lettre de Gerbert, d'autre part avec noire propre système de numération.

Cet écrit, dont il paraît qu'on n'a point encore eu connaissance, pourra jeter quelque jour sur la question, encore controversée, de la vraie signification des passages de Boèce et de Gerbert, el de la date précise de l'introduclion, en Europe, de la numération indienne.

Le manuscrit est terminé par quelques notions de la sphère céleste, puis un Trailé d'Astrologie et des tables astronomiques.

est l'ouvrage même de Frontinus, auquel Boèce a annoncé qu'il avait fait des emprunts.

Ce morceau de Géométrie, du reste, peut faire honneur à cet écrivain, et est plus digne de porter son nom que le Traité De qualilale agtorum, qu'on lui a attribué. Nous le regardons comme l'écrit le plus parfait qui soit sorti de la plume d'un géomètre latin, sans en excepter le second livre de la Géométrie de Boèce. Car d'une part nous trouvons dans cet écrit la formule pour la mesure de l'aire du triangle par les trois côtés; et, d'autre part, nous n'y trouvons pas la règle inexacte dont tous les arpenteurs romains se servaient pour mesurer l'aire du quadrilatère '; règle reproduite par Boèce lui-même.

De nombreux points de ressemblance nous font penser que c'est ce Traité qui a servi, à la renaissance des lettres, à composer la partie géométrique de l'encyclopédie qui a paru en 1496, et a eu depuis de nombreuses éditions sous le litre de Margarita philosophica. Indépendamment de celte circonstance, qui doit lui donner quelque prix à nos yeux, ce Traité aurait mérité les honneurs de l'impression, comme étant le meilleur écrit de Géomélrie qui nous soit venu des Romains.

Nous devons dire cependant que nous y trouvons, dans le calcul de l'aire des polygones réguliers, en fonction du côté, une erreur que Boèce a commise aussi, et qui a encore été reproduite, à la fin du XV" siècle, dans la Margarila philosophica.

L'auleur se sert de la formule suivante :

Soient a le côté du polygone régulier, n le nombre de ses côtés; son aire a pour expression

L'absurdité de cette formule est palpable; d'abord parce qu'elle n'est pas homogène, et ensuite parce que l'on en conclurait, par une simple équation du second degré, l'expression du côté d'un polygone régulier inscrit au cercle, en fonction du rayon du cercle, et réciproquement le rayon en fonction du côté. Questions qui dépendent, comme on sait, d'équations de degrés supérieurs.

Peut-être tout le passage qui concerne la mesure des polygones réguliers, a-t-il été introduit, par un écrivain postérieur, dans le morceau de Géométrie que nous attribuons

' Voir page 313 du recueil intitulé : Rei agrariœ auctores legesque varia; cura Wilelmi Goesii, cujus accedunt indices, antiquilates agrariœ et notœ, unà cum N. Rigallii notis et observatioiiibus. Amsl., 1674, in-i"; et page 172 de l'ouvrage de Columelie, De re rusticd libri XII. Paris, 1543, in-S».

* On reconnaît cette formule dans les règles que l'auleur donne pour les polygones réguliers de 7, 8, 9, 10, 11 et 12 côtés; mais pour le triangle, le pentagone et l'hexagone, il se sert des formules suivantes :

«... a* -\-a Pour le triangle, — ;; — ;

3a*-+- a Pour le pentagone, — - — ;

4a* -4- a Pour l'hexagone, — - — .

à Fronlinus. Car la règle qui concerne le triangle équilatéral est en contradiction avec une autre règle, parfaitement géométrique, donnée auparavant. Ainsi nous trouvons d'abord, sous le titre de trigono ysopleuro ; « a étant le côté d'un triangle isopleure, » «2 — (|)*est le carré de la perpendiculaire; la perpendiculaire, multipliée par|, est » l'aire du triangle. Soit a = 30, il vient

» C'est l'aire du triangle. » Cette règle est exacte, et l'application numérique Test aussi, en négligeant toutefois les fractions dans l'extraction de la racine de 675 '. On doit s'étonner alors de trouver ensuite, encore sous le titre de trigono ysopleuro, cette seconde règle : « a étant le côté du triangle isopleure, son aire est ^—^- Soit a = 28, l'aire » du triangle sera '^^li+l»^ ou ^ = 406. »

Remarquez que, de la sorte, le triangle dont le côté est 28, a une plus grande surface que celui dont le côté est 30. Ce rapprochement entre les deux exemples numériques de l'auteur, semble annoncer que la seconde règle lui est étrangère et a été prise d'un autre écrit.

