La formule
Sa = )i — ap
peut être transformée, de deux manières, en une autre, qui donnera les demidiamètres de la surface homologique A', sans qu'on se serve du plan P. Soient b le second point où la droite Sa rencontre la surface proposée A'; bp la perpendiculaire abaissée, de ce point, sur le plan P;eib' le point homologue, sur la surface A'. On aura
bp
Mais S6' = Sa', puisque ce sont deux demi-diamèlres de directions opposées; donc Sa' =X'^- Le plan P étant le plan polaire du point S, par rapport à la surface A, les plans tangents à cette surface, aux points a, b, se coupent
sur ce plan ; on a donc, d'après la propriélé générale des surfaces géométriques (219),
— ± — - =r const.; ap bp
le signe + étant pris quand les perpendiculaires ap, bp seront dirigées dans le même sens, et le signe — , quand elles le sont en sens contraires. Le premier cas a lieu quand le point S est à rinlérieur de la surface, et le second, quand ce point est pris au dehors de la surface. De cette équation, l'on conclut
Sa' Sa'
d'où
■ c/. = const. = -; Sa So n
^'^ s7 = ^ls^^s6
Ainsi cette équation déterminera les demi-diamètres de la surface A', de même que l'équation (1).
On prendra le signe + quand le point fixe S est à l'intérieur de la surface, et le signe — , quand il est au dehors.
On conclut, de cette équation ce théorème :
Si, autour d'un point fixe, on fait tourner une droite qui rencontre une surface du second degré en deux points, et qu'on prenne sur cette droite, à partir du point fixe, un segment dont la valeur inverse soit proportionnelle à la somme des valeurs inverses des distances, au point fixe, des deux points de la surface, si ce point est à l'intérieur de la surface, ou à la différence des valeurs inverses des deux mêmes distances, si le point fixe est au dehors de la surface; l'extrémité de ce segment sera sur une seconde surface du second degré, qui sera homologique à la proposée; le centre d'homologie sera le point fixe; et ce point sera aussi le centre de figure de la nouvelle surface.
335. Les différents théorèmes que nous avons indiqués ci-dessus, au
sujet du rapport-^, s'appliquent, comme on voit, à l'expression
Ainsi nous pouvons dire que, si Ton demande de mener la droite Sab, de manière que cette quantité soit un maximum ou un 'minimum^ trois directions de la droite satisferont à la question; et ces trois directions seront à angle droit. Si le point S est au dehors de la surface, elles seront les trois axes principaux du cône circonscrit à la surface et ayant son sommet au point S.
Si l'on demande que l'expression
Is^ "^ S6/
ait une valeur donnée, la droite Sab aura pour lieu géométrique un cône du second degré * ; et ce cône aura, pour ses axes principaux, les trois directions pour lesquelles cette expression a une valeur maximum ou minimum.
Si la droite Sab prend trois directions rectangulaires, la somme des carrés des valeurs correspondantes de l'expression
Sa S6
sera constante. Etc.
* Ce sont ces cônes du second degré dont M. Legendre s'est servi pour régler la marche des intégrales, dans son Mémoire sur l'attraction des sphéroïdes sur des points extérieurs, et dont il n'a donné que l'expression analytique. Et les droites qui jