La formule
om'
Ofx.= X. ——
mp
ne donne directement que les points m' de la figure A', correspondant aux plans de la figure A, et non les plans de la figure A', correspondant aux points de la figure A. Mais il est facile d'en tirer la manière de construire ces plans. Pour cela, étant donné un point s de la figure A, on concevra, mené par ce point, un plan perpendiculaire à la droite os; on prendra, dans la surface A', le point correspondant à ce plan, et la droite correspondant à la droite os : le plan mené par ce point et par celte droite sera le plan cherché.
D'où l'on conclut que :
Pour construire le plan S' de la figure A', correspondant à un point s de la figure A, on tirera la droite os, sur laquelle on prendra le point s' déterminé par la formule
os = A
os'
Par le point o, on mènera un plan perpendiculaire à la droite os ; ce plî
coupera le plan fixe P suivant une droite : le plan mené par cette droite et par le point s' sera le plan cherché, qui correspond, dans la figure A', au point s de la figure A.
1 29. Première application. Soit une sphère A ayant son centre en o. Menons-lui un plan tangent : la distance 0(x de ce plan, au point o, sera égale au rayon R de la sphère. On aura donc
om' R
— — - = — =const.
Ce qui prouve que la figure A' est une surface du second degré, de révolution, qui a un foyer en o, el le plan P pour plan directeur, correspondant à ce foyer.
Nous aurions pu dire, a priori, que la surface A' serait de révolution, parce que la sphère proposée A est placée symétriquement par rapport au plan P ; et alors l'équation ^ = const. aurait démontré la propriété du foyer el du plan directeur.
\ 30. Considérons trois plans diamétraux rectangulaires dans la sphère A ; il leur correspondra, dans la surface de révolution A', trois points situés dans le plan P, qui seront tels que le plan polaire de chacun de ces points, par rapport à la surface de révolution, passera par les deux autres points. Ces trois points seront, par construction, sur les perpendiculaires aux trois plans diamétraux de la sphère, menées par le point o. Ces trois droites sont trois axes conjugués * de la surface de révolution, relatifs au point o, parce que ce point est le pôle du plan fixe, par rapport à cette surface. On conclut de là que :
Dans une surface du second degré, de révolution, trois axes conjugués, relatifs à un foyer, sont rectangulaires,
131. Supposons maintenant que la figure A soit une sphère ayant son centre en un point quelconque s. La surface A' sera du second degré, el
* Voir § IX, n» 35, la définition des axes conjugués, relatifs à un point.
Ton aura un plan S, correspondant au point s, qui sera le plan polaire du point 0 par rapport à cette surface A' *.
A trois plans diamétraux rectangulaires de la sphère, correspondront trois points silués dans le plan S, qui seront tels que le plan polaire de chacun d'eux, par rapport à la surface A', passera par les deux autres. Les droites menées du point o, à ces trois points^ seront rectangulaires, comme étant, par construction, respectivement perpendiculaires aux trois plans diamétraux de la sphère; et ces trois droites seront trois axes conjugués, relatifs au point o, puisque ce point est le pôle du plan S, par rapport à la surface A'. Ainsi trois axes conjugués, relatifs au point o, sont rectangulaires; ce qui prouve que la surface A' esl de révolution^ et qu'elle a le point 0 pour foyer, et le plan S pour plan directeur correspondant.
Cette surface est située d'une manière quelconque par rapport au plan P, puisque la direction de son plan directeur S dépend de la position du centre s de la sphère proposée, et que ce centre est pris arbitrairement dans l'espace.
Si la sphère enveloppe le point o, la surface A' ne coupera pas le plan P, parce que si elle le coupait, à la courbe d'intersection correspondrait un cône circonscrit à la sphère, et ayant le point o pour sommet.
El si, au contraire, le point o se trouve au dehors de la sphère A, le plan P coupera la surface A'.
132. C'est un théorème de Géométrie élémentaire, facile à démontrer, que « si autour d'un point fixe, on fait tourner une transversale qui rencontre » une sphère en deux points, et qu'on mène les plans tangents en ces » points, la somme ou la différence des valeurs inverses des distances de » ces plans au point fixe^ sera constante. » Ce sera la somme quand le point fixe sera pris au dedans de la sphère, et la différence quand il sera pris au dehors.