Cette seconde manière de procéder est suivie de sa démonstration, mais qui ne présente qu'une pétition de principe. Voici le raisonnement de l'auteur. Une aire donnée S est la surface d'un certain triangle équilatéral, dont le côté est égal à— ^J^. Mettant, à la place de S, l'aire trouvée ^^-^, on a pour résultat a, qui est le côté du triangle proposé; donc l'aire trouvée est exacte.

Le défaut de cette prétendue démonstration est manifeste, car la formule

1/8. aire -+- I — 1 côté =

est précisément, sous une autre forme, la même que celle-ci : aire =—^i qu'il s'agit de démontrer.

Mais pour passer de l'une à l'autre de ces deux formules, il faut résoudre une équation

» Prendre 1/675 = 26, c'est la même chose que 15. »/3 = 26, ou 1/5 = y| • D'après cela, l'expression de l'aire du triangle, qui est exactement ^ I/3, devient

a* 26 jl3

C'est la formule dont se sont servis quelques auteurs latins, tels que Columelle [De re rusticâ ; liv. 5, cbap II), et qui a été employée encore dans les temps modernes. On la trouve dans plusieurs ouvrages de Géométrie pratique (voir Georgii Vallœ, de expetendis et fugiendis rébus; liber XIV et Geometrive V; cap. IIII. — // brève trattato di Geometria del sig. Gio. Franc. Peverone di Cuneo; in Lione, 1556, in-4». — Livre lit de la Géométrie pratique de Henrion; pag. 341 et 349; seconde édition, Paris, 1623)

NOTES. 4t)l

littérale du second degré. Cette circonstance est assez remarquable dans la Géométrie des Latins.

Le morceau de Géométrie en question étant ce qui nous est parvenu de mieux et de plus complet des écrivains latins, et paraissant résumer tout leur savoir en Géométrie, nous allons donner l'indication des questions sur lesquelles il roule. Ce sont :

1° Le calcul de la perpendiculaire, dans un triangle dont les côtés sont donnés ' ;

2" Le calcul de l'aire du triangle, en fonction de cette perpendiculaire; et la formule qui donne l'aire en fonction des trois côtés;

3° Les deux formules qui servent à former un triangle rectangle en nombres entiers, l'un des côtés étant donné en nombre pair ou impair, qui sont :

Pour un nombre impair, ( 1 = ( ) -♦- a',

Pour un nombre pair,

]'=[fir-r*-

4" L'expression du diamètre du cercle inscrit à un triangle rectangle, qui est égal à la somme des deux côtés de l'angle droit, moins l'hypoténuse;

5° Le calcul de l'aire du carré, du parallélogramme, du losange (ou rhombe) et du quadrilatère à bases parallèles.

L'auteur appelle l'un des côtés du quadrilatère sa base, et le côté opposé le sommet ou la corauste {verlex seu coraustiis). Le mot coraustus ne se trouve plus dans aucun lexique; il n'a peut-être été reproduit, chez les Modernes, que dans la Margarita philosophica;

6° Le calcul (basé sur une règle fausse) des surfaces des polygones réguliers;

7° Le rapport j| ou y, de la circonférence au diamètre;

8" Enfin l'aire de la sphère, égale à celle de quatre grands cercles.

