PRINCIPE DE DUALITÉ
I^^ Deux méthodes a suivre.
Nous avons dit, dans notre Cinquième Époque, que le Principe de Dualité, que nous énoncerons d'une manière absolue comme une propriété inhérente aux formes de l'étendue, n'est qu'une déduction rationnelle d'un seul théorème de Géométrie. Il paraîtrait donc naturel de commencer par démontrer ce théorème, pour en tirer, comme une simple conséquence, le principe en question. C'est en effet ce que l'on peut faire aisément. Mais si, généralement, une déduction d'une vérité fondamentale offre moins de généralité que celte vérité première, de telle sorte que l'on ne puisse passer indiffé-
remment de Tune à l'autre, il n'en est pas ainsi du principe de dualité, tel que nous allons le présenter. Ce principe comporte une si grande généralité, et il est d'une manière si précise l'expression ou la traduction du théorème en question, dans toute sa portée, que l'on peut passer du principe de dualité à ce théorème, avec la même facilité que du théorème au principe.
De là résulte que l'on peut suivre deux marches différentes, l'une conduisant directement au principe, et l'autre directement au théorème.
Dans la première, nous faisons usage de la Géométrie analytique de Descartes, c'est-à-dire de la doctrine des coordonnées; la seconde se renferme dans les seules ressources de la Géométrie pure des Anciens qui, de la sorte, auraient pu parvenir, avec leurs seules connaissances acquises, au principe de dualité.
Cette seconde manière de procéder serait plus logique et plus conforme au but que nous nous sommes proposé dans cet écrit : la généralisation et l'accroissement des doctrines de la Géométrie; mais, bien que cette marche soit extrêmement simple, il nous faudrait cependant prendre d'un peu haut diverses considérations géométriques auxquelles on est moins accoutumé aujourd'hui qu'à l'emploi des formules de l'Analyse. Pour nous conformer donc aux habitudes de la plupart des Géomètres, et offrir une lecture plus facile, nous emploierons, pour le moment, la méthode analytique. Ainsi nous démontrerons directement le principe de dualité, et nous en conclurons le théorème unique de Géométrie dont ce principe n'est que l'expression.
Nous donnerons dans un autre écrit, où nous présenterons la théorie et diverses applications du rapport anharmonique, la démonstration directe, purement géométrique et indépendante de la doctrine des coordonnées, du théorème général en question. Cette démonstration, quand les voies seront préparées, sera plus briève et plus facile que la marche analytique que nous allons employer pour le moment.
§ II. Méthode analytique. — Propositions préliminaires.
\. Théorème I. Si l'on conçoit dans l'espace un plan mobile, déterminé dans chacune de ses positions par une équation rapportée à trois axes coordonnés quelconques des x, y et z; et que les paramètres de cette équation contiennent, au premier degré, les coordonnées d'un point que nous appellerons directeur;
1" Quand ce point parcourra un plan, le plan mobile tournera autour d'un point fixe;
2° Quand le point parcourra une droite, le plan mobile tournera autour d'une seconde droite;
3" Quand le point parcourra une surface courbe, le plan mobile roulera sur une autre surface courbe;
Si la première surface est du second degré, la seconde sera aussi du second degré ;
Et si la première surface est géométrique et du degré m, la seconde surface sera aussi géométrique, et telle que, par une droite quelconque, on pourra lui mener m plans tangents.
En effet soient ce', fj', z', les coordonnées du point directeur; l'équation du plan mobile sera de la forme
(1 ) Xa;' -♦- Yt/' -f- Zz' " U ;
X, Y, z et U étant des polynômes de la forme ax -h by -{• cz — d, où les coordonnées courantes x, y, z n'entrent qu'au premier degré. Soit
(2) Lx -+- My + Nz = l
l'équation du plan que parcourt le point directeur; L, M, IV étant des constantes : les coordonnées x\ y', z' de ce point auront entre elles la relation
(5) ! . Lx' -♦- Ml/' -+- Nz' = 1 .
On voit aisément que les valeurs des coordonnées x^ y, z, Urées des trois équations suivantes :
déterminent un point qui se trouve sur le plan mobile, dans toutes ses positions. Car si Ton substitue ces coordonnées dans l'équation (J) du plan mobile, il en résultera l'équation La?' + %' + N2;' = 1, qui est identique, puisqu'elle n'est autre que l'équation de condition (3).