Prenons pour le point fixe le point o, et appliquons ce théorème à la
* Car, en général, le plan correspondant au point s est le plan polaire, par rapport à la surface A', du point qui correspond à l'infini de la première figure (27); et ici ce point est le centre de la surface auxiliaire, c'est-à-dire le point o (125).
sphère. A chaque transversale menée par le point o, correspondra, dans la seconde figure, une droite comprise dans le plan P; aux points où la transversale rencontre la sphère, correspondront les plans tangents à la surface A', menés par cette droite; et, aux plans tangents à la sphère, correspondront les points de contact des plans tangents à la surface A'. On conclut donc, du théorème énoncé, d'après la formule
Ofx.= \.
om OU
\ 1 om'
cette propriété générale des surfaces du second degré, de révolution, à foyers : Étant mené un plan transvet^sal, d'une manière quelconque, par rapport à une surface du second degré, de révolution ; si par une droite quelconque, prise dans ce plan, on mène deux plans tangents à la surface, et qu'on prenne pour chacun des deux points de contact le rapport de ces distances à un foyer de la surface et au plan fixe; la somme de ces deux rapports, si le plan fixe ne rencontre pas la surface, ou leur différence, si le plan fixe rencontre la surface, sera une quantité constante.
133. Si le plan fixe est situé à l'infini, les points de contact des deux plans tangents sont les extrémités d'un diamètre de la surface ; la distance d'un de ces points à un foyer est égale à la distance de l'autre point au second foyer; d'où l'on conclut que :
Dans une surface du second degré, de révolution, la somme ou la différence des distances de chaque point de la surface, aux deux foyers, est constante *,
134. Pour mieux montrer sous quel rapport le théorème précédent est une généralisation de cette propriété des foyers, nous remarquerons que la
* Nous verrons, dans la seconde partie de cet écrit (§ XXI), que ces propriétés, qui semblent être particulières aux surfaces du second degré, de révolution, peuvent dériver d'une propriété générale des surfaces géométriques, d'un degré quelconque.
droite qui joint les points de contact des deux plans tangents à la surface, passe par le pôle du plan fixe; et que, par conséquent, le théorème peut être énoncé ainsi :
5^, autour d'un point fixe, on fait tourner une transversale qui rencontre en deux points une surface du second degré, de révolution ; la somme ou la différence des distances de ces points, à un foyer de la surface, divisées par les distances des mêmes points, au plan polaire du point fixe, sera constante.
Ce sera la somme si le point fixe est situé dans l'intérieur de la surface, et la différence s'il est situé en dehors.
Nous pourrions, par, la même méthode de transformation, démontrer diverses autres propriétés nouvelles des foyers des surfaces de révolution; mais elles se présenteront dans nos applications du principe d'homographie.
135. Deuxième application. Soit un polygone régulier, de m côtés, circonscrit à un cercle, et soit n un nombre plus petit que m. La somme des puissances n des perpendiculaires abaissées, d'un point fixe o, sur les côtés du polygone, sera constante, quelle que soit la position du polygone par rapport à ce point. Cela résulte d'un théorème de Slewart, qui donne l'expression de la somme de ces puissances n, en fonction du rayon du cercle, du nombre m et de la distance du point o au centre du cercle *.
Appliquant à ce théorème la formule
Ofi= X ,
. om
on en conclut le suivant :
Si, autour du foyer d'aune conique, on fait tourner une rose des vents, de m rayons;
n étant un nombre plus petit que m;
La somme des puissances n des distances des m points où ces rayons rejicontreront la conique, à une droite fixe, divisées respectivement par les puissances n des dislances de ces points, au foyer de la courbe, sera constante.
136. On peut remplacer, dans ce théorème, la distance de chaque point
* Some gênerai theorems of considérable use in the higher parts of malhemalics ; prop. 40.
de la courbe au foyer, par la dislance de ce point à la direclrice. On donnera ainsi au théorème un autre énoncé. Maintenant si Ton observe que le rapport des dislances d'un point de la courbe, à la droite fixe et à la direclrice, est au rapport des dislances de la tangente en ce point, au pôle de la droite fixe et au foyer, dans une raison constante (voir la note, § XXVI), on conclut, du théorème ci-dessus, le suivant :
Si, autour du foyer d'une conique, on fait tourner une rose des vents, de m rayons; et que, par les m //oinls on ils rencontrent la courbe, on lui mène ses tangentes;
n étant un nombre plus petit que m ;
La somme des puissances n des distances de ces tangentes à un point fixe, divisées par les puissances n de leurs distances au foyer, sera une quantité constante.
