TRANSFORMATION DES RELATIONS MÉTRIQUES

115. Toute surface du second degré est représentée par l'équation

Ax* -+- Bj/' -+- C2' 4 Dxy -^ Exz -t- ¥yz -i- Go; -h \hj -f- Iz - 1 = 0.

Si l'on circonscrit à cette surface un cône ayant son sommet au point (x', ij', z'), sa courbe de contact avec la surface sera sur le plan qui a pour équation

(2Ax' -t- D«/' + Ez' -4- G) X -+- (2By' -*■ Dx' -^ Fz' -*■ }\)y ■*■ (2C2' ^ Ex' -+- Fy' -1- 1) z

-+-(Gx' H-Hî/' -+- Iz' H-i>) = 0.

Celte équation ne contenant qu'au premier degré les coordonnées x\ y\ z', il résulte, du théorème 1 (§ II), que si le sommet du cône parcourt un plan, le plan de contact tournera autour d'un point fixe; si le sommet du cône parcourt une droite, le plan de contact tournera autour d'une droite; et en général, si le sommet du cône parcourt une surface du degré m, le plan de contact roulera sur une surface à laquelle on pourra mener, par une même droite, m plans tangents. C'est-à-dire que le plan de contact formera une figure corrélative de la figure parcourue par le sommet du cône.

Le plan de contact mobile est appelé le plan polaire du sommet du cône, et ce sommet est dit le pôle du plan.

Ainsi la théorie des pôles et des plans polaires peut servir pour la construction des figures corrélatives.

3 1 6. Ajoutons, à ces propriétés descriptives des figures polaires réciproques, la suivante, qui concerne leurs relations de grandeur :

Si le sommet du cône prend quatre positions a, b, c, d, en ligne droite, le plan de contact prendra quatre positions A, B, C, D, telles qu'on aura toujours

sin.C,A sin.D, A ca da sin.C, B* sin.D, B cb db'

Ce qui résulte du théorème IV (§ II).

Cette relation complète la théorie des polaires réciproques, considérée dans ses applications à la construction des figures corrélatives et à la démonstration des deux parties du principe de dualité.

H 7. Remarquons que l'équation du plan mobile, telle que la donne cette théorie, ne renferme que neuf constantes arbitraires, tandis que l'équation générale, qui nous a servi à démontrer le principe de dualité, en contient quinze. Le mode de construction des figures corrélatives, qui résulte de cette théorie, n'est donc pas le plus général ; de sorte qu'une figure donnée, et sa corrélative construite par cette théorie, n'offrent pas, dans leur ensemble, la plus grande généralité possible (ce que nous rendrons évident dans paragraphe suivant). On peut donc espérer qu'en disposant convenable-j

ment des quinze constantes arbitraires, on parviendra à des modes de construction qui oiTriront, entre les deux figures, des relations que ne peut donner la théorie des polaires; de même qu'en variant la forme de la surface du second degré auxiliaire, on peut obtenir, de celle théorie, des propriétés différentes des figures.

Ainsi, en prenant une sphère pour surface auxiliaire, M. Poncelet, et d'autres Géomètres ensuite, sont parvenus à des résultats fort intéressants, concernant les relations d'angles des figures. [Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques; Journal de i\i. Crelle^ t. IV.)

En prenant un paraboloïde, nous avons obtenu des résultais d'un autre genre, concernant principalement les relations métriques. (Correspondance mathématique de M. Quetelel, tomes V et VI.)

H8. On sait que quand le plan polaire d'un point passe par un second point, réciproquement le plan polaire de ce second point passe par le premier. C'est de là qu'est venue la dénomination de polaires réciproques.

Cette propriété résulte de ce que l'équation du plan polaire d'un point (a?', y', z') ne change pas, quand on y met a?, y, z, à la place de a;', y', z' , et réciproquement.

Ainsi les plans polaires des différents points d'un plan P passent par un même point /?, qui lui-même a pour plan polaire, par rapport à la même surface, précisément le plan P.

II suit de là que, dans les figures corrélatives construites par la théorie des polaires, à un même point de l'espace, considéré comme appartenant successivement à la figure proposée, puis à sa corrélative, correspond un même plan.

119. Cela n'a pas lieu, en général, dans la construction des figures corrélatives, ainsi que nous l'avons déjà vu (93). C'est donc là un des caractères particuliers des figures corrélatives construites par la théorie des polaires. Ce caractère se présente dans d'autres modes de construction, ainsi que nous le verrons dans un des paragrEfphes suivants. Mais il est important de remarquer ici que cette identité de construction des deux figures corrélatives, l'une par l'autre, dans la théorie des polaires, doit être regardée, dans la

théorie générale des ligures corrélatives, comme un fait accidentel, tout à fait indiiïérent, soit pour la démonslralion du principe de dualité, soit pour Tapplicalion de celle théorie à la iransformalion des propriétés de l'étendue.