Les noms sont si rares dans l'histoire des sciences, chez les Latins, que l'on est réduit à citer les écrivains qui nous ont laissé quelques traces d'un faible savoir en Géométrie, même sans avoir contribué à ses progrès. C'est ainsi que nous nommerons Martianus Capella, saint Augustin, Macrobe, Boèce, Cassiodore et Isidore de Séville. Le premier, sur l'époque duquel on n'est pas d'accord, et que les uns fixent au III* siècle et d'autres au V', nous a laissé un ouvrage en neuf livres ^, dont les deux premiers, qui forment une sorte d'introduction aux sept autres, sont un petit roman philosophique et allégorique, intitulé : des Noces de la Philosophie et de Mercure, et dont les sept autres sont consacrés

* L'auteur prend, pour les côtés du triangle, les trois nombres 13, H et 13, dont s'était servi Héron d'Alexandrie dans son Traité de Géodésie, et qu'on trouve aussi dans la Géométrie des Indiens. (Voir ci-dessus l'analyse de l'ouvrage de Braiimegupta).

* Marliani Minei felicis Capellœ, Carthayiniensis, viri proconsularis, Satyricon, in quo de Nuptiis Philologiœ el Aîercurii libri duo et de septem artibus Itberalibus libri singulares, etc.

/i62 NOTES.

aux sept arts libéraux : la Grammaire, la Dialectique, la Rhétorique, la Géométrie, l'Arithmétique, l'Astronomie ^ et la Musique.

Dans le livre de la Géométrie, l'auteur semble avoir employé ce mot suivant son sens étymologique; car il débute par des notions de géographie. Ce qui est de la Géométrie proprement dite, se réduit à quelques définitions des lignes, des figures planes et des solides, qui la plupart sont prises d'Euclide, et énoncées sous leur nom grec ; chose assez remarquable, parce que dans d'autres écrits du même temps ou un peu moins anciens, tels que ceux de Boèce, de Cassiodore, les noms grecs ont été remplacés par des dénominations latines.

Lelivred'Arithmétique,deMariianus Capella,esl plus savant que son livre de Géométrie. 11 est, comme l'Arithmétique de Boèce, une imitation des ouvrages platoniciens et pythagoriciens, particulièrement de celui de Nicomaque, qui traite des propriétés des nombres et de leurs divisions en diverses catégories, des nombres pairs, impairs, composés, parfaits, imparfaits, abondants, diminutifs, plans, solides, triangulaires, etc.

Saint Augustin a écrit sur la Musique, On lui attribue aussi, assez légèrement, des principes d'Arithmétique et de Géométrie, mais qui n'offrent qu'une simple nomenclature.

Il en est de même du traité de Géométrie, de Cassiodore, compris dans son seizième livre, qui traite des sept arts libéraux, et de la partie géométrique de cette espèce d'encyclopédie que le célèbre Isidore de Séville a laissée sous le titre à'Èlymologies.

La Géométrie de Boèce a plus d'importance que les écrits dont nous venons de parler, parce qu'elle est plus savante, qu'elle fait connaître pour la première fois, chez les Latins, la Géométrie d'Euclide, et qu'elle contient quelques traits intéressants de l'histoire des sciences. Nous allons donner une analyse de cet ouvrage, qui est aujourd'hui peu connu.

Il est en deux livres. Le premier est une traduction, à peu près littérale, des définitions et des énoncés des propositions des quatre premiers livres d'Euclide. Ensuite on trouve, sous le litre de figuris geometricis, quelques problèmes résolus par Boèce, qui n'offrent rien d'intéressant.

Ce premier livre est terminé par l'exposition d'un nouveau système de numération, différent des systèmes grec et romain, qui fait usage de neuf chiffres, et que l'on a cru reconnaître pour être précisément notre système de numération actuel. Mais ce point de l'histoire des sciences, qui depuis deux siècles a fixé l'attention des savants, n'a pas encore été résolu d'une manière définitive. Nous reviendrons, plus loin, sur ce passage intéressant de la Géométrie de Boèce, Nous discuterons aussi, dans un article spécial, un autre passage du même livre, où nous croyons trouver la description du pentagone étoile ou de seconde espèce.

