Nous conclurons de là, d'abord, ce théorème

Quand plusieurs surfaces du second degré sont telles que deux plans donnés aient chacun le même pôle par rapport à ces surfaces ; les pôles d'un plan transversal f mené arbitrairement, seront sur un même plan qui passera par la droite d'intersection des plans donnés.

163. Si le plan transversal est à l'infini, ses pôles seront les centres des surfaces; donc

Quand plusieurs surfaces du second degré sont telles que deux plans donnés aient chacun le même pôle par rapport à toutes ces surfaces, ces surfaces ont leurs centres situés sur un même plan.

164. La même équation (2) donne le rapport (^ : (J); ce rapport détermine sur la droite ab un point par où passe le point C; on conclut de là que :

Quand plusieurs surfaces du second degré sont telles que deux plans donnés aient chacun le même pôle par rapport à ces surfaces, les plans polaires d^un point, pris arbitraii'ement dans l'espace, passeront par un même point de la droite qui joint ces deux pôles.

1 (>.'). Désignons par L le plan mené par le point a et par la droite d'intersection des plans B, C; par M le plan mené par le point b et par la droite d'intersection des plans C, A; et enfin par N le plan mené par le point c et

par la droite d'interseclion des plans A, B. Le rapport des perpendiculaires abaissées du point a sur les plans B, C, sera égal au rapport des sinus des angles que le plan L fait avec ces deux plans B, C. Ainsi l'on a

sin. L, B sin.L,C

Pareillement

il^ilh

lb\ /6\sln.M,C VCJ \A/~"sin.M,A'

et

c\ /c\ sin.N,A

A/ \B/ siii.N,B

L'équation (2) devient donc

sin.L, B sin.M.C sin.N.A sin.L, C sin, M, A siii.iN, B

Celte équation prouve, par un principe de la théorie des transversales, que les trois plans L, 31, N, menés respectivement par les trois arêtes de l'angle trièdre formé par les trois pians A, B, C, passent par une même droite. On a donc ce théorème :

Étant donnés un angle trièdre et une surface du second degré; et étant pris, par rapport à la surface, les pôles des trois faces de cet angle trièdre ; les trois plans menés respectiveînent par les arêtes de l'angle et par les pôles des faces opposées à ces arêtes, passeront tous trois par une même droite.

Ce théorème exprime la construction géométrique du plan sur lequel doit se trouver le pôle d'un troisième plan, par rapport à une surface du second degré, quand les pôles de deux premiers plans sont donnés.

166. Maintenant considérons le triangle abc, et soient /, m, n les trois points où les plans A, B, C, respectivement, rencontrent les trois côtés bc, ca, ab. Le rapport des distances des deux points b, c au plan A, sera égal a -^ ; ainsi I on a

b\ lc\ bl

AI \\J cl

Pareillemenl,

c \ a\ cm bI \B/ ""^ an hn

L'équation (2) devient donc

an bl cm

on cl am

équation qui prouve que les trois points /, m, n, sont en ligne droite. Donc :

U7i triangle étant placé d'une manière quelconque par rapport à une surface du second degré, les plans polaires de ces sommets rencontrent, respectivement, les côtés opposés, en trois points qui sont en ligne droite.

Ce théorème pouvait se conclure immédiatement du précédent, par la théorie des polaires réciproques; mais il nous a paru intéressant de montrer que l'un et l'autre sont exprimés par la seule équation (2).

167. Des deux théorèmes (165) et (166), on déduit sans difficulté cette propriété générale des surfaces du second degré :

Étant donné un tétraèdre, et étant pris les pôles de ses quatre faces, par rapport à une surface du second degré, et les plans polaires de ses quatre sommets ;

1° Les droites qui joindront les sommets du tétraèdre aux pôles des faces opposées à ces sommets, seront quatre génératrices, d'un même mode de génération, d'un hyperboloïde à une nappe;

2° Les droites d'intersection des plans polaires des sommets du tétraèdre, par les faces opposées à ces sommets respectivement, seront quatre génératrices, d'un même mode de génération, d'un second hyperboloïde à une nappe.

168. Ce théorème est susceptible d'une multitude de conséquences. Nous en avons exposé déjà plusieurs dans les Annales de Mathématiques, t. XIX, p. 76. Nous nous bornerons ici à faire observer qu'on en conclut que :

Quand plusieurs surfaces du second deyré sont telles que trois plans donnés aient chacun le même pôle par rapport à ces surfaces :

\ " Les pôles d'un autre plan transversal quelconque, pris par rapport à ces surfaces, sont situés en ligne droite;

2° Les plans polaires d'un point quelconque de l'espace, pris par rapport à ces surfaces, passent par une même droite;

3" Enfin, toutes ces surfaces ont leurs centres situés sur une même droite,

1G9. L'équalion (2) servira pour la solulion de celle qiieslion :

Construire une surface du second degré telle, que quatre plans donnés aient pour pôles, par rapport à cette surface, quatre points donnés; ces points satisfaisant à la condition exprimée par le théorème (i^l).

On concevra un plan transversal situé à Tinfini, et Ton construira son pôle, par trois équalions semblables à réqualion (2), dont cliacune déterminera un plan sur Jequel sera ce pôle. Ce point sera le centre de la surface cherchée

On déterminera, de même, le pôle de tout autre plan transversal.

Par le centrée de la surface et le pôle a d'un plan, on mènera une droite qui rencontrera ce plan en «; le produit oa. Oa sera égal au carré du demidiamètre compris sur la droite. Si les points a et « sont d'un même côté du point 0, ce diamètre sera réel ; et, si ces points sont de côtés différents du points 0, ce diamètre sera imaginaire.

On déterminera ainsi autant de points qu'on voudra de la surface.

Si l'on veut construire ses trois axes principaux, on cherchera d'abord un système de trois diamètres conjugués, ce qui se fera très aisément. Pour cela, on mènera, par le centre, un plan transvei'sal quelconque, et l'on cherchera son pôle; on trouvera un point situé à Tinfini, sur une droite dont la direction sera l'intersection commune de trois plans, que l'on déterminera par trois équations semblables à l'équation (2). La droite diamétrale, parallèle à cette droite, sera le diamètre conjugué au plan transversal. Par ce diamètre, on mènera un second plan transversal, et l'on cherchera, semblablement, son diamètre conjugué. Ces deux diamètres, et la droite d'intersection des deux

plans, formeront un syslème de trois diamèlres conjugués. Ces trois diamètres feront connaître, par la construction que nous avons donnée dans la Note XXV, les trois axes principaux de la surface.

Ainsi le problème est résolu complètement.

Nous nous sommes étendu sur cette solution, parce que nous croyons qu'il serait utile qu'on ne négligeât aucune occasion de construire les surfaces du second degré délerminées par diverses conditions, pour hâter le perfectionnement de leur théorie, et arriver à la connaissance de la relation si désirée qui doit exister entre dix points d'une telle surface. Peut-être parviendra-t-on d'abord, en s'occupant de ce genre de questions, à quelques cas particuliers de cette relation, qui mettront sur la voie de la relation générale elle-même.

SECONDE PARTIE

PRINCIPE D'HOMOGRAPHIE.

§ I. Démonstration du principe d'homographie.

170 Les propositions auxquelles nous avons appliqué le principe de dualité nous ont souvent conduit à des propositions d'une plus grande généralité, dans leur genre, que ces premières dans le leur. On conçoit donc qu'en appliquant le même principe à ces nouvelles propositions, on en obtiendra d'autres, du genre des premières, mais qui pourront êlre plus générales qu'elles. Le principe de dualité offre donc le moyen de généraliser une foule de propositions connues. Mais on voit sur-le-champ que ce moyen devant toujours être le même, puisqu'il se réduit à opérer deux fois le mécanisme de la transformation des figures par le principe de dualité; on voit, disons-nous, que ce moyen peut être érigé lui-même en principe général de l'étendue, immédiatement aj)plicable aux ligures proposées.