120. Nous ne saurions trop appeler rallenlion du lecteur sur l'équation (H6):

sin.C, A

sin.D,A

ca da

«in.C,B

sin.D,B

cb'db'

qui représente toutes les relations immédiatement transformables par la théorie des polaires, de même que par les autres méthocTes du même genre. Faute d'avoir aperçu cette relation, et de l'avoir reconnue comme le type unique de toutes celles que l'on pouvait soumettre à la théorie des polaires réciproques, on a été obligé de faire intervenir^ dans les transformations polaires j la théorie des déformations par voie de perspective, pour les figures planes, et par la considération des figures homologiques, pour les figures à trois dimensions. De sorte que l'on a fait dépendre les applications du principe de dualité, de la théorie des figures homologiques *, tandis que

* M. Poncelet, dans son Mémoire sur ta théorie générale des polaires réciproques, après avoir pris une conique, ou une surface du second degré quelconque, pour transformer les relations descriptives, prend, pour la transformation des relations métriques, un cercle et une sphère. Puis il justifie cette méthode et démontre la généralité de ses résultats, en ces termes : « On peut remarquer en passant, qu'attendu la nature particulière des relations que nous » venons d'examiner, ces différents théorèmes auraient lieu, d'une manière analogue, dans le » cas où, à la place d'un cercle, on prendrait une section conique quelconque pour directrice » ou auxiliaire; car on peut toujours considérer l'un de ces systèmes comme la perspective ou » projection centrale de l'autre, pourvu néanmoins que les figures auxquelles ils se rapportent » soient elles-mêmes projectives de leur nature, et ne concernent par conséquent aucune » grandeur constante et déterminée.

» Au surplus, je crois devoir le dire expressément, cette observation, qui s'applique égale- » ment au cas de l'espace que nous aurons bientôt à examiner, n'ajoute rien à la généralité ;) des conséquences qu'il est possible de déduire des théorèmes précédents, quoique leur » énoncé suppose que les figures polaires réciproques soient prises simplement par rapport à » un cercle auxiliaire. » (Voir Jou/nal de M. Crelle. t. IV, p. 55.)

Ainsi M. Poncelet démontre a posteriori, au moyen de la Perspective, 1a généralité de transformations faites sur le plan, avec un cercle pour conique auxiliaire. Pour le cas de Tespac

MEMOIRE DE GEOMETRIE. 66i

run cl l'autre doivent avoir une égale indépendance et une égale facilité d'action. Et si même Ton veut établir des rapports entre Tun et Pautre, ce sera la théorie des figures homologiques qui pourra dériver complètement du principe de dualité, comme nous le ferons voir au commencement de la seconde partie de cet écrit, tandis que ce principe ne peut nullement dériver de celte théorie. Aussi, dans nos applications du principe de dualité, nous n'avons point été obligé de rechercher, comme on avait fait auparavant, les relations projectives, c'est-à-dire qui sont transformables par la Perspective ou par la théorie des figures homologiques; l'équation ci-dessus, et les diverses interprétations que nous lui avons données (§ III), ont représenté toutes les relations transformables, dont nous n'avons point eu à faire l'énumération. Il nous a suffi toujours de ramener les relations proposées à la forme du rapport anharmonique, et de leur appliquer, d'une manière invariable, le principe de l'équation (1) (même paragraphe, n° 12) ou de ses diverses interprétations.

Mais, pourra-l-on dire, la relation anharmonique est elle-même projective, et par conséquent de celles que l'on sait transformer par la théorie des polaires. Cela est vrai. Mais il est vrai aussi : 1" que celte relation n'a jamais été transformée d'une manière générale, et qu'elle n'aurait pu l'être, dans l'état où nous avons pris la théorie des polaires en entreprenant cet écrit, qu'au moyen d'une sphère ou d'un paraboloïde pour surface auxiliaire, parce que la propriété des surfaces du second degré, exprimée par l'équalion cidessus, est nouvelle ; 2° que, bien que la relation anharmonique soit projeclive, on n'a pas songé à la prendre pour le type unique des relations projectives, ni des relations transformables par le principe de dualité, c'està-dire pour la forme unique à laquelle devaient être comparées et ramenées toutes les autres relations ; ce qui donne un caractère de généralité et de précision aux méthodes de transformation, qui auparavant étaient restreintes, et avaient quelque chose de vague et d'incertain dans leurs applications.

il n'indique pas la démonstration analogue; mais on comprend que ce sera par son ingënieuse théorie des figures homologiques, dont il a déjà fait de nombreuses et belles applications, dans le supplément de son Traité des propriétés projectives des figures.

Les théorèmes nouveaux auxquels nous sommes parvenu dans les paragraphes précédents, la généralité qu'ils comportent, et la facilité avec laquelle nous les avons obtenus, nous semblent justifier l'importance que nous attachons à la relation anharmonique et à l'équation ci-dessus.

121. Celte équation, abstraction faite de son importance dans la théorie des polaires réciproques, considérée comme moyen de tranformation des figures, exprime une belle propriété des surfaces du second degré, dont on n'a pas encore fait usage, et qui mérite d'être introduite dans la théorie de ces surfaces, où elle sera susceptible d'applications très nombreuses. Nous en présenterons, pour le moment, une seule qui, concernant la description des figures polaires réciproques, ne sera point étrangère à l'objet de cet écrit; et même les théorèmes que nous y démontrerons nous seront utiles dans le paragraphe suivant. xMais, pour ne point interrompre notre examen des différentes méthodes particulières propres à la construction des figures corrélatives, nous reportons celte application de l'équation en question dans un dernier paragraphe, sous le titre de Note.

§ XXIII. Autre méthode, tirée de la considération des surfaces du second

DEGRÉ, ET PLUS GÉNÉRALE QUE CELLE DES POLAIRES RÉCIPROQUES. APPLI- CATION de cette Méthode.

122. Soit l'équation d'une surface du second degré. Prenons, pour l'équation d'un plan mobile,

Ax'x •+- By'ij -+- Cz'z = 1 ■+• Lx' -t- M?/' -+- Nz',

OÙ x', y', z' sont les coordonnées du point directeur m' (§ 1®"").

Nous allons parvenir, par la considération de la surface du second degré, à une relation géométrique entre ce point directeur et le plan mobile.

Ce pian a pour pôle, dans la surface du second degré, un point m", dont les coordonnées x", y", z'', ont pour expressions