CORRÉLATIVES

114. Il nous reste à examiner diverses méthodes particulières, propres à la construction des figures corrélatives, dont nous n'avons point voulu parler encore, pour mieux montrer combien le principe de dualité, démontré directement, et envisagé de la manière la plus générale dans ses deux parties est d'un usage facile et spontané. Mais on conçoit que des méthodes particulières pourraient, dans certains cas, offrir des avantages, parce qu'elles établiraient, entre deux figures corrélatives, quelques rapports particuliers, qui n'ont pas lieu explicitement, en général, dans deux figures corrélatives quelconques. Par exemple, ne pourrait-on pas établir la corrélation de manière qu'il y eût, entre les deux figures, des relations concernant certains éléments de ces figures, tels que les volumes, les surfaces, les longueurs de courbes, etc.? De telles corrélations particulières conduiraient certainement à une foule de vérités géométriques que l'on ne peut soupçonner.

Le moyen de recherche, dans cette question d'une si haute importance, nous semble renfermé dans le peu d'Analyse qui nous a servi à mettre en évidence le principe de dualité. En elîet, pour former une figure corrélative d'une figure donnée, analytiquement, ou géométriquement, on dispose

de quinze conslanles arbitraires; et chaque variation dans une ou dans plusieurs de ces constantes, donnera une figure différente. On devra donc prendre Téqualion générale du plan mobile, où entrent ces quinze constantes, et chercher quelles sont les différentes variétés de cette équation, ou les valeurs particulières de ces constantes, qui peuvent conduire à des modes de construction des figures corrélatives, propres à mettre en évidence des relations, de certaine nature, entre les deux figures. Ce ne sera point le hasard qui guidera dans de telles recherches. Mais différents rapprochements entre des propriétés connues, différentes circonstances géométriques, pourront conduire à des analogies que Ton soumettra à TAnalyse, que nous venons d'indiquer comme la source commune de toutes les méthodes pour établir la corrélation.

Nous allons examiner rapidement plusieurs de ces méthodes, et montrer ce que les figures ont de particulier et de caractéristique dans chacune d'elles.

La première, et la seule qui soit encore connue, est fondée sur la théorie des polaires réciproques, si usitée maintenant, mais à laquelle on n'a point appliqué, dans sa généralité, et comme type unique des relations métriques transformables, le théorème qui constitue la seconde partie du principe de

dualité.

§ XXII. Méthode des polaires réciproques. — Réflexions sur la