DES SYSTÈMES DE TROIS AXES CONJUGUÉS, RELATIFS A UN POINT

318. Deux surfaces du second degré, homobgiques, sont inscriles à un même cône qui a pour sommet le centre d'homologie ; ce cône peut élrc imaginaire, bien que son sommet soit réel.

Mais on ne peut pas dire, d'une manière absolue, que, réciproquement, quand deux surfaces du second degré sont inscriles à un même cône, elles sont toujours homologiques. Par exemple, si Tune des deux surfaces est un hyperboloïde à une nappe et Taulre un hyperboloïde à deux nappes ou un ellipsoïde, il est évident qu'il ne peut y avoir homologie; car l'hyperboloïde à une nappe pouvant être engendré par une ligne droite, sa figure honiologique ne peut être aussi qu'une surface sur laquelle on peut tracer des lignes droites, c'est-à-dire un hyperboloïde à une nappe, ou un paraboloïde hyperbolique.

Il est un autre cas où deux surfaces du second degré, inscrites à un même cône, ne sont pas homologiques : c'est celui où l'une des surfaces est un hyperboloïde à deux nappes, placé à l'extérieur du cône, et l'autre un ellipsoïde, ou bien un hyperboloïde à deux nappes, compris dans l'intérieur du cône. Dans ce cas, aucune droite menée par le sommet du cône ne peut rencontrer en même temps les deux surfaces; par conséquent, aucun point de l'une de ces surfaces ne peut avoir son homologue dans l'autre.

Mais dans les autres cas, où une droite menée par le sommet du cône pourra rencontrer les deux surfaces en même temps, elles seront homologiques; et l'on pourra prendre pour leur plan d'homologie, indilTéremmenf, l'un ou l'autre des deux plans des courbes d'intersection (réelles ou imaginaires) des deux surfaces. Cela résulte du théorème général démontré dans le paragraphe VIII de nos applications du principe de dualité *.

* Généralement, deux surfaces du second degré, inscrites à un cône, se coupent suirant deux courbes planes (réelles ou imaginaires). Ce théorème est connu ; mais il nous semble qu'on

319. Les différents modes de construction des figures homologiques, que

rénonce d'une manière trop absolue; car on suppose que, dans le cas même où les deux courbes sont imaginaires, leurs plans sont toujours réels.

Cela n'est pas; car ces plans peuvent être imaginaires, comme il arrive dans toutes les questions où les choses que l'on considère sont doubles, ou admettent deux solutions.

Pour en donner un exemple, que l'on conçoive une section elliptique faite dans un hyperboloïde à une nappe, et un cône circonscrit à cette surface, suivant cette section; qu'on fasse dans le cône une seconde section elliptique, qui rencontre la première en deux points, et qu'on inscrive au cône un ellipsoïde qui le touche suivant cette seconde section. Cet ellipsoïde et l'hyperboloïde devront se couper suivant deux courbes planes, réelles ou imaginaires. Dans ce cas, ces deux courbes sont imaginaires; car l'ellipsoïde est renfermé dans l'intérieur du cône, et l'hyperboloïde est tout à fait en dehors. Mais de plus, leurs plans sont aussi imaginaires ; car ils doivent passer par les deux points d'intersection des deux courbes de contact du cône et des deux surfaces; et si ces plans étaient réels, chacun d'eux couperait réellement les deux surfaces; ce qui n'est pas possible puisqu'elles n'ont point de courbe d'intersection réelle.

Ainsi, dans ce cas, il est démontré que les deux plans sont imaginaires : il n'y a de réel que leur droite d'intersection.

L'Analyse conduit aux mêmes conclusions. Car soit F = G l'équation d'un cône, ou, plus généralement, l'équation d'une surface quelconque du second degré; l'équation d'une seconde surface du second degré, inscrite à la première, sera de la forme

F -t- mP2 = 0,

P = G étant l'équation du plan de la courbe de contact des deux surfaces.

Pareillement, l'équation d'une troisième surface, inscrite aussi à la première, sera

P' = 0 étant l'équation du plan de la courbe de contact. On tire, de ces deux équations,

mP« — w»'P'2=0; d'où

Cette double équation représente les deux plans sur lesquels se coupent les deux surfaces. Mais on voit que ces plans ne seront réels que si les coefficients m et m' sont de même signe; et qu'ils seront imaginaires quand ces deux coefficients seront de signes contraires. Dans ce cas, l'équation donne les deux suivantes :

Ce qui prouve que les deux surfaces n'ont pas d'autre point d'intersection que sur la droite même sur laquelle se coupent les deux courbes de contact. Les deux points d'intersection^

nous avons donnés dans le paragraphe XVII, appliqués aux surfaces du second degré, conduisent à différentes propriétés nouvelles de ces surfaces, relatives particulièrement à leurs relations métriques. Nous n'entrerons pas dans le détail de ces diverses propriétés ; nous allons seulement examiner un mode de construction qui va nous conduire à une propriété nouvelle et fondamentale des systèmes de trois axes conjugués, relatifs à un point.

320. Soient une surface du second degré A, un point fixe S, et un plan fixe P mené arbitrairement. Que, du point S, on mène une droite à chaque point a de la surface ; qu'on prenne sur cette droite un second point a' tel que l'on ail

Sa Sa' = A— , ap

ap étant la perpendiculaire abaissée du point a sur le plan P, et X étant une constante; le point a' appartiendra à une seconde surface du second degré, homologique à la proposée. Le centre d'homologie sera le point S; et, dans cette seconde figure, l'infini correspondra au plan P de la première.

Deux plans homologues, dans les deux figures, auront pour pôles, pris par rapport aux deux surfaces respectivement, deux points homologues. Supposons que le plan P ait pour pôle, dans la première surface, le point S, centre d'homologie; ce point étant lui-même son homologue, sera le pôle du plan situé à l'infini par rapport à la nouvelle surface; c'est-à-dire que ce point S est le centre de figure de la nouvelle surface. Ainsi :

Etant donnée une surface du second degré; tout point de l'espace peut être pris pour le centre d'homologie d'une seconde surface homologique à la proposée, et ayant son centre de figure en ce point.

321. Cette seconde surface est indéterminée de grandeur, puisque ses demi-diamètres Sa' ont pour expression

Sa Sa'=)i— , ap

peuvent être imaginaires; mais cette droite est toujours réelle, parce qu'elle est l'intersection des plans des deux courbes de contact.

où l est une constante arbitraire. Mais cette surface est déterminée d'espèce pour une position donnée du point S; c'est-à-dire que, quelle que soit la grandeur de cette surface, elle sera toujours semblable à une certaine surface unique, dont la nature ne dépendra que de la position du point S, par rapporta la surface proposée.

322. Mais si la surface A' est donnée, la surface A sera indéterminée d'espèce et de position ; parce que, pour la former, on disposera arbitrairement du plan fixe P. On construira ses points parla formule

Sa 1

— = -. Sa'.

ap A

323. Si la surface A' est une sphère, on aura ^ = constante. Or, il est évident qu'à cause de la forme symétrique de la sphère, la surface homologique A doit être de révolution, et avoir, pour axe de révolution, la perpendiculaire au plan fixe, menée par le centre de la sphère. L'équation^ =const. exprime donc une propriété des surfaces de révolution; propriété connue, du reste.

Ainsi nous pouvons dire que :

Une surface du second degré, de révolution, et une sphère qui a son centre en l'un des foyers de cette surface, sont deux figures homologiques ; leur centre d'homologie est ce foyer.