ili avant J.-C

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. i5

semble résulter du traité de R. Simson, il aurait toujours été facile de porismer toutes les propositions qui en auraient été susceptibles; et l'on ne voit pas pourquoi les Modernes y auraient trouvé des dilficultés qui leur auraient fait changer la signification du mot.

Nous sortirions du cadre de cet écrit en poussant plus loin ces réflexions sur la doctrine des porismes; mais ce sujet nous paraissant offrir beaucoup d'intérêt, à raison surtout de ses rapports avec les théories qui font le domaine de la Géométrie moderne, nous donnerons suite à ce paragraphe dans la Note III, où nous essayerons même de présenter quelques idées nouvelles sur cette grande question des porismes. /^ § 9. Peu de temps après Euclide, deux hommes d'une force d'esprit akchimède, prodigieuse, Archimède et Apollonius, marquèrent la plus grande époque de la Géométrie chez les Anciens, par de nombreuses découvertes qui ont fondé plusieurs théories, des plus importantes aujourd'hui, dans toutes les parties des sciences mathématiques.

La quadrature de la parabole, donnée de deux manières différentes par Archimède, fut le premier exemple de la quadrature rigourçuse d'un espace compris entre une courbe et des lignes droites.

Chacun sait que les spirales^ la proportion de leur aire avec celle du cercle, et la manière d'en mener les tangentes; que le centre de gravité d'un secteur parabolique quelconque; l'expression des volumes des segments des sphéroïdes et des conoïdes paraboliques ou hyperboliques * ; la proportion de la sphère et du cylindre circonscrit; le rapport de la circonférence au diamètre, etc., sont d'autres découvertes d'Archimède, découvertes à jamais mémorables, par la nouveauté et la difficulté qu'elles présentaient alors, et parce qu'elles sont le germe d'une grande partie de celles qui ont été faites depuis, principalement dans toutes les branches de la Géométrie qui ont pour objet la mesure des dimensions des lignes et des surfaces courbes et qui exigent la considération de l'inlini.

* Arcliimède appelle sphéroïdes les solides enj!;en(liés par la rcvoliilioii dune ellipse tournant sur son grand ou son petit axe; et conoïdes les solides engendrés par la lévolulion d'une parabole ou d'une hyperbole tournant sur son axe.

i6 HISTOIRE DE LA GÉOMÉrRlE.

La question du rapport de la circonférence au diamètre était le premier exemple d'un problème résolu par approximation; exemple si utile et si souvent mis à profit dans le calcul algébrique, comme dans les constructions

géométriques.

§ i 0. Les procédés d'Archimède, pour démontrer des vérités si nouvelles et si difficiles, constituent la méthode d'exhaustion, qui consistait à regarder la grandeur cherchée, l'aire d'une courbe, par exemple, comme la limite dont s'approchaient de plus en plus des polygones inscrits et circonscrits dont on multipliait, par la bissection, le nombre des côtés, de manière que la différence devînt plus petite qu'aucune quantité donnée. On épuisait ainsi, en quelque sorte, cette différence; d'où est venu le nom de méthode d'exhaustion. Ce rapprochement continuel entre les polygones et la courbe donnait, de celle-ci, une idée de plus en plus précise; et, la loi de continuité servant de guide, on parvenait à la connaissance de la propriété cherchée. Ensuite on démontrait, en toute rigueur, le résultat ainsi obtenu, par le raisonnement ad àbsurdum.

On a dit souvent que les Anciens avaient regardé les courbes comme des polygones d'utie infinité de côtés. Mais ce principe n'a jamais paru dans leurs écrits^ il n'aurait pu convenir à la rigueur de leurs démonstrations; et ce sont les Modernes qui font introduit dans la Géométrie, et ont simplifié par là les anciennes démonstrations. Cette idée heureuse fut le passage de la méthode d'exhaustion aux méthodes infinitésimales.

