RELATIFS A UN POINT, DE LAQUELLE LES AUTRES SE DÉDUISENT

198. Dans nos applications du principe de dualité, nous sommes parvenu à plusieurs propriétés des axes conjugués d'une surface du second degré, relatifs à un point , concernant les plans tangents à la surface, aux points où ces axes la rencontrent. Les propriétés de ces mêmes axes, que nous venons de trouver dans les paragraphes précédents, concernent les points mêmes où ces axes percent la surface. Celles-ci peuvent être exprimées toutes sous un seul énoncé très général, que nous allons présenter comme application du principe d'homographie.

Soient trois diamètres conjugués d'une surface du second degré ; si, d'un point fixe 0, on mène des droites aux six points A, a, B, b, C, c, où ils rencontrent la surface, la somme des carrés de ces six droites est constante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués.

x\insi l'on a

0K\ Oa -\-0B -^-Wb -i-Wc + Oc= const.

Concevons une sphère qui ait pour centre le point 0 ; et soient A', a', B', b', C, c' les points où ses six rayons qui aboutissent aux points A, a, etc., la rencontrent, on aura

^ ■+• -, -t- etc- = const.

OA' Ott'

Faisons la figure homographique, et désignons par les mêmes lettres les points correspondants, dans celte figure, aux points 0, A, a, etc., de la première. Soient L, /, M, m, N, n, les points où les six droites OA, Oa, OB, 06, OC, Oc, dans la nouvelle figure, percent le plan qui correspond à l'infini de la première : on aura, en appliquant à chacun des termes de l'équation ci-dessus la formule du numéro 173, le théorème suivant :

Étant donnes deux surfaces du second degré et un plan fixe-, si, par le pôle de ce plan par rapport à la première surface, on mène trois axes conjugués par rappo7't à cette surface, qui la rencontreront aux six points A, a, B, b, C; c, et que, par le pôle du plan, par rapport à la seconde surface, on mène six rayons, aboutissant à ces points, et rencontrant la seconde surface aux six points A', a', B', b', C, c', et le plan fixe aux points L, ], M, m,.N, n, on aîira l'équation