137. Ce théorème et le précédent sont susceptibles d'une foule de conséquences, que nous ne pouvons examiner ici. Mais eux-mêmes ne sont que des cas particuliers de propriétés des coniques, très générales, et où n'entre pas nécessairement la considération de leurs foyers. Une partie, par exemple, sont relatives aux diamètres des coniques, et sont une généralisation des propriétés des diamètres conjugués. Nous reviendrons, dans un autre moment, sur cette théorie, qui nous paraît nouvelle, et qui comprendra un très grand nombre de théorèmes.
138. Troisièyne application. Si, autour de deux points fixes, pris sur une circonférence de cercle, on fait tourner deux droiles, dont le point d'intersection soit toujours sur la circonférence; les distances de ces deux droiles à un point fixe, pris arbitrairement sur la circonférence, seront entre elles dans un rapport constant.
Qu'on prenne ce point fixe pour le point o, et qu'on applique à ce théorème la formule de transformation :
Ofl= l. ;;
om
on obtient celte propriété générale des coniques :
Étant menées trois tangentes fixes à une conique; si l'on mène une quatrième tangente quelconque, elle rencontrera les deux premières en deux points tels, que le rapport de leurs distances à la troisième tangente, sera au rapport de leurs distances à un foyer de la courbe, dans une raison constante.
139. Si la conique est une parabole, on pourra prendre, pour la troisième tangente fixe, la tangente située à l'infini, et Ton aura cette propriété de la parabole :
Étant menées deux tangentes fixes à une parabole ; une troisième tangente quelconque les rencontre en deux points, dont le rapport des distances au foyer de la courbe est constant.
140. En considérant, dans le théorème général, deux positions de la tangente mobile, qui feront, avec les premières tangentes fixes, un quadrilatère, on en conclura ce théorème :
Quand un quadrilatère est circonscrit à une conique, le produit des distances d'une cinquième tangente quelconque, à deux sommets opposés du quadrilatère, est au produit des distances de la même tangente aux deux autres sommets, dans un rapport constant;
Et ce rapport est égal au produit des distances d'un foyer de la conique aux deux premiers sommets du quadrilatère, divisé par le produit des dislances du même foyer aux deux autres sommets *.
On voit que chacun des deux foyers joue, en quelque sorte, le même rôle, par rapport aux quatre sommets du quadrilatère, que chacune des tangentes à la courbe.
141. La seconde partie de ce théorème donne une relation entre les quatre sommets d'un quadrilatère circonscrit à une conique et les deux foyers de la courbe, qui est exprimée par le théorème suivant :
* La première partie de ce théorème donne immédiatement, en vertu du théorème t59 (§XXVI), le suivant :
Quand un quadrilatère est inscrit à une conique, le produit des distances d'un point quelconque de la courbe à deux côtés opposés du quadrilatère, est au produit des distances du même point aux deux autres côtés, dans une raison constante.
C'est le théorème ad très aut quatuor lineas des Anciens.
Quand un quadrilatère est circonscrit à une conique, le produit des distances d'un foyer à deux sommets opposés, est au produit des distances du même foyer aux deux autres sommets, dans une raison qui reste la même, quel que soit celui des deux foyers que l'on a pris *.
142. Quatrième application. Soit le ihérème de Cotes sur la division du cercle en parties égales. Donnons-lui, pour en faciliter la transformation, cet énoncé : « Un polygone régulier de 2m côtés étant circon- » scrit à un cercle; si d'un point 0, pris sur la droite indéfinie menée » par le centre du cercle et par le point de contact du premier côté du » polygone, on mène des droites aux points de contact de tous les autres » côtés :
» 1° Le produit des droites menées aux points de contact des côtés de
» rang impair sera égal à OC — R'";
» 2*» Le produit des droites menées aux points de contact des côtés de
» rang pair sera égal à OC + R"';
» R étant le rayon du cercle, et le point C son centre. » Faisons la transformation. Au cercle correspondra une conique ayant son foyer en 0 (131); aux côtés du polygone correspondront des points de la courbe, situés sur des rayons qui diviseront Tespace angulaire, autour de ce foyer, en 2m parties égales ; aux points de contact des côtés du polygone correspondront les tangentes à la conique, menées par les points pris sur elle. Ces tangentes se construiront comme nous Pavons dit (128). On*
* Si l'un des foyers est à rinfîni, cette .raison sera égale à l'unité; d'où il suit que :
Quand un quadrilatère est circonscrit à une parabole, le produit des distatices du foyer de la courbe à deux sommets opposés du quadrilatère, est égal au produit des distances de ce foyer aux deux autres sommets.
Si l'on suppose que les deux premiers sommets du quadrilatère soient deux points de la courbe, les deux autres sommets se confondront avec le point de concours des tangentes en ces deux points; et il en résultera ce théorème :
Quand un angle est circonscrit à une parabole, le produit des distances des points de contact de ses deux (ôtés au foyer de la courbe, est égal au carré de la dislance de son sommet à ce foyer.
Cr théorème est l'un de ceux dont Lambert s'est servi dans ses Insigniores orbitœ cometarum proprietates. (Section 1", lemme 5.)
obtiendra ainsi un ihéorème correspondant, dans une conique quelconque, au théorème de Cotes.
L'expression de ce théorème est un peu comph'quée. Pour la simplifier, nous supposerons que la droite qui, dans la nouvelle figure, est corrélative du point 0 de la première figure, soit située à Tinfini. Alors on a le théorème suivant :
Si l'on divise l'espace angulaire, autour du foyer d'une conique^ en 2m parues égales, en menant 2m rayons, dont le premier coïncide avec le grand axe; et qu'aux points où ces rayons rencontrent la courbe, on lui mène ses tangentes :
Le produit des distances des tangentes de rang impair, au foyer, sera eqal a—- — -, ;
Et le produit des distances des tangentes de rang pair, au foyer, sera
égal à-
di et h étant les deux demi-axes principaux, et c l'excentricité de la conique.
Si la conique est une parabole, on a ce théorème :
Si l'on divise l'espace angulaire, autour du foyer d'une parabole, en 2m parties égales, par 2m rayons, dont le premier coïncide avec l'axe de la parabole, et qu'on mène les tangentes à la courbe, aux m points où les rayons de rang pair la rencontrent ; le produit des perpendiculaires abaissées du .foyer, sur ces tangentes, sera égal à la puissance m de la distance du foyer à la directrice,
§ XXIV. Autres modes de construction des figures corrélatives: par
LE déplacement FINI, OU INFINIMENT PETIT, d'uN CORPS SOLIDE LIBRE DANS l'espace; par la CONSIDÉRATION d'uN SYSTÈME DE FORCES APPLIQUÉES A UN CORPS SOLIDE LIBRE.
143. Quand on a un corps solide, placé d'une manière quelconque par rapport à trois axes coordonnés, que nous supposerons rectangulaires, on sait que si l'on fait éprouver à ce corps un mouvement infiniment petit, les
variations des coordonnées de cha(Min de ses points seront données par les formules suivantes, dues à Euler :
Sx' = âl —y'â^ -+- z'JM, (îy' = (?m — z'âL ■+- xVJN ,
§Z' = fJn — x'rjyi -+- y'rJl ;
où les coeflîcients âl, âm, ân^ 6L, M, cîN sont constants pour tous les points du corps. (Voir les Mémoires de l'Académie de Berlin, année 4750, pag. 185-217, ou la J/cca«///M<? a//a/////V//<e de Lagrange, tom. I*"", pag. 169.) L'équalion du plan mené par un point (a:', //', z'), perpendiculairement à l'élément rectiligne décrit par ce point, pendant le mouvement infiniment petit du corps, est
(x — x') âx' -+- {y — y') rjy' ■+■ {z — z') oz' = 0,
ou
xâx' -4- yrJy' -+- zSz'= x'âx' -+- y'ây' ■+- z'^h'.
Mais le second membre est égal, d'après les formules ci-dessus, à x'ôl -[- î/'^»i + z'<^n; l'équation du plan est donc
xâx' -+■ ySy' -¥■ zôz' = x'êl ■+- y'âm -+- z^n.
âx', âtj', âz' sont des fonctions linéaires des coordonnées x', y', z'; de sorte que l'équation du plan ne contient ces coordonnées qu'au premier degré. On a donc, d'après le théorème I (§ II), cette propriété générale du mouvement d'un corps solide :
Quand un corps solide éprouve un mouvement infiniment petit, les plans normaux aux trajectoires des points du corps, situés dans un même plan, passent tous par un même point ;
Les plans normaux aux trajectoires des points situés sur une même droite, passent tous par une même droite;
Les plans normaux aux trajectoires des points situés sur une surface du second degré, sont tous tangents à une autre surface du second degré;
Et, en général, les plmis normaux aux trajectoires des points d'une surface du degré m, enveloppent une seconde surface géométrique, à laquelle on peut mener m plans tangents par une même droite.
144. Ainsi, quand une figure, de forme quelconque, éprouve un déplacement infiniment petit, les plans normaux aux trajectoires de ses points enveloppent une seconde figure qui est corrélative de la première.