On a dit aussi que la méthode d'Archimède était embarrassée et difficile à concevoir; et l'on s'appuie du témoignage de Boulliaud, géomètre assez habile du XVIl^ siècle, qui dit n'avoir pu bien comprendre les démonstrations du livre des spirales. Mais cette opinion est contraire aux sentiments des Anciens, que l'ordre et la clarté admirables qu'Euclide avait introduits dans la Géométrie, rendaient si bons juges dans cette question. Pour la repousser avec la propre opinion des Modernes, il nous suffit de dire qu'elle est contraire aussi au sentiment de Galilée et de Mac-Laurin, qui avaient profondément médité sur les ouvrages d'Archimède. « Il est vrai, ajoute Mac-Laurin,

HISTOIHE DK LA GÉOMÉTaiE.

qu'il a cru devoir établir plusieurs propositions pour préparer à la démonslraiioM des principaux théorèmes, el c'est ce qui a fait regarder sa méthode comme ennuyeuse. Mais le nombre de pas n'esl pas le plus grand défaut qu'une démonstration puisse avoir : on doit seulement examiner s'ils sont nécessaires pour rendre la démonstration parfaite et concluante. » ( Traité des Fluxions, introduction.)

M. Peyrard, qui paraît être de nos jours le savant qui a le plus approfondi, dans toutes leurs parties, les ouvrages des quatre grands géomètres de l'Antiquité : Euclide, Archimède, Apollonius et Pappus, qu'il a traduits el commentés, dit formellement : «Archimède n'est véritablement difficile que » pour ceux à qui les méthodes des Anciens ne sont pas familières; il est » clair et facile à suivre pour ceux qui les ont étudiées *. »

§ 41. Apollonius fil, sur les sections coniques, un traité en huit livres. Les quatre premiers renfermaient tout ce qu'on avait écrit avant lui sur cette matière, où il avait seulement étendu et généralisé certaines parties; c'est ce qu'on appelait alors les Éléments des coniques; les quatre autres comprenaient les inventions propres de ce grand géomètre.

Ce fut Apollonius qui considéra, le premier, les coniques dans un cône oblique quelconque à base circulaire; jusque-là, on ne les avait conçues que dans le cône droit, ou de révolution; et encore avait-on toujours supposé le plan coupant perpendiculaire à l'une des arêtes du cône ; ce qui obligeait à prendre trois cônes, d ouverture différente, pour former les trois sections coniques. On désignait ces courbes par les mots : section du cône acutangle, section du cône obtusangle, et section du cône rectangle; elles ne prirent les noms d'ellipse, d'hyperbole et de parabole que dans l'ouvrage d'Apollonius ^.

APOLLONIUS, V. 3t7 avaol J.-C.

' Préface de la traduction des OEuvres d'Archiinède.

2 Cependant les deux mots parabole et ellipse étaient connus d'Archimède. Le premier se trouve dans le litre de iun de ses traités {de la quadrature de Ix parabole), quoiqu'il ne s'y rencontre jamais dans le texte; et le second commence à cire employé dans la proposition D' du livre des conoules et des sphéroïdes.

Tout ce savant traité repose à peu près sur une propriété unique des sections coniques, qui dérive directement de la nature du cône où ces courbes sont formées. Celte propriété, que laissent ignorer la plupart des traités modernes, mérite que nous la fassions connaître ici, comme étant la clef de toute la doctrine des Anciens et comme étant absolument nécessaire pour rintelligence de leurs ouvrages.

Concevons un cône oblique à base circulaire : la droite menée de son sommet au centre du cercle qui lui sert de base, est appelée Vaxe du cône. Le plan mené par l'axe, perpendiculairement au plan de la base, coupe le cône suivant deux arêtes, et détermine dans le cercle un diamètre : le triangle qui a pour base ce diamètre, et pour côtés les deux arêtes, s'appelle le triangle par l'axe. Apollonius suppose, pour former ses sections coniques, le plan coupant perpendiculaire au plan du triangle par l'axe. Les points où ce plan rencontre les deux côlés de ce triangle sont les sommets de la courbe; et la droite qui joint ces deux points en est un diamètre. Apollonius appelle ce diamètre lattis transversam.

