Il suit de là que
Chaque point du plan abc est lui-même son homologue dans les deux figures;
Et, par conséquent : deux plans correspondants des deux figures rencontrent te plan abc, suivant la même droite ;
El deux droites homologues quelconques percent ce plan au même point.
On reconnaît, à ces propriétés descriptives, les figures homoloyiques de iM. Poncelet. Le point d est leur centre d'homologie, et le plan abc leur plan dliomologie.
304. Ainsi, les figures homologiques rentrent dans la théorie des figures homographiques, el ne sont qu'un cas particulier du mode général de construction de celles-ci.
Les relations métriques, qui ont lieu d'une manière générale entre les figures homographiques, s'appliquent donc aux figures homologiques.
De là, nous allons conclure différentes relations métriques entre ces figures^ qui n'ont point encore été remarquées, et sur lesquelles repose une partie considérable des applications de la théorie des figures homologiques.
30d. En général, les relations métriques des figures sont encore plus importantes et plus utiles à connaître que leurs relations purement descriptives, parce qu'elles sont susceptibles d'un plus grand nombre d'applications, el que d'ailleurs elles suffisent, presque toujours, pour arriver à la connaissance des relations descriptives. Aussi nous regardons comme le côté faible de l'école de Monge, en Géométrie spéculative, de s'appuyer spécialement, el par principe, sur les propriétés descriptives des figures. La méthode des transversales est plus féconde el procure des résultats plus variés, plus gêné-
raux et plus complets. Un examen comparatif de quelques théories géométriques, ou seulement de quelques théorèmes obtenus par les deux méthodes, justifierait constamment celte observation.
306. Appliquons le principe du numéro 175 aux figures homologiques. Prenons, pour Tun des deux plans fixes de la première figure, un plan passant par le centre d'homologie : ce plan sera lui-même son homologue dans la seconde figure; et, si Ton observe que le rapport des distances de deux points homologues à ce plan, est égal au rapport des distances de ces points au centre d'homologie, on en conclura que :
Dans deux figures homologiques, le rapport des distances de deux points homologues^ au centre d'homologie, est au rapport des distances de ces points à deux plans homologues quelconques, mais fixes, dans une raison constante, quels que soient ces points.
307. Ce théorème admet deux corollaires, qui sont deux propriétés importantes de la théorie des figures homologiques.
D'abord, nous pouvons prendre, pour représenter les deux plans fixes homologues des deux figures, leur plan d'homologie ; il en résulte que :
Dans deux figures homologiques, le rapport des distances de deux points homologues, au centre d'homologie, est au rapport des distances de ces deux points, au plan d'homologie, dans une raison constante.
Soient «, a' les deux points homologues, S le centre d'homologie, et « le point où la droite Saa' rencontre le plan d'homologie. Le rapport des distances des deux points a, a' à ce plan, est égal à ^' On aura donc, d'après l'énoncé du théorème,
Sa cta
— : — - = const.
Sa a.a
C'est la relation que nous avons déjà démontrée dans nos applications du principe de dualité (§ VII).
308. Ainsi, étant donnée une figure, et étant pris un point S et un plan fixe, si de ce point on mène une droite à chaque point a de la figure, qu'on
la prolonye jusqu'à sa rencontre en a avec le plan fixe, et qu'on prenne sur cette droite un point a' tel que l'on ait
Sa «a
ëZ' * "I» "* *»
oa «a
À étant une constante quelconque; le point a' appartiendra à une figure homologique à la proposée.
Le point S el le plan fixe seront le centre et le plan d'homologie des deux figures.
La constante ) peut être égale à Punilé. Alors les points a, a' sont conjugués harmoniques par rapport aux deux points S, a.
309. Soit I' le plan de la seconde figure, qui correspond à Tinfini de la première : ce plan est parallèle au plan d'homologie, parce que deux plans homologues doivent se couper sur ce plan d'homologie.
Le plan qui, dans la première figure, correspond à l'infini de la seconde, sera pareillement parallèle au plan d'homologie.
Le rapport des distances d'un point a' de la seconde figure, à un plan fixe mené par le point S, el au plan I', sera dans une raison constante avec la distance du point a de la première figure au même plan fixe (176).
Or, le rapport des dislances des deux points a, a', au plan fixe, est égal à g^, • On a donc, en appelant a'i' la perpendiculaire abaissée du point a' sur le plan 1',
So' Sa=i.-7T,,
l élant une constante, pour tous les points des deux figures.
Ainsi : si, d'un point fixe, on mène un rayon à chaque point a d'une figure, et que, sur ce rayon, on prenne uti point a' tel que le rapport de ses distances an point fixe et à un plan fixe, soit au rayon dans une raison constante ; ce point appartiendra à une seconde figure, homologique à la première.
Le centre d'homologie sera le point fixe; el le plan d'homologie sera parallèle au plan fixe.
La distance entre ces deux plans sera égale à la valeur inverse de la raison constante donnée.
Car pour un point a du plan d'homologie, on aura Sa = Sa', ei \ = X, ou (xi' = l; et, d'après l'énoncé, la raison constante esty •
310. Ainsi, si une figure A est donnée, et que, le point S et le plan I' étant pris arbitrairement, on mène, de ce point, des rayons à tous les points a de cette figure; puis, qu'on prenne, sur ces rayons, des points a' déterminés par l'équation
■ Sa'
ces points a' appartiendront à une seconde figure A', homologiqiie à la première.
Le centre d'homologie sera le point S, et le plan d'homologie sera parallèle au plan I'. Sa distancée ce plan sera égale à la constante l.
Réciproquement si la figure A' est donnée ^ et que le point S et le plan V soient pris arbitrairement, l'équation
Sa'
Sa = i -—
déterminera les points a d'une seconde figure A, qui sera homologique à la proposée.
Ces théorèmes sont susceptibles de nombreuses applications.
311. r étant le plan de la figure A', qui correspond à l'infini de la figure A ; soit J le plan de la figure A, qui correspond à l'infini de A' ; soient aj la distance d'un point a de la figure A au plan J, et a'i' la distance du point correspondant a' au plan V . On aura, d'après le principe du numéro 177,
ay.o't' = const.
Cette équation donne une manière nouvelle de former la figure homologique d'une figure proposée, au moyen du centre d'homologie et de deux plans, parallèles entre eux.
MÉiMOIHE DE GÉOMÉTRIE. 779
La conslruclion des figures homologiques sérail susceplible d'une plus ample discussion, dans laquelle nous n'enlrerons pas ici.
§ XVIII. Applications de la théorie des figures homologiques. — Propriétés générales des surfaces géométriques.
3i 2. Soient deux surfaces géomélriques, d'un degré quelconque, homologiques enlre elles; et soit S leur centre d'homologie.
Que, par une droite, prise arbitrairement dans un plan fixe P, on mène les plans tangents à la première surface ; soient a, b, c,.... leurs points de contact. A ces plans tangents correspondront des plans tangents à la seconde surface, en des points a', b', c',..,. homologues aux points a, b, Cy... ; et ces plans tangents passeront par une même droite, située dans un plan fixe P', correspondant, dans la seconde figure, au plan P de la première.
Soient 0/?, a'p', les perpendiculaires abaissées, des points a, a', sur les plans P, P', respectivement ; on aura
Sa ap
— -:— ^ =consl. = A (300)
Sa' a'p' ^ '
Soit a'n' la perpendiculaire abaissée du point a' sur un plan fixe II', mené arbitrairement dans l'espace. Mettons l'équation sous la forme
Sa ap aV
Sa' a'n' a'p'
Soieni, pareillemenl, bp, b'p', les perpendiculaires abaissées, des points b, b', sur les plans P, P', respectivement, et b'n' la perpendiculaire abaissée du point b' sur le plan n' ; on aura de même
Sb bp b'n' S6''6V'~^*6y*
El ainsi pour les autres points.
Or, les points a' , b',.... élanl les points de conlact de la seconde surface avec des plans tangents menés par une même droite, prise dans un plan fixe P, on a (218)
aV a'p'
, — - -♦-... = const.
bp
On a donc aussi
Sa'
ap
aV
Sb bp Sb b p
ou
Sa ap
Sa' aV
Sb Sb'
— : —-, -4- • . • = const.
bp b X
Ce qui exprime ce théorème :
5/ Fon a deux surfaces géométriques homologiques, el que, par une droite prise arbitrairement dans un plan fixe, on mène les plans tangents à la première surface; puis, quon fasse le rapport des distances de chaque point de contact au centre d'homologie et au plan fixe, et qu'on divise ce rapport par celui des dislances, du point homologue dans la seconde surface, au fnême point et à un plan fixe mené arbitrairement dans l'espace ; la somme de tous les quotients ainsi formés sera constante.