Voilà donc une manière très simple de concevoir la description des figures corrélatives.
145. Celte méthode offre des avantages dans la Géométrie spéculative, parce que les figures y ont une dépendance particulière, qui n'a pas lieu dans la théorie des polaires; c'est que chaque plan de la nouvelle figure passe par le point correspondant de la figure proposée. Cela fait que la seconde partie du principe de corrélation, c'est-à-dire le théorème IV, n'a plus besoin de démonstration : il est une conséquence immédiate de la construction des figures.
146. Mais il y a, entre les deux figures, un rapport de relations métriques beaucoup plus simple, qui repose sur ce théorème :
// existe, dans le corps, un certain axe qui n'a de mouvement que dans sa propre direction;
Les plans normaux aux trajectoires de deux points quelconques a, b du corps rencontrent cet axe en deux points a, Q, qui sont les pieds des perpendiculaires abaissées sur lui, des points a, b;
De sorte que l'on a toujours
aê = aft.cos. (aô, X);
X désignant la direction de Taxe en question.
Ainsi Ton aura, entre les distances des points de la figure proposée et les segments que les plans correspondants, dans la figure corrélative, intercepteront sur l'axe X, des équations de cette forme. Ces équations serviront à convertir les relations métriques de la figure donnée, en relations appartenant à la nouvelle figure.
Nous nous bornons, pour le moment, à énoncer celle proposition, pour ne pas surcharger cet écrit de détails étrangers à son but principal; nous nous proposons de revenir sur ce sujet, pour établir, par de simples considérations de Géométrie, les propriétés générales du mouvement d'un corps solide; lesquelles propriétés sont nombreuses et intéressantes, et sont susceptibles, quoique purement géométriques, d'apporter quelque lumière dans plusieurs questions de Mécanique.
147. Le déplacement fini quelconque d'un corps solide, dans l'espace, peut donner lieu aussi à la construction de figures corrélatives. Cette construction est fondée sur le théorème suivant :
Si l'on a, dans l'espace, deux figures égales, et placées d^une manière quelconque, l'une par rapport à U autre \
Que ton joigne, par des droites, les points de la première figure aux points correspondants de la seconde-, et que, par le milieu de chacune de ces droites on lui mène un plan norynal;
Tous ces plans envelopperont une figure qui sera corrélative de chacune des deux figures proposées, et corrélative, aussi, d'une troisième figure, formée par les points milieux des droites qui joignent les points homologues dans les deux premières.
Donc, si la première est plane, la troisième sera plane aussi ; et les plans menés par ses différents points passeront par un même point (ce point sera situé dans le plan de cette troisième figure).
Si la première figure est une surface du second degré, la troisième figure sera aussi une surface du second degré; et les plans menés par ses points envelopperont une autre surface du second degré.
Nous donnerons dans un autre écrit la démonstration de ces théorèmes, qui peut se faire par de simples considérations de Géométrie, ou par l'Analyse *.
* On peut vérifier aisément ces théorèmes, au moyen des formules suivantes, relatives au déplacement fini' d'un corps solide dans l'espace, en fonctions des six coeflicients indépendants qui suffisent pour exprimer ce déplacement.
Soient x, y, z les coordonnées d'un point du corps, dans sa position primitive, et x', y\ z' les
148. Le mode de construction des figures corrélatives, que nous a fourni le déplacement infiniment petit d'un corps solide, peut être présenté d'une autre manière, où n'entre pas l'idée de mouvement. Voici comment :
Soit une vis, placée d'une manière quelconque dans l'espace; concevons que, par tous les points d'une figure proposée, passent des hélices de la
vis :
d° Les plans normaux à ces hélices, menés par les points de la figure, envelopperont une seconde figure, qui sera corrélative de la première ;
2° Le segment compris sur l'axe de la vis , entre deux plans normaux, sera égal à la projection orthogonale de la droite qui joint les deux points correspondants.
De sorle que les relations métriques de la première figure seront faciles à transporter dans la seconde.
149. Il résulte de là que si l'on coupe la surface d'une vis (a filets triangulaires ou rectangulaires, indifféremment) par un plan quelconque, et que,
coordonnées du même point considéré après le déplacement; ces coordonnées ont des valeurs de la forme
x' = l H-a;\/l-(L«-+-M»-+-N*) + (M2 — Nj/)H — .L.(La;H- My h- Nz),
y' = m -h II l/l— (L*-t- M»-+-N*) + (Nx— LzU ^ ' .M.CLx-hMy-^^z).
OÙ /, m, «, L, M, N, sont six coefficients indépendants.