Que, par l'un des deux sommets de la courbe, on élève une perpendiculaire au plan du triangle par l'axe; qu'on lui donne une certaine longueur, déterminée comme nous le dirons ci-après; et que, de l'extrémité de cette perpendiculaire, on mène une droite à l'autre sommet de la courbe. Maintenant que, par un point quelconque du diamètre de la courbe, on élève perpendiculairement une ordonnée ; le carré de cette ordonnée, comprise entre le diamètre et la courbe, sera égal au rectangle construit sur la partie de l'ordonnée comprise entre le diamètre et la droite, et sur la partie du diamètre comprise entre le premier sommet et le pied de l'ordonnée. Telle est la propriété originaire et caractéristique qu'Apollonius reconnaît à ses sections coniques, et dont il se sert pour en conclure, par des transformations et des déductions très habiles, presque toutes les autres. Elle joue, comme on le voit, dans ses mains, à peu près le même rôle que l'équation du second degré à deux variables, dans le système de Géométrie analytique de Descartes.

On voit par là que le diamètre de la courbe, et la perpendiculaire élevée

à Tune de ses exirémilés suffisent pour construire cette courbe. Ce sont là les deux éléments dont se sont servis les Anciens pour établir leur théorie des coniques. La perpendiculaire en question fut appelée, par eux, latiis erectum : les Modernes ont d'abord changé ce nom en celui de laliis rectum, qui a été longtemps employé; et ensuite l'ont remplacé par celui de paramètre, qui est resté. Apollonius, et les géomètres qui écrivirent après lui, donnèrent différentes expressions géométriques, prises dans le cône, de la longueur de ce latiis rectum pour chaque section : mais aucune ne nous a paru aussi simple et aussi élégante que celle de Jacques Bernoulli. La voici : « Que l'on mène un pl;in parallèle à la base du cône, et situé à la même distance de son sommet que le plan de la section conique proposée : ce plan coupera le cône suivant un cercle, dont le diamètre sera le latus rectum de la conique K »

De là on conclut aisément la manière de placer une conique donnée sur un cône aussi donné.

§ 42. Les plus belles propriétés des sections coniques se trouvent dans le traité d'Apollonius. Nous citerons celles des asymptoles, qui font la partie la plus considérable du livre 2; le rapport constant des produits des segments faits, par une conique, sur deux transversales parallèles à deux axes fixes et menées par un point quelconque (propositions 16 à 23 du livre 3); les propriétés principales des foyers de l'ellipse et de l'hyperbole, qu'Apollonius appelle points d'application (même livre, propositions 45 à 52) ^; les deux beaux théorèmes sur les diamètres conjugués (7^ livre, propositions 12 et 22; 30 et 31).

Nous devons citer encore le théorème suivant, qui est devenu d'une si haute importance dans la Géométrie récente, comme étant la base de la théorie des polaires réciproques, et dont La Hire, auparavant, avait déjà fait le fondement de sa théorie des coniques :

« Si, par le point de concours de deux tangentes à une section conique,

' Novum theoreina pro doctrina sectionum conicarum. (Acla Eriid., ann. 1G89, pag. 386.) 2 Voy. la Note IV.

» on tire une tranversale qui rencontre la courbe en deux points, et la » corde qui joint les points de contact des deux tangentes en un troisième » point, ce troisième point et le point de concours des deux tangentes seront » conjugués harmoniques par rapport aux deux premiers. » (Livre 3, proposition 37.)

Les vingt-trois premières propositions du livre 4 sont relatives à la division harmonique des lignes droites tirées dans le plan d'une conique. Ce sont, pour la plupart, divers cas du théorème général que nous venons d'énoncer. Dans les propositions suivantes, Apollonius considère le système de deux coniques, et démontre que ces deux courbes ne peuvent se couper qu'en quatre points. Il examine ce qui arrive quand elles se touchent en un point ou en deux points, et traite de divers autres cas des positions respectives qu'elles peuvent présenter.

