V^oici comment nous énoncerons ce principe
Une figure de forme quelconque étant donnée dans l'espace, on peut toujours concevoir une seconde figure du même genre, et jouissant des mêmes propriétés descriptives que la première, c'est-à-dire qu'à chaque point, (I chaque plan, à chaque droite de la première figure, correspondront, dans la seconde, un point, un plan, une droite;
(.96 MÉMOIRE DE GÈOMETKIE.
Aux points à l'infini dans la première figure, correspondront, dans la seconde, des points situés tous sur un même plan; de sorte qu'à des faisceaux de droites parallèles, appartenant à la première figure, correspondront, dans la seconde, des faisceaux de droites concourant en des points situés tous sur un même plan;
Les deux figures auront entre elles des relations de grandeur, consistant en ce que : '
{"Le rapport anharmonique de quatre points situés en ligne droite, dans la première figure, sera égal au rapport anharmonique des quatre points homologues, dans la seconde figure;
2° Le rapport anharmonique de quatre plans de la première figure, passant par une même droite, sera égal au rapport anharmonique des quatre plans homologues, dans la seconde figure.
Ainsi a, b, c, d étant quatre points quelconques de la première figure, situés en ligne droite, et a', b' , c', d' étant les quatre points homologues dans la seconde figure, on aura toujours Tégalité
ca (la c'a' d'à ^' cb'd'b^'c^''Fb''
et A, B, C, D étant quatre plans quelconques de la première figure, passant par une même droite, et A', B', C, D' étant les quatre plans homologues dans la seconde figure, ou aura l'égalité
sin.C, A sin.D, A sin.C, A' sin.D',A'
^' sin.C,B sin.D,B sin C, B' sin.D,B'
La démonstration de ce principe est hien simple; il suffît de concevoir une figure A' corrélative de la proposée A, c'esl-à-dire sa transformée par le principe de dualité; puis de former une autre figure A" corrélative de A'; il est clair que A" sera du même genre que A, et que les deux figures auront entre elles toutes les dépendances comprises dans Pénoncé du principe.
172. Si les quatre plans A, B, C, D élaienl parallèles entre eux, on remplacerait le premier membre de Péqualion (2) par le rapport anharmonique des quatre points où ces plans rencontreraient une transversale quelconque; ainsi soient «, /3, y, â ces points, on aurait
r« <î« sin.C, A' sin.D'.A'
^ ' rê <î6 sin.C, B' sin.D',B'
On agirait de même si les quatre plans correspondants A', B', C, D', de la seconde figure, étaient parallèles entre eux.
173. Ces formules se simplifient quand un ou deux des points qui y entrent sont à Pinfini.
Si le point d, de la première figure^ est situé à l'infini, l'équation (1) deviendra
ca c'a' du' cb c'b' d'b'
Si Tun des quatre points a', b\ c', c/', de la seconde figure, est aussi à l'infini, l'équation deviendra encore plus simple; car le second membre ne contiendra que deux segments, de même que le premier.
174. Les deux équations (1) et (2) sont susceptibles d'interprétations géométriques qui faciliteront, dans beaucoup de questions, les applications du principe d'homographie.
L'équation (1) s'écrit sous la forme
ca c'a' da d'à' cb'7b'~"db'(Fb''
Le second membre est indépendant de la position du point c, situé sur la droite ab, et de son homologue c' ; nous pouvons donc écrire
ca c'a'
— : — = const.,
cb cb'
quel que soit le point c sur la droite ab.
Menons par le poinl c un plan quelconque M; considérons-le comme appartenant à la première figure, et menons par le poinl c' le plan M' qui lui correspondra dans la seconde figure. Soient p, q, les distances du plan M aux deux points «, 6; on aura
p ca q cb'
Soient pareillement/?', q', les distances du plan M' aux points a', b'; on aura
p' c'a' q'^Vh''
On a donc
- : — = const.
Le plan M a été mené arbitrairement par le point c; et ce point avait une position quelconque sur la droite «6; de sorte que le plan M a une position tout à fait arbitraire dans l'espace. Cette équation exprime donc que :
Dans deux figures homographiqueSy le rapport des distances d'un plan quelconque de la première, à deux points fixes de cette figure, est au l'apport des distances du plan homologue, dans la seconde figure, aux deux points fixes qui correspondent à ceux de la première figure, dans une raison constante.
173. Maintenant considérons Téquation (2), et écrivons-la sous la forme
sin C, A sin.C',A' sin.D,A sin.t)', A' sin.C,B ' sin.C',B' ~ sin D,B * sin.D',B' '
Le second membre est indépendant de la position du plan C, qui est arbitraire, pourvu seulement que ce plan passe par la droite d'intersection des deux plans A, B; on a donc
sin.(<, A sin.C',A'
: = const.
sin C, B sin.C, B'
Prenons, dans le plan C, un point quelconque tu appartenant à la prenriière figure; et, dans le plan C, le point correspondant m' de la seconde figure. Le rapport des dislances du point m, aux deux plans A, B, sera égal à ^|^^^; le rapport des distances du point m'y aux deux plans A, B, sera égal à Jj^^-^, . Ces deux rapports seront entre eux dans une raison constante, d'après l'équation ci-dessus. On en conclut ce principe :
Dans deux figures /lomographiques, le rapport des distances d'un point quelconque de la premièi^e, à deux plans fixes appartenant à cette première figure, est au rapport des distances du point homologue dans la seconde figure, aux deux plans fixes qui correspondent aux deux premiers, dans une raison constante.
Celte raison ne dépend que de la position des plans fixes auxquels on rapporte les points des deux figures.
i76. L'un des deux plans fixes de chaque figure peut être pris à l'infini : nous allons voir ce que devient alors le théorème.
Supposons que le plan B soit à l'infini : les quatre plans A, B, C, D étant alors parallèles entre eux, nous nous servirons de l'équation (3), dans laquelle 6 est à l'infini. Cette équation devient
ra sin.C, A' sin.D',A' 'sâ ^ sin.C, B~ ' sin.D',B''
ou
sin.C, A' sin.D'.A,
va : = Sa. : — : — - , ^, ,
sin.C, B' sin.D',B'
ou enfin
sin.C,A'
<ya. : = const.,
sin.C,B'
quels que soient le plan C et le plan C, qui lui correspond dans la seconde figure.
yx est proportionnel à la distance d'un point quelconque du plan C au plan A, puisque le plan C est parallèle au plan A; '£:^ est proportionnel à la dislance d'un point du plan C, aux deux plans A', B'; on conclut donc, de là, que :
Dans deux figures homographiques , la distance d'un point quelconque de la première à un plan fixe de cette première figure, est au rapport des distances du point homologue, dans la seconde figure, aux deux plans qui correspondent, dans cette figure, l'un au plan fixe et l'autre à l'iïifîni de la première f dans mie raison constante.
Ml. Si le plan fixe de la première figure est le plan qui correspond à l'infini de la seconde figure, on voit aisément, en suivant la même marche que tout à l'heure, que le théorème prend cet énoncé :
Dans deux figures homographiqucs , la distance d'un point quelconque de la première, au plan de celte prernière figure qui correspond à l'infini de la seconde, est en raison inverse de la distance du point homologue de la seconde figure au plan qui correspond, dans cette seconde figure, à l'infini de la première.
Ces théorèmes, qui sont des expressions différentes des deux équations (1) et (2), ont lieu pour toutes les surfaces homographiqucs, et seront très utiles pour transformer immédiatement, et sans autre démonstration, un grand nombre de propositions de Géométrie.
\7H. Le principe d'homographie, ou de description de figures du même genre, comprend deux parties, dont l'une est relative aux relations descriptives des figures, et l'autre à leurs relations métriques.
Les relations descriptives consistent en ce que : à chaque point et à chaque plan de l'une des deux figures, correspondent, dans l'autre, un point et un plan, respectivement.
Les relations métriques consistent en ce que : quatre points en ligne droite, dans la seconde figure, ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points de la première figure auxquels ils correspondent.