Ces formules sont la généralisation de celles d'Euler, qui ne convenaient qu'à un déplacement infiniment petit du corps solide.
Elles peuvent servir aussi pour la transformation d'un système de coordonnées rectangulaires en un autre système de coordonnées rectangulaires. Et, sous ce rapport, elles satisfont à une question qui a occupé dans un temps les Géomètres : trouver de telles formules qui ne contiennent que les trois coefficients indépendants nécessaires et suffisants pour exprimer la position des nouveaux axes, et où ces coefficients entrent dune manière symétrique.
Les formules de Monge, qui ont résolu cette question {Mémoires de l'Académie de Turin; années -1784 et 1785), ont l'inconvénient de contenir six expressions radicales différentes. Les formules précédentes n'en contiennent qu'une.
par les différents points de la courbe d'intersection, on mène les plans normaux aux hélices qui passent par ces points, tous ces plans passeront par un même point. Ce point sera situé dans le plan coupant.
Ces considéralions, qui conduisent à diverses propriélés nouvelles de la vis, offrent des méthodes de Géométrie descriptive, pour le dessin des épures relatives à différentes questions qui se présentent dans les arts.
1 30. Voici enfin un dernier mode de construction des figures corrélatives, que nous pouvons exposer sans calcul.
Que Ton conçoive un système de forces sollicilanl un corps solide libre; on pourra les remplacer, d'une infinité de manières, par deux forces uniques F, F'. L'une de ces forces sera tout à fait arbitraire de direction; c'est-àdire que l'on pourra prendre une droite quelconque pour représenter la direction de cette force; la seconde force sera alors déterminée, en direction et en grandeur.
Si l'on cherche le plan du moment principal des forces du système, relatif à un point quelconque de la force F, ce plan passera par la force F'. Donc si l'on fait tourner la première autour d'un point fixe, la seconde ne cessera pas d'être dans un même plan, qui sera le plan du moment principal du système de forces, relatif au point fixe. Et réciproquement, quelle que soit la position de l'une des deux forces dans ce plan, l'autre force passera par le point fixe; d'où il suit que les plans des moments principaux du système de forces, relatifs aux différents points du plan, passeront par le point fixe.
On conclut de là que :
Si l'on conçoit dans l'espace un système de forces, et que l'on prenne les plans des moments principaux de ces forces, relatifs à tous les points d'aune figure, ces points envelopperont une seconde figure, qui sera corrélative de la première. C'est-à-dire (|ue les plans relatifs à des points situés sur un plan, passeront par un même point; les plans relatifs à des points situés en ligne droite, passeront par une même droite; les plans relatifs à des points situés sur une surface du second degré, envelopperont une autre surface du second degré, etc.
151. Quant aux relations métriques de la nouvelle figure, on les conclura de celles de la figure proposée, au moyen de la proposition suivante, dont la démonstration est sans difficulté, mais serait ici sans intérêt :
Si l'on prend un certain axe fixe, parallèle à la rémllanle de toutes les forces (Paxe que M. Poinsot a appelé Vaxe central des moments*), le segment intercepté sur cet axe, par deux plans quelconques appartenant à l'une des deux figures, sera égal à la projection orthogonale, sur cet axe, de la droite qui joint les deux points correspondants, dans l'autre figure.
§ XXV. Caractères particuliers de divers modes de construction
DES figures corrélatives.
152. Nous avons vu que la théorie des polaires réciproques n'offre pas la construction la plus générale des figures corrélatives, parce qu'elle ne permet de disposer que de neuf constantes, au lieu de quinze. Il en est de même des autres modes que nous venons d'exposer dans le paragraphe précédent, dans chacun desquels on ne peut disposer que de six constantes. Dans ces dernières méthodes, les figures corrélatives ont un caractère particulier: c'est que les plans d'une figure passent par les points de l'autre figure auxquels ils correspondent. Mais ces méthodes ont un autre caractère propre, qui leur est commun avec celle des polaires réciproques, et qui ne se présente pas d'une manière aussi palpable : c'est une réciprocité parfaite entre deux figures corrélatives; réciprocité qui consiste en ce que si, après avoir construit la figure corrélative A' d'une figure A, on voulait, par le même mode de construction, former la figure corrélative de A', on retrouverait la figure A. Cela a lieu, comme on sait, dans la théorie des polaires, parce que le point fixe, par lequel passent tous les plans polaires des différents points d'un plan, a précisément pour plan polaire ce plan (118). Il en est de même dans la construction des figures corrélatives, par voie de mouvement infini-
* Eléments de Statique ; 6* édition, page 558.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 68i
monl petit; c'esl-à-dire que si la figure, enveloppe des plans normaux aux Irajecloires des points de la figure proposée, éprouvait elle-même le même mouvement, les plans normaux aux irajecloires de ses points envelopperaient la première figure : cela provient de ce que le point par lequel passent les plans normaux aux trajectoires de tous les points d'un plan, a sa trajectoire normale à ce plan.
Il en est de même, aussi, dans le mode de construction fondé sur la considération d'un système de forces; c'est-à-dire que si, après avoir construit la figure enveloppe des plans des moments principaux d'un système de forces, relatifs aux différents points d'une première figure, on construisait la figure enveloppe des plans des moments principaux des points de celle nouvelle figure, par rapport au même système de forces, on retrouverait la première figure. Cela vient de ce que le point par lequel passent les plans des moments principaux des différents points d'un même plan, a précisément son moment principal situé dans ce plan.
il}^. Il est naturel de chercher s'il n'existerait pas d'antres systèmes de figures corrélatives, où une pareille réciprocité aurait lieu.
Nous allons prendre la question d'un peu plus haut ; et d'abord nous proposer la suivante :
Quand un point directeur parcourt une surface A, le plan mobile enveloppe une surface A' (§ II, théorème I);
Si l'on suppose qu'un nouveau point directeur parcoure cette surface A'; quelle devra être l'équation d'un nouveau plan mobile, entraîné par ce nouveau point directeur, pour qu'il enveloppe la première surface A?
Soient x' , y', z' les coordonnées du point directeur situé sur la surface A, et
Xx'-4- Yt/' -t- Zz'=U,
l'équation du plan mobile : ce plan enveloppe la surface A'. Soit
Lx -H My -+- Nz = 1 ,
l'équation d'un plan tangent à la surface A, en un point a. Si le point
directeur parcourt ce plan, le plan mobile tournera autour d'un point de la surface A', dont les coordonnées sont données par les trois équations
et ce point est précisément celui où le plan mobile touche la surface A', quand le point directeur est en a (théorème 11).
Soient x" , y", z" les coordonnées de ce point. Remplaçons, dans les trois équations précédentes, X, Y, Z, U par X", Y", Z", U", pour indiquer que les trois variables y ont les valeurs x", y", z"; nous aurons les trois équations
L'équation
représente un plan mobile, entraîné par le mouvement du point (x", y", z"). Si nous supposons que ce point soit sur la suface A', les trois équations précédentes auront lieu; par conséquent, Téquation générale de son plan mobile se réduira à
Lx H- My -+- Nz = 1 .
C'est précisément l'équation du plan tangent à la surface A. L'équation
est donc celle qui convient au second plan mobile, pour qu'il enveloppe la surface A, pendant que son point directeur parcourt la surface A'.
Or, on voit que, pour former cette équation, il faut changer, dans l'équation du premier plan mobile, les coordonnées courantes en celles du second point directeur, et celles du premier point directeur en coordonnées courantes. On peut donc énoncer ce théorème général :
Quand l'équation d'un plan mobile contient, au premier degré, les coordonnées x', y', z', d'un point directeur; si l'on y change les coordonnées cou-
rantes x, y, z, en x', y', z', et vice versa, on aura une seconde équation qui représentera un second plan mobile, correspondant au même point directeur;
Si le point directeur parcourt une surface \, le premier plan mobile enveloppera une surface A';
El si le point directeur parcourt la surface A', le second plan mobile enveloppera la première surface A.
Ainsi les deux surfaces jouissent de la propriété réciproque d'être engendrées Tune au moyen de l'autre, mais par deux plans mobiles différents, c'esl-à-dire dont les équations sont différentes.
1d4. D'après cela, si l'on veut que le plan mobile ait la même équation, ou la même construction géométrique, pour les deux surfaces, comme cela a lieu dans la théorie des polaires réciproques et dans les autres systèmes qui reposent, soit sur le déplacement d'un corps solide, soit sur la considération d'un système de forces, il faut que l'équation du plan mobile soit symétrique par rapport aux coordonnées courantes et à celles du point directeur; car alors elle restera la même quand on y changera x, //, z en x'j y', z', et vice versa, et les deux plans mobiles, du théorème précédent, auront la même équation.
