De cette analyse, il résulte que

Quand l'équation d'un plan mobile contient , au premier degré, les coordonnées x', y', z' d'un point, et qu'elle reste la même quand on y change les coordonnées courantes x, y, z en x', y', z', et vice versa, elle ne peut avoir que deux formes différentes; et le plan mobile peut être considéré comme le plan polaire du point Ç\',,y', z'), par rapport à une surface du second degré, déterminée ; ou bien comme le plan normal à la trajectoire du point (x', y', z'), regardé comme appartenayit à un corps solide qui éprouve un mouvement infiniment petit.

Mais on conçoit que ces deux formes de l'équation du plan mobile pourraient avoir d'autres interprétations géométriques; comme nous l'avons fait voir à l'égard de la seconde, qui convient aussi au plan du moment principal d'un système de forces, relatif au point [x' , y' , z').

§ XXVI. Note sur une propriété générale des surfaces du second degré. lo7. La propriété dont il s'agit est exprimée par Téqualion

sin.C,A sin D.A ca du

où A, B, C, D sont quatre plans quelconques, passant par une même droite, et a, b, c, d les pôles de ces plans, respectivement, par rapport à une surface du second deiçré.

Colle propriété est bien simple ; néanmoins elle est Tune des plus fécondes de la théorie des surfaces du second degré; nous aurons à en faire ailleurs un grand usage; pour le moment, nous allons en présenter une seule application, concernant la description des figures réciproques.

L'équation (1) est résultée de notre théorie générale des figures corrélatives, et n'a pas besoin d'une démonstralioii particulière; cependant, à cause des nombreuses conséquences du principe exprimé par celle équation, indépendamment de ses usages dans la théorie des transformations, nous allons en donner une démonstration directe; ce qui est chose très facile.

Soient a, g, y, è les points où les plans A, B, C, D rencontrent la droite L sur laquelle sont situés les points a, 6, c, d\ ces plans passent par une même droite; par conséquent on aura, par la propriété du rapport anhannouique (Note IX) :

sin.C, A sin.D,A ya. Sa sin.C,B*sin.D,B~~^'^*

Il sufïit donc, pour démontrer l'équation (4), de prouver que l'on a

ya. Sa. ca da rê * <î6 ~ cb' db'

Or, le point a étant le pôle du plan A, les points a et a sont conjugués harmoniques par rapport aux deux points où la droite L rencontre la surface.

688 MEMOIRE DE GÉOMETKIE.

Pareillement, les points 6, ê sont conjugués harmoniques par rapport aux deux mêmes points ; il en est de même des points c, y et des points cl, ^; donc trois quelconques de ces quatre systèmes de deux points forment une involution (Note X, art. 12 bis, p. 5S5); et^ par suile, les huit points ont entre eux la felation que nous voulions démontrer (même Note, n" 9).

158. Maintenant, pour faire l'application de la formule (1), que nous nous proposons, écrivons ainsi cette formule

ac sin.A,C ad sin.A.D bc sin.li,C 6rf sin.BjD

Le second membre est constant, quels que soient le point c et son plan polaire C. Que, dans le plan C, on prenne un point m : son plan polaire M passera par le pôle c du plan C. Le rapport des distances du point m, aux deux plans A, B, sera égal à ^l'^' ^ ^, ; le rapport des distances du plan M, aux deux points a, 6, sera égal à ^; et, d'après l'équation ci-dessus, ces deux rapports seront entre eux dans une raison constante.

On a donc celte propriété générale des surfaces du second degré : Étant pris dans l'espace deux points fixes a, b, et leurs plans polaires A, B, par rapport à une surface du second degré; si l'on mène un plan transversal quelconque , le rapport de ses distances aux deux points a, b, sera au rapport des distances du pôle de ce plan, aux deux plans A, B, dans une raison constante, quel que soit le plan transversal,

1 59. Si le plan transversal est tangent à la surface, son pôle sera le point de contact; on en conclut que :

Étant pris dans l'espace deux points fixes, et leurs plans polaires par rapport à une surface du second degré ; le rapport des distances d'un point quelconque de la surface, à ces deux plans, sera au rapport des distances du pla?i tangent à la surface, en ce point, aux deux points fixes, dans une raison constante.

D'après cela, on reconnaît que plusieurs des théorèmes que nous avons démontrés, sur les plans tangents à une surface du second degré, menés par

MÉiMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 689

les exlrémités de trois axes conjugués, relatifs à un point fixe, donnent immédiatement lieu à d'autres ihéorènies diiïérenls, concernant les extrémités mêmes de ces trois axes conjugués.

Mais ces théorèmes devant se présenter dans la seconde partie de celécril, comme application directe du principe de déformation homographique, nous ne les énoncerons pas ici.

1()0. Soient C un plan transversal, mené arbitrairement dans l'espace, et c son pôle, par rapport à la surface du second degré. Désignons par (c) la dislance du point a au plan C; ces deux expressions seront égales, mais envisagées sous un point de vue dilTérent.

D'après cette notation, le théorème (juc nous venons de démontrer s'exprimera ainsi

X étant une constante, indépendante de la position du plan transversal Cet de son pôle c.

Pour déterminer cette constante, supposons que le plan C se confonde avec le plan B; le point c se confondra avec le point 6; et il viendra

\bl

Or, (^) est égal à (y, comme exprimant la même dislance; il reste donc d'où

D'après celte valeur de X, l'équation ci-dessus devient

Cette équation est susceptible de plusieurs conséquences.

161. D'abord, elle élablil une relation générale entre trois plans quelconques et leurs pôles, pris par rapport à une surface du second degré; relation qui fait voir que, trois plans étant donnés, on ne peut pas prendre arbitrairement trois points pour représenter les pôles des trois plans, par rapport à une surface du second degré. Deux de ces points peuvent être pris arbitrairement, mais le troisième doit être assujetti à une certaine condilion, exprimée par l'équation (2). L'expression géométrique de cette condition est que le troisième pôle doit être pris sur un certain plan déterminé.

Car l'équation (2) fait connaître le rapport (l) : ([.), qui lui-même détermine la position du plan mené par la droite d'intersection des deux plans A, B, et par le pôle c du troisième plan C.