Ce théorème donne lieu à deux corollaires qui sont eux-mêmes des propriétés très générales des surfaces géométriques.
313. Que l'on suppose un second plan n" parallèle au plan II', el qu'on forme, pour ce second plan, l'équation analogue à l'équation précédente ; puis, qu'on retranche ces deux équations l'une de l'autre : tous les termes du premier membre de l'équation résultante auront un facteur commun, qui sera la distance entre les deux plans n', n" ; faisant passer ce facteur dans le second membre, on aura l'équation :
Sa S6
— :Sa'H :Sb' -h '
ap bp
= const.;
ce qui exprime ce théorème :
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 78i
Quand deux surfaces géométriques sont homologiques ; si par une droite, prise dans un plan fixe, on mène les plans tangents à la première; qu'on fasse le rapport des distances de chaque point de contact au centre d'homologie et au plan fixe, puis le quotient de ce rapport divisé par la distance du point homologue, dans la seconde surface, au centre d'homologie; la somme de tous ces quotients sera constante, quelle que soit, dans le plan fixe, la droite par laquelle on a mené les plans tangents.
314. Supposons que le plan n', dans le Ihéorème (312), se confonde avec le plan P, et que celui-ci soit situé à l'infini ; les perpendiculaires ap, bp, a'u', 6V, .... seront infinies, et les rapports
ap bp a T 6 T
seront égaux à l'unité; de sorte que l'équation (1) deviendra
Sa S6
— - -f- — - -♦- ... = const.
Sa' Sb'
Celle-ci prouve que :
Quand deux surfaces géométriques sont homologiques; si Ton mène à la première tous ses plans tangents parallèles à un même plan quelconque ; la somme des distances des points de contact au centre d'homologie, divisées respectivement par les distances des points homologues de la seconde surface^ au même centre d'homologie, sera constante, quel que soit le plan auquel les plans tangents sont parallèles,
315. Ces trois théorèmes s'appliquent à des courbes géométriques homologiques, planes ou à double courbure. Conséquemment ils s'appliquent à deux sections planes d'un cône quelconque géométrique, parce que ce sont deux courbes homologiques, dont le centre d'homologie est le sommet du cône.
Appliquons donc le théorème (312) à deux sections planes d'un cône, et remarquons que les perpendiculaires, abaissées des différents points d'un plan sur un autre plan fixe, sont proporiionnelles aux perpendiculaires abaissées
des mêmes points sur la droite d'intersection des deux plans; on aura celle propriété générale des surfaces coniques :
Si l'on fait deux sections planes dans un cône géométrique ; et que, par un point d'une droite fixe, prise dans le plan de la première section, on mène toutes les tangentes à cette courbe; qu'on fasse le rapport des distances de chaque point de contact au sommet du cône et à la droite fixe, et qiion divise ce rapport par celui des distances du point homologue dans la seconde section, au sommet du cône et à une droite fixe menée arbitrairement dans le plan de cette seconde courbe; la somme de tous les quotients ainsi formés sera constante, quel que soit le point de la droite, prise dans le plan de la première section, par lequel on a mené les tangentes à cette courbe,
316. Si Ton suppose que la droite fixe, dans la seconde section, soit à rinfîni, le théorème prendra cet énoncé :
Si l'on fait deux sections planes dans un cône géométrique ; et que, par chaque point d'une droite fixe, prise dans le plan de la première section^ on mène toutes les tangentes à cette courbe ; la somme des distances des points de contact, au sommet du cône, divisées respectivement par les distances de ces points à la droite fixe et par les distances, au sommet du cône, des points co7r es pondants, dans la seconde courbe, sera constante.
317. Si la droite fixe, prise dans le plan de la première section, est à l'infini, le théorème devient le suivant :
Si l'on fait deux sections planes dans un cône géométrique, et que l'on mène à la première courbe toutes ses tangentes parallèles à une même droite quelconque ; la somme des distances des points de contact, au sommet du cône, divisées respectivement par les distances, au sommet, des points homologues dans la seconde section, sera une quantité constante.
Ces théorèmes s'appliquent d'eux-mêmes à deux courbes planes homologiques, situées dans un même plan, si, au sommet du cône, on substitue, dans leur énoncé, le centre d'homologie des deux courbes planes.
§ XIX. Surfaces du second degré, homologiqdes. — Propriété fondamentale