Le second livre est consacré à la Géométrie pratique, telle qu'elle était connue des arpenteurs romains. L'analyse que nous avons donnée, en parlant de Frontinus, d'un Traité de Géométrie pratique, resté manuscrit, répond à ce second livre, qui paraît avoir

* Dans ce huitième livre se trouve un chapitre très remarquable, intitulé : Quod tellus non sit centrum omnibus planelis, où Marlianus Capella fait tourner Mercure el Vénus autour du Soleil. C'est là que Copernic a pris la première idée de son système.

INOTES. 463

été copié sur ce manuscrit, el qui n'en diffère essentiellement qu'en deux points, au désavantage de Boèce. Cet écrivain célèbre ne donne pas la formule pour le calcul de l'aire du triangle par les trois côtés, qui se trouve dans le manuscrit, el donne la règle inexacte, employée par les arpenteurs romains, pour le calcul de l'aire du quadrilatère, qui ne s'y trouve pas.

En donnant les deux formules pour construire un triangle rectangle en nombres entiers, l'un des côtés étant connu, Boèce attribue à Archytas celle où ce côté est pair. Proclus, comme on sait, attribue celte formule à Platon el l'autre à Pylhagore.

A la suite de ce livre do Géométrie pratique, on a joint une autre partie, qui ne se trouve pas dans tous les manuscrits de Boèce, et dont voici le sujet. Après une sorte de dissertation sur l'origine, l'ulililé ei l'excellence de la Géométrie, Boèce rapporte la substance d'une lettre de J. César, où l'on voit que ce grand homme voulait que la Géométrie servît de règle dans tout l'empire romain el ses colonies, pour ce qui regardait la mesure et la limitation des terres, les édifices publics et particuliers, les fortifications des villes et les grands chemins. L'auteur énumère ensuite les diverses matières qui peuvent donner lieu à controverse, dans les opérations de la mesure des terres. 11 remarque quelles sont les qualités que doit avoir un arpenteur, et donne les noms de ceux qui ont eu le plus de célébrité, et des empereurs par ordre desquels ils ont travaillé. 11 donne ensuite la nomenclature des bornes diverses dont on se servait pour distinguer les provinces, les grands chemins et les possessions des particuliers. Puis il énumère les connaissances qui sont nécessaires, en Arithmétique et en Géométrie, pour être un parfait géomètre. Ces connaissances embrassent les [)ropriétés des nombres el leurs divisions en nombres pairs, impairs, composés, etc.; l'ordre logique que l'on doit suivre en Géométrie; les définitions des figures que considère la partie la plus élémentaire de cette science, et les différentes mesures en usage chez les arpenteurs romains.

Enfin, l'ouvrage est terminé par un morceau qui ne concerne que l'Arithmétique, el que nous avons reconnu, en effet, n'être qu'une réunion de divers passages du premier livre de l'Arithmétique de Boèce, pris, dans l'ordre suivant, du chapitre XXXII, de la préface, et des chapitres I, 11, 1, XXXIl, XIX, XX, XXII, XII, XXVI, el XXVII. Tout ce morceau est sans doute étranger à la Géométrie de Boèce, et y a été joint, à tort, par quelque compilateur.

Les éditions de Boèce, et la plupart des manuscrits, ne contiennent que deux livres de Géométrie. Cependant il existe quelques manuscrits qui en contiennent cinq. M. Libri en signale un à Florence, à la Bibliothèque de Saint-Laurent K Nous voyons, dans la Biblioiheca bibliolhecarum de Monlfaucon (lom. I", pag. 88), qu'il en existe aussi un dans la Bibliothèque du Vatican, avec un Traité sur les nombres, en deux livres [Uoelii de numeris duo libri), qui paraît être différent de l'Arithmétique. Il est à désirer que ces manuscrits, qui peuvent être utiles pour l'histoire des sciences, sortent enfin de la poussière des bibliothèques.

* Histoire des sciences en Italie, tom. 1", pag 89.

SUR LE PASSAGE DU PREMIER LIVRE DE LA GÉOMÉTRIE DE BOÈCE, RELATIF A UN NOUVEAU