Du théorème précédent, et surtout de la formule

/, . Sa Sa' = A — , ap

découlent naturellement les propriétés des systèmes des trois axes conjugués d'une surface du second degré, relatifs à un point; car ces propriétés seront des conséquences de celles des diamètres conjugués d'une surface du second degré.

Ainsi, l'on en conclut d'abord que, parmi tous les systèmes de trois axes conjugués, relatifs à un point, il en est un où les trois axes sont rectangulaires.

328. Ces trois axes déterminent, sur la surface, les points pour lesquels le rapport — a une valeur maximum ou minimum.

Si l'on demande les points pour lesquels le rapport ~ a une valeur donnée, ces points seront sur une courbe à double courbure, provenant de l'intersection de la surface par un cône du second degré, ayant son sommet au point fixe. Les axes principaux de ce cône seront précisément les trois axes conjugués rectangulaires de la surface, relatifs au point S.

Car il est clair que ce cône passera par la courbe d'intersection de la surface A' et d'une sphère concentrique; ce qui prouve qu'il sera du second degré, et qu'il aura pour axes principaux les trois diamètres conjugués rectangulaires de la surface A'.

MEMOIRE DE GÉOMÉÏHIE. 789

329. Soient Irois axes conjugués Sa, S6, Se, de la surface A, el Sa', Sb', Se' les trois demi-diamètres conjugués de la surface A', qui leur correspondent; on aura

ap bp cp

ap, bp, cp étant les perpendiculaires abaissées, des points a, b, c, sur le pian P, qui est le plan polaire du point S, par rapport à la surface A.

La somme des carrés des trois demi-diamètres Sa', S6', Se' est constante; on a donc aussi

/Sa\« /S6\« /Sc\«

ce qui exprime un théorème déjà démontré (52 et 191).

330. La somme des carrés des projections des trois demi-diamètres Sa', Sft', Se', sur une droite, est constante; on en conclut le théorème (191).

331. La somme des carrés des aires des triangles formés par les trois demi-diamètres conjugués Sa', S6', Se', pris deux à deux, est constante; de sorte que

(So'.Sô'.sin.a'Sô'f -t- (Sa' .Sc'.sin.a'Sc')' -h (S6'.Sc'.sin.6'Sc')» = const.

On a donc

{Sa.S6.sin aSM' (S6.Sc.sin.6Sc)' (Se. Sa sin.cSa)*

^ i ^- J^ L -+- ^ % — - = consl.

ap .bp bp .cp cp . ap

Les numérateurs sont les carrés des aires des triangles formés par les trois axes Sa, S6, Se, pris deux à deux. Celte équation exprime donc une propriété de ces triangles.

332. Enfin, si Ton a deux systèmes de trois demi-diamètres conjugués de la surface A', le tétraèdre formé par trois quelconques de ces six demidiamètres est équivalent au tétraèdre formé par les trois autres. Exprimant le volume d'un tétraèdre par le produit des trois demi-diamètres qui le

forment, multiplié par une fonction des angles que ces droites font entre elles, on en conclut que :

Si l'on a, dans une surface du second degré, deux systèmes de trois axes conjugués, relatifs à un point ; le volume du tétraèdre formé par trois quelconques de ces six droites, divisé par le produit des perpendiculaires abaissées, des extrémités de ces trois droites, sur le plan polaire du point fixe, sera égal au volume du tétraèdre formé par les trois autres droites, divisé par le produit des perpendiculaires abaissées, des extrémités de ces trois droites, sur le même plan.

333. Si les trois demi-diamètres Sa', Sb', Se' sont rectangulaires, on a

zz-8 -^ i=:i + ^=-î = const ; S«' S6' Se'

donc

apy ibpK*

Sa/

= const.;

ce qui exprime le théorème (201).