Le cinquième livre est le monument le plus précieux du génie d'Apollonius. C'est là qu'ont paru pour la première fois les questions de maxima et de minima. On y retrouve tout ce que les méthodes analytiques d'aujourd'hui nous apprennent sur ce sujet; et l'on y reconnaît le germe de la belle théorie des développées. En effet, Apollonius prouve qu'il existe, de chaque côté de l'axe d'une conique, une suite de points d'où l'on ne peut mener, à la partie opposée de la courbe, qu'une normale; il donne la construction de ces points, et observe que leur continuité sépare deux espaces qui présentent cette différence remarquable, savoir : de chaque point de l'un on peut mener deux normales à la courbe; et, de chaque point de l'autre, on n'en peut mener aucune. Voilà donc les centres d'osculation, et la développée d'une conique parfaitement déterminée.

Apollonius fait usage d'une hyperbole auxiliaire, dont il détermine les éléments, pour construire les pieds des normales abaissées, d'un point donné, sur la conique proposée. Toutes ces recherches sont traitées avec une sagacité admirable.

Ce grand ouvrage avait fait donner à Apollonius le surnom de géomètre par excellence, ainsi que le rapporte Gémi nus.

Les sept premiers livres seuls nous sont parvenus ; les quatre premiers dans leur langue originale et les trois suivants en arabe. Halley a rétabli le huitième clans sa magnifique édition des Coniques cT Apollonius, la seule qui soit complète K

§ i3. Apollonius avait laissé d'autres écrits nombreux, qui avaient la plupart pour objet V Analyse géométrique. Mais un seul, le traité De seclione rationis, nous est parvenu; d'autres, qui avaient pour titres : De seclione spadi; De seclione ileterminalâ ; De tactionibus ; De inclinationibus ; De Locis planis, ont été rétablis par divers géomètres, dans les deux siècles derniers, d'après les indications de Pappus.

Apollonius a la gloire aussi d'avoir appliqué la Géométrie à l'astronomie. On lui attribue la théorie des épicycles, qui servaient à expliquer les phénomènes des stations et des rétrogradations des planètes. Ptolémée le cite, à ce sujet, dans son A Images te.

g 14. Parmi les contemporains d'Archimède et d'Apollonius, on distingue Eratosthéne, qui naquit 276 ans avant l'ère chrétienne (11 ans après Archimède et 31 ans avant Apollonius). Ce philosophe, profond dans tous les genres de savoir, et qui fut, sous le troisième Ptolémée, directeur de la Bibliothèque d'Alexandrie, avait mérité d'être placé au même rang que les trois célèbres géomètres de l'antiquité, Arislée, Euclido et Apollonius, qui avaient travaillé sur l'Analyse géométrique. Pappus cite de lui un ouvrage en deux livres, qui se rapporte à cette méthode, mais qui ne nous est point parvenu. Il avait pour titre : De Locis ad Medietates; nous ne savons ce qu'étaient ces lieux.

Ératosthène avait inventé, pour la solution des deux moyennes proportion-

ERATOSTHENK, né 27(J avant J -C.

' Appollonii Pergœi conicorum libri octo; in-fol., Oxoniae; 1710.

M. Peyrard, dans les préfaces de sa traduction d'Archimède et de sa traduction d'Euclide en trois langues, avait annoncé une traduction française de^ Coniques d'Apollonius. Plusieurs feuilles étaient déjà imprimées quand la mort est venue enlever ce savant laborieux. Il serait à regretter que le fruit de ses travaux fût perdu pour la France. Les fonds destinés à l'encouragement des sciences ne sauraient avoir une application plus utile que la publication de cet ouvrage.

nelles, un instrument appelé mésolabe, qu'il décrit lui-même dans une lettre adressée au roi Ptolémée, et où il fait l'histoire du problème de la duplication du cube. Cette lettre nous a été conservée par Eutocius, dans son Commentaire sur la sphère et le cylindre, d'Archimède. Pappus donne aussi, dans ses Collections mathématiques, la construction du mésolabe d'Éralosthène.