Ainsi le plan mobile, dans toutes ses positions, passe par un point fixe, dont les coordonnées sont déterminées par trois équations (4); ce qui démontre la première partie du théorème.
Appelons ce point fixe le pôle du plan que le point directeur a parcouru.
Quand le point directeur parcourt une droite; que l'on imagine deux plans passant par cette droite : le point directeur se mouvra dans ces deux plans en même temps; le plan mobile passera donc par deux points fixes qui seront les pôles de ces plans; ce plan mobile tournera donc autour de la droite qui joint ces points; ce qui est la seconde partie du théorème.
Si le point directeur parcourt une surface courbe A, le plan mobile enveloppera une seconde surface courbe A'.
. Supposons la surface A géométrique et du degré m : une transversale menée arbitrairement la rencontrera en m points ; à chacun de ces points, considéré comme point directeur, correspondra un plan tangent à la surface A'; ces plans tangents, qui seront en nombre m, passeront tous par une même droite (d'après la seconde partie du théorème); la surface A' admettra donc m plans tangents passant par une même droite quelconque.
Si la surface A est du second degré, la surface A' sera donc aussi du second degré; ce qui démontre les deux dernières parties du théorème.
2. La surface A', qui est l'enveloppe du plan mobile, quand le point directeur parcourt la surface A, peut être déterminée d'une seconde manière, par points, au moyen du théorème suivant :
Théorème IL Quand le point directeur parcourt une surface courbe A,
la surface enveloppe du plan mobile est le lieu géométrique des pôles de tous les plans tangents à la surface A;
Et le point où le plan mobile, dans une de ses positions, touche cette surface enveloppe, est le pôle du plan tangent à la surface X, mené par le point directeur auquel correspond cette position du plan mobile.
En effet, pour obtenir le point où le plan mobile, dans une de ses positions, touche sa surface enveloppe A', on regarde ce point comme Tintersection de ce plan tangent et de deux autres plans tangents infiniment peu différents; or ces trois plans correspondent à trois positions du point directeur, infiniment voisines, c'est-à-dire à trois points d'un élément de la surface A, lesquels sont sur son plan tangent. Le point de contact du plan mobile et de la surface A' est donc le pôle de ce plan tangent à la surface A ; ce qui démontre, en même temps, les deux parties du théorème énoncé.
3. Remarque. Ce théorème sera très utile pour construire, par points, la surface enveloppe du plan mobile, quand le point directeur parcourra une surface donnée A.
Car il suffira de mener les plans tangents de la surface A, et de chercher \ey\vs pôles-, ce seront les points de la nouvelle surface. Or ces pôles se déterminent aisément, car soit La? -|- M?/ + N^ = 4 l'équation d'un plan tangent à la surface A : les coordonnées de son pôle seront données par les trois équations linéaires
Ce moyen de construire par points la surface enveloppe du plan mobile, sert aussi pour trouver immédiatement l'équation de cette surface, sans recourir au Calcul différentiel, ordinairement indispensable dans les questions de surfaces enveloppes.
Car le calcul se réduit à éliminer, entre les trois équations que nous venons d'écrire, et l'équation de la surface proposée A, les coordonnées x\y', z' appartenant à cette surface; l'équation résultante en X, Y, Z, qui sont des fonctions des coordonnées x, y, z de la surface enveloppe du plan mobile, sera précisément l'équation de celte surface.
Supposons, par exemple, que le point directeur parcoure la surface du second degré représentée par Téquation
Ax* -*- B.V* -H Cz» -H 2(Da; M- Et/ H- F«) = K ;
l'équation du plan tangent au point {x', y', z') de cette surface sera
x(Ax' -♦- D) -+- y{By' -+-£)-*- z{Cz' -t- F) = K — (Dx' -t- Et/' -t- Fz').
Les trois équations de condition ci-dessus seront donc
X[K — (Dx' -+- Ety' -f- Fz')] = (Ax' + D) U, Y[K — (Dx' -4- Et/' -t- Fz')] = (Bt/' -t- E) U, Z [R — (Dx' + Et/' -4- Fz')] = {Cz' -t- F) U
Il suffit d'éliminer x' , ;/', z' entre ces trois équations et la suivante
Ax'* •\- By" -4- Cr" -+- 2(Dx' -♦- Et/' -+- Fz')= K.
Le résultat
1 1 — - Kh 1 1 =U
