V. l.'>u avant J

des grandes découverles d'Archimède et d'Apollonius, qui demandaient des siècles d'études et de méditations, avant qu'on pût aller au delà, dans les matières qu'avaient traitées ces deux grands génies.

§ 17. Les ouvrages de Nicomède ne nous sont point parvenus. Ce géomètre ne nous est connu que comme inventeur de la conchoïde, dont il fit un usage ingénieux pour, résoudre, par un procédé mécanique, le problème des deux moyennes proportionnelles, et celui de la trisection de l'angle.

La conchoïde, déjà célèbre par cette circonstance qu'elle résolvait les deux plus fameux problèmes de l'Antiquité, acquit une importance nouvelle par la remarque que fit Viète, que tous les problèmes dont la solution dépend d'une équation du troisième degré peuvent se ramener à ces deux-là ; et surtout par l'emploi que Newton fit de cette courbe, dans son Arit/imétique universelle, pour construire toutes les équations du troisième degi'é.

§ i8. Hipparque, le plus grand astronome de l'antiquité, le véritable fondateur de l'astronomie mathématique, avait composé un ouvrage en douze livres, où se trouvait la construction des cordes des arcs de cercle *.

Ses calculs et ses opérations astronomiques exigeaient la trigonométrie rectiligne et la trigonométrie sphérique, dont il avait donné les principes géométriques dans son traité Des levers et couchers des étoiles, et dont il paraît certain qu'il fut le premier inventeur ^.

C'est à Hipparque aussi que paraît remonter la découverte des projections stéréographiques, et celle de deux théorèmes célèbres de Géométrie

' Thëon cilcce Irailé {Commentaire sur l'Almagesle,\iy. i, ch. IX).

2 D'une part, Hipparque dit, dans son Commentaire du poème d'Aratus, (ju'iV a démontré la solution des triangles sphériques qui servent à trouver le point orient de Védipiique; ensuite on ne trouve, avant lui, aucune trace de trigonométrie sphérique, ni même de trigonométrie rectiligne. Archimède, ainsi que le remarque M. Delamhre, dans son Histoire de l'astronomie ancienne (lom. 1", pag. 104), pour mesurer le diamètre du soleil, superpose un angle au sommet d'un tri;ihglc isoscèie, dont les côtés et la hase sont donnés : on n'avait pas encore eu l'idée de calculer les co:dcs des angles. Ainsi la trigonométrie rectiligne était ignorée.

plane et de Géométrie sphérique, que nous citerons en parlant de Ménélaiis et de Ptolémée.

§ 19. On attribue à Geminus, qu'on suppose avoir vécu un peu après Nicomède et Hipparque, un ouvrage sur diverses courbes, entre autres rhélice décrite sur la surface d'un cylindre droit circulaire, dont il démontrait cette propriété, commune avec la ligne droite et le cercle seulement, d'être partout semblable à elle-même K Un autre ouvrage de Geminus, intitulé Enarrationes geomelricœ, souvent cité par Proclus, devait être une sorte de développement philosopbique des découvertes géométriques. Ces deux ouvrages ne nous sont point parvenus : on prétend que le premier se trouve, manuscrit, dans la bibliothèque du Vatican.

§ 20. Théodose réunit, sous le titre de Sphériqiies (Sph^rigorum libri très), diverses propriétés des grands cercles tracés sur la sphère, nécessaires pour établir solidement les fondements de l'astronomie et le calcul des Iriangles sphériques. Ce calcul n'en fait pas partie, le mot triangle n'y est pas même prononcé. Mais, quelque élémentaire que soit cet ouvrage, il a été très estimé, comme étant méthodique et profond. Aussi a-t-il été commenté par Pappus, puis traduit par plusieurs géomètres modernes d'un grand mérite.

On a de Théodose deux autres traités, intitulés De Habitationibus, et De Diebiis et Noctibus, ayant pour objet la démonstration des phénomènes que doivent apercevoir les habitants de la Terre, suivant leur position sur le globe, et celle du Soleil dans l'écliptique.

§ ^1. Ménélaiis, géomètre et astronome, avait écrit, comme Théodose, sur la Géométrie de la sphère, un traité en trois livres, intitulé Sphétiques, qui ne nous est parvenu que traduit en arabe et en hébreu : le texte grec a été perdu. Cet ouvrage va au delà de celui de Théodose, car il traite spécialement des propriétés des triangles sphériques, mais non point encore de leur calcul, c'est-à-dire de la trigonométrie sphérique qui, peut-être, avait fait partie d'un autre écrit de Ménélaiis, en six livres, sur le calcul des cordes, dont parle Théon, et qui a été perdu.

GEMIRDS, V. 100 avant J.-G.

THÈODOSE, V. lOU avant J.-C.

HËNÉLAOS, V. 80 après J.-C.

• Proclus, Commentaire sur le i" livre d'Euclide, 4' définition et proposition 5*.

La plus importante proposition des Sphériques de Ménëlaiis est la première du 3*= livre, qui fut la base de toute la trigonométrie spliérique des Grecs. C'est une propriété des six segments faits sur les trois côlés d'un triangle sphériqne, par un arc de grand cercle quelconque. Ce théorème fut aussi en grande considération chez les Arabes, qui le commentèrent dans plusieurs écrits, et l'appelèrent Règle d'intersection. Son analogue dans la Géométrie plane, que donne aussi Ménélaiis, comme lemme pour la démonstration du premier, et dont nous allons parler ci-dessous à l'article de Ptolémée (parce que c'est dans l'Almageste que généralement on l'a remarqué), a acquis une nouvelle et haute importance dans la Géométrie récente, où l'illustre Carnot Ta introduit, en en faisant la base de sa théorie des transversales.

Nous citerons encore, des Sphériques de Ménélaiis, les deux théorèmes suivants, qui paraissent être dus à ce géomètre: i'' l'arc de grand cercle, qui divise en deux également un angle d'un triangle sphérique, fait sur le côté opposé deux segments dont les cordes sont entre elles comme celles des côtés adjacents; et, 2" les trois arcs qui divisent en deux également les trois angles d'un triangle, passent par un même point.

Ménélaiis avait aussi écrit sur la théorie des lignes courbes. Pappus nous apprend qu'une telle ligne, probablement à double courbure, car elle naissait de l'intersection de surfaces courbes, était appelée admirable par ce géomètre K

PTOLÉMÉE, § 22. Ptolémée, astronome et géomètre d'un savoir immense, nous a laissé,

dans son Almageste ^, un Traité de trigonométrie rectiligne et de trigonométrie sphérique, le seul qui nous soit parvenu des Grecs, les ouvrages d'Hipparque, sur cette matière, ayant été détruits. On y trouve cette belle propriété du quadrilatère inscrit au cercle, que « le produit des deux diagonales

* Collections mathématiques, liv. 4, après la proposition 30.

* Ptolémée avait donné à son Traité d'astronomie le titre de Composition ou Syntaxe mathématique. Ses éditeurs ont changé ce titre en celui de Grande composition; les traducteurs arabes en ont fait la Très grande (Aimagesti); et le nom d'Almagcste lui est resté.