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LA \» fOa la V
-+- — : r— -4- etc. = const.; OA' LA7 \0a' la']
quel que soit le système des trois axes conjugués, pris par rapport à la première surface.
199. Ce théorème est Tune des propriétés les plus complètes et les plus générales des systèmes de trois axes conjugués d'une surface du second degré, relatifs à un point. Aussi ses corollaires sont très nombreux. On les obtiendra en faisant diverses suppositions sur la forme et la position des deux surfaces, et celle du plan fixe. On pourra supposer que la seconde surface soit l'ensemble de deux plans, lesquels pourront être parallèles, ou bien qu'elle soit de révolution et qu'elle ait pour foyer le point 0 ; puis, que le plan fixe soit à l'infini, etc.
Nous n'entrerons pas dans l'examen de tous les théorèmes que l'on obtient ainsi, dont la plupart sont des propriétés de trois axes conjugués d'une surface du second degré, relatifs à un point, que nous avons déjà démontrées, ou des propriétés, connues, des systèmes de trois diamètres conjugués.
Nous n'énoncerons que le suivant, que nous n'avons pas encore eu l'occasion de démontrer.
200. Que l'on suppose que le plan fixe ait un même point 0 pour pôle dans les deux surfaces, et que la première surface, de révolution, ait ce point pour foyer, et le plan fixe pour plan directeur correspondant; que, dans l'équation exprimant le théorème général, on remplace chaque rapport —
MEMOIRE DE GÉCHVIETRIE. l\o
par le rapport des perpendiculaires abaissées des poinis A, A', sur ce plan fixe; ou aura le théorème suivant :
Si, autour d'un point fixe, pris arbitrairement par rapport à une surface du deuxième degré, on fait tourner trois droites rectangulaires, qui rencontreront la surface en six points; la somme des carrés des dislances de ces points au plan polaire du point fixe, divisés respectivement par les carrés des distances de ces mêmes points au point fixe, sera constante.
201. Ce théorème a lieu aussi pour trois seulement des six points où les trois droites rectangulaires rencontrent la surface; parce que les six termes de l'équation sont égaux deux à deux. Car, A, a étant les points où Tune des trois droites menées par le point 0 rencontre la surface, et L le point où elle perce le plan polaire du point 0, on a, entre les quatre poinis 0, L, A, a,
la relation harmonique :
OA LA Oa La
Mais AP et ap étant les perpendiculaires abaissées sur le plan, on a
donc
Ce qu'il fallait prouver.
§ VII. Propriétés du centre des moyennes harmoniques d'un système
DE points dans l'eSPACE.
202. Soient a, b, c, .... plusieurs points situés en ligne droite, g leur centre des moyennes distances, et o un autre point quelconque de celle droite ; on aura
[i) oa -^ ob -i- oc -\- '•* ^=n.og;
n étant le nombre des points.
LA
sa:
La
AP ap
OA
Oa
AP
ap
Formons la figure homographique : nous aurons des points a', b', c', ...., silués en ligne droite; un point ^', correspondant au point ^; un point o' pris arbitrairement pour correspondre au point o; un point /' correspondant au point situé à l'infini sur la droite ab; puis
oa 0 a
og o'g'
oh o'b'
og o'g'
L'équation (1) donne donc celle-ci :
ia' i'b' i'c i'g'
Cette équation a lieu entre les points a', b'^ & , .... g' et /', quel que soit le point o', sur la droite qui unit ces points. Si l'on suppose le point o' à l'infini^ on aura
(3) —+ ^-*- —-t- ••' = "• TT •
Ainsi le point g' , qui correspond au centre des moyennes distances g des points a, b, c, ...., est déterminé par la condition que la valeur inverse de sa distance au point ?', soit moyenne entre les valeurs inverses des distances des points a' , b' , c'y ...., à ce point i'. On dit que ig' est moyenne harmonique entre les distances i'a', i'b', i'c', etc., et que le point g' est le centre des moyennes harmoniques des points a', b', c', ...., par rapport au point i' (l'« partie, § XII).
* Nous avons démontré directement, dans la première partie, § XII, l'idenlilé des équations (2) cl (3), en montrant comment on passe de l'une à l'autre.
iMÉMOlKE DE GÉOMÉTRIE. 7i5
Nons dirons donc que :
« Quand on a plusieurs points en ligne droite, et leur centre des moyennes » distances; si Ton fait la transformation homographique, on aura des points » en ligne droite, et leur centre des moyennes harmoniques, par rapport au » point qui correspond à l'infini de la droite sur laquelle sont les points de la » première figure. »
203. Observons que l'équation (2) donne, quand le point o' se confond avec le point g',
O'O'' ^ 9'b' g'c la ib % c
relation très simple entre les différents points et leur centre des moyennes harmoniques.
204. Si le point V est pris à l'infini, on aura, dans l'équation (2),
ta i a
et elle deviendra
Le point o' est quelconque : cette équation exprime donc que le point ^' est le centre des moyennes distances des points a', b' , c', ... ; de sorte que : le centre des moyennes harmoniques d'un système de points en ligne droite, relatif à un point de cette droite, est précisément leur centre des moyennes dislances, quand ce point est à l'infini.
Ce qui a été remarqué par M. Poncelel*, et ne l'avait pas été par Mac- Laurin.
205. Soient des points a, b, c, ...., situés d'une manière quelconque sur un plan, et g leur centre des moyennes dislances. Ce point jouit de la propriété que si par tous ces points, on mène des droites parallèles entre elles.
Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques. Voir Journal de M. Crelle, année 1S28.
7i6 MÉMOIRE DE GEOMETRIE.
mais sous une direclion arbitraire, elles rencontreront une transversale quelconque, en des points dont le dernier sera le centre des moyennes distances de tous les autres. Faisant la figure homographique, et observant que toutes les droites parallèles ont, pour correspondantes, des droites concourant -en un même point, et que ce point appartient à une droite qui correspond à la droite située à Finfini sur le plan de la première figure, on aura ce théorème : Etant donnes, sur un plan, un système de points et une ligne droite; si, par un point pris arbitrairement sur cette droite, on mène des rayons à tous les points donnés, et un dernier rayon au centre des moyennes harmoniques des points où une transversale quelconque rencontre ces rayons, relatif au point où cette transversale rencontre la droite fixe ; ce dernier rayon tournera autour d'un point fixe, quand le point pris sur la droite fixe parcourra cette droite.
Ce point fixe a été appelé, par M. Poncelet, le centre des moyennes harmoniques du système de points, relatif à la droite fixe *.