§ 15. Les travaux d'Archimède et d'Apollonius ont marqué l'époque la plus brillante de la Géométrie ancienne.

Depuis, on a pu les regarder comme l'origine et le fondement de deux grandes questions qui ont occupé les géomètres à toutes les époques, et auxquelles se ratlachent la plupart de leurs travaux, qu'elles divisent en deux classes; de telle sorte qu'elles semblent se partager le^lomaine de la Géométrie.

La première de ces deux grandes questions est la quadrature des figures curvilignes, qui a donné naissance au calcul de l'infini, imaginé et perfectionné successivement par Kepler, Cavalieri, Fermât, Leibniz et Newton.

La seconde est la théorie des sections coniques, pour laquelle ont été inventées d'abord l'Analyse géométrique des Anciens, puis les méthodes de la perspective et des transversales; (jui était le prélude de la théorie des courbes géométriques de tous les degrés, et de cette partie considérable de la Géométrie, qui ne considère, dans les propriétés générales de l'étendue, que les formes et les situations des figures; et se sert seulement d'intersections de lignes ou de surfaces, et de rapports de distances rectilignes.

Ces deux grandes divisions de la Géométrie, qui ont leur caractère particulier, pourraient être désignées par les dénominations de Géométrie des mesures et Géométrie des formes et des situations, ou Géométrie d'Archimède et Géométrie d'Apollonius.

Ces deux divisions, du reste, sont celles de toutes les sciences mathématiques, qui ont pour but, suivant l'expression de Descartes, la recherche ARisTOTF, de Vordre et de la mesure ^ Aristote avait déjà émis la même pensée en ces

• « Tous les rapports qui peuvent exister entre les êtres d'un même genre se réduisent à

termes ; « De quoi s'occupent les mathématiciens, si ce n'est de V ordre et de » la proportion ? * »

Cette définition des sciences mathématiques, et les deux grandes divisions qu'elle y marque, s'appliquent surtout à la Géométrie. On a donc lieu de s'étonner que celle-ci soit appelée communément, même dans les meilleurs traités, la science qui a pour objet la mesure de l'étendue. Cette définition, évidemment incomplète, donne une idée fausse du but et de l'objet de la Géométrie. Cette observation n'est peut-être pas dépourvue de toute espèce d'intérêt, et nous lui donnerons suite dans la Note V.

§ 16. Après Archimède et Apollonius, et pendant trois à quatre siècles, quelques géomètres renommés à juste titre, sans égaler ces deux grands hommes, continuèrent à enrichir la Géométrie de découvertes et de théories utiles; ensuite vinrent, pendant deux à trois siècles encore, les commentateurs qui nous ont transmis les ouvrages et les noms des géomètres de l'antiquité; puis enfin les siècles d'ignorance, où la Géométrie a sommeillé chez les Arabes et chez les Persans, jusqu'à la renaissance des lettres en Europe.

Nous allons énoncer rapidement les principaux travaux des écrivains les plus célèbres qui fleurirent dans les deux premières périodes de cet intervalle de dix-sept siècles.

Mais nous devons dire d'abord que l'époque où nous entrons est celle des grands progrès de l'astronomie. C'est à cette science principalement que se rapportent les travaux des géomètres que nous allons avoir à ciler, et que ces géomètres, à l'exception de Nicomède, doivent en grande partie leur célébrité.

Ce changement de direction dans les esprits était une suite nécessaire

deux, Vordre et la mesure. » {Règles pour la direction de l'esprit; ouvrage posthume de Dcscarles, 1 4* règle.)

Précédemment Descartes avait déjà dit : « Toutes les sciences qui ont ()Our but la recherche de Vordre et de la mesure se rapportent aux lualhématiqucs. » [Ihid., 4' règle.)

' 5* chapitre du 1 1* livre de la Métaphysique d'Arislote.

histoirh: de la géométrie.

NICOMÈDE , T. i.'iO avant J.

HIPPABlflE.