Mais nous devons dire que ces relations métriques sont une conséquence des relations descriptives, et qu'il n'est pas nécessaire de les comprendre dans la définition des figures homographiqucs; les premières seules suffisant pour définir ces figures d'une manière caractéristique, et avec une précision rigoureuse.
Ainsi nous dirons que :
Detcx pgureSy quelle qu'ait été leur construclion, qui satisfont à cette condition que, à chaque point et à chaque plan de l'une correspondent, respectivement, un point et un plan dans l'autre^ sont Homoghapiiiques.
El ces deux figures jouissent de celle propriété conslanle, que quatre points de l'une, pris en ligne droite, ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points correspondants, dans l'autre.
Cela résulte de ce que, dans les figures corrélatives, les relations métriques sont aussi une conséquence des relations descriptives.
Mais quand nous présenterons directement, et sans le secours du principe de dualité, la ihéorie des figures homographiques, nous nous renfermerons dans la définition que nous venons de faire reposer sur leurs relations descriptives seules, et nous conclurons, de cette définition même, les relations métriques des figures et toutes leurs propriétés.
On voit, par celle définition ce que les figures homographiques ont de caractéristique parmi une infinité d'autres figures, que l'on peut former l'une par l'autre, de manière qu'aux points de la première correspondent des points dans la seconde. C'est que, outre celte première condition, les figures homographiques satisfont à celte autre que, à des points de la première figure, situés dans un même plan, correspondent toujours, dans la seconde figure, des points situés aussi dans un même plan. C'est celle seconde condition qui caractérise les figures homographiques.
179. On fait usage, dans les arts et dans la Géométrie rationnelle, de plusieurs modes de déformation des figures, qui offrent des applications du principe d'homographie.
Par exemple, quand on fait la perspective d'une figure plane,- on a une seconde figure plane, qui satisfait évidemment à l'énoncé du principe.
Il en est de même de deux figures quelconques, semblables entre elles.
Quand, des points d'une figure, on abaisse des ordonnées sur un plan, et que, par leurs pieds, on mène des droites parallèles entre elles et proportionnelles aux ordonnées; les extrémités de ces droites forment une seconde figure qui a encore, avec la figure proposée, les dépendances prescrites par
l'énoncé du principe.
Il en est de même de la figure que Ton forme en augmentant, dans des rapports donnés, les trois coordonnées de chaque point d'une figure proposée.
Enfin, la Perspective reliefs ou théorie des figures homologiques, que M. Poncelet a exposée dans son Traité des propriétés projectives, donne lieu encore à des figures qui satisfont à Ténoncé du principe.
180. Nos figures homographiques ont une plus grande généralité de construction, quant à leur forme et à leurs positions respectives, que les figures homologiques, qui n'en sont qu'un cas particulier ; c'est pourquoi nous n'avons pu nous servir du même mot pour les désigner. Nous conserverons, du reste, l'expression homnlogique, chaque fois que nous aurons à parler des figures produites par le mode de déformation de M. Poncelet.
Le principe d'homographie conduit immédiatement, et sans aucune démonstration, à de nombreuses propriétés nouvelles des figures, concernant leurs relations descriptives et leurs relations métriques.
Nous allons faire diverses applications de ce principe; puis nous donnerons la construction géométrique et analytique des figures homographiques les plus générales; et enfin nous exposerons trois méthodes de construction particulières qui, bien qu'elles conduisent à des résultats moins généraux, seront plus ou moins utiles dans certaines questions particulières.
§ II. Applications du i^rincipe d'homographie. — Pôles et plans polaires,
DANS les surfaces DU SECOND DEGRÉ. AxES CONJUGUÉS A UN POINT.
181. Soit une surface du second degré 2; sa figure homographique sera une seconde surface du second degré, 2'. A chaque diamètre AB de la première surface, correspondra, dans la seconde, une corde A'B' passant par un point fixe C. Ce point correspondra au centre C de la première surface; les plans tangents à la surface 2', aux extrémités A', B' de la corde A'B', auront leur intersection située dans un plan I' qui correspond à l'infini de la pre-
miére figure. La droite A'B' percera le plan I' en un point D', qui correspondra au point situé à l'infini sur le diamètre AR; on aura donc