Cela a lieu dans la théorie des polaires : l'équation du plan polaire d'un point reste la même quand on y met les coordonnées de ce point à la place des coordonnées courantes, et vice versa. Il en est de même pour le plan normal à la trajectoire d'un point d'une figure de forme invariable, qui éprouve un déplacement infiniment petit; ce qu'on voit d'après l'équation de ce plan norma-l (143). Il en est de même aussi pour le plan du moment principal d'un système de forces, pris par rapport à un point : l'équation de ce plan reste la même si l'on y remplace les coordonnées courantes par les coordonnées du point, et vice versa. Car, en supposant les trois axes coordonnés rectangulaires, et en désignant par A„ Aj,, A, les sommes des composantes, suivant ces trois axes, des forces du système, transportées toutes à l'origine, et par M^, M , M,, les projections, sur les plans yz, zx et xy, du moment prin-
cipal relatif à celte origine, on trouve que le plan du moment principal d'un point quelconque {x' , y', z'), a pour équation
{z'\ — y' A, — M,) X -t- {x'A, — z'A, — M,) ij -4- [y'A^ — x'Ay — M,) z -4- x'M^ ■+- y'î^^y-*- z'M, = 0 ;
et une simple vérification fait voir que celle équation reste la même quand on y change les coordonnées courantes x, y, z, en x', y', z', et vice versa.
L'équation du plan mobile, dans ce dernier mode de construction des figures corrélatives, a tout à fait la même forme que celle du plan normal à la trajectoire d'un point d'une figure en mouvement : il y a en effet, dans ces deux questions, des rapports intimes remarquables, dont il serait hors de propos de parler ici, et sur lesquels nous reviendrons ailleurs.
155. Il nous reste à faire voir que, chaque fois que l'équation du plan mobile sera symétrique, comme dans les exemples précédents, elle aura nécessairement la forme de l'équation du plan polaire d'un point par rapport à une surface du second degré, ou celle du plan normal à la trajectoire d'un point d'un corps solide en mouvement.
En effet, l'équation générale du plan mobile est de la forme
{ax -4- by -t- cz — rf) x' -4- {a'x -+- b'y -+- c'z — d') y' -t- (a"x -+- b"y ■*- c"z — d") z' — {a"'x -H b"'y -h c"'z — d"') = 0,
Cette équation sera la même, après le changement de x, y, z en x', y', z' , et vice versa, si son premier membre est resté identiquement le même, soit avec le même signe, soit avec un signe différent.
Dans le premier cas, en comparant le premier membre à ce qu'il devient par le changement en question, on trouve les six conditions :
MÉiVIOIRE DE GÉOMÉTRIE. 685
el, dans le second cas, on trouve les conditions
Telles sont les deux seules solutions de la question.
Les deux équations du plan mobile, qui y correspondent, sont
ax'x -t- b'y'y ■+■ c"z'z -»- 6 (t/'x -f- x'xj) + c {z'x -i- x'z) -+- 6" {z'y -4- y'z) — d{x-hx')-~ d' {y ■*- y') — d" (z -h z') — d'" = 0
et
Faisons -
la première équation devient
(2Ax' ■+■ Dy' -t- E;?' + G) X H- (2By' -♦- Dx' -+- Fz' -+- II) y -+- {2C2' -t- Ex' -. Fî/' H- I ) z -+- Gx' 4- Il</' -+- Iz' rf'" = 0.
C'est Téqualion du plan polaire du point (a?', ?/', 2'), par rapport à la surface du second degré qui a pour équation
d"' Ax' -t- Bîy' -+- Cz' -\- Bxy -h Exz -t- Fyz -t- Gx -♦- Ht/ -+- Iz — — = 0.
Donc, dans le premier cas, le plan mobile pourra toujours être considéré comme le plan polaire du point directeur, par rapport à une surface du second degré.
Nous devons faire observer que cette surface pourrait être imaginaire; alors, en changeant le signe du dernier terme de son équation, on aurait une surface réelle. Ainsi l'on pourrait encore, dans ce cas, diriger le mouve-
ment du plan mobile par la considération d'une surface auxiliaire, du second degré.
Dans le second cas, si l'on fait
d = — M, d' = — âm, d"=^ — ân, h^m, c = m, b" = SL,
l'équation du plan mobile devient
(a; — x') âl + {y - y') Sm + (2 — z'} ân — {y'x — x'y) JN - {x'z — z'x) M — {z'y - y'z) âh = 0.
C'est l'équation du plan normal à la trajectoire du point (^', y', z'), considéré comme appartenant à une figure de forme invariable, qui a éprouvé un mouvement inflnimenl petit.
Remarquons que cette équation est vérifiée par x = x' , y = y' , z =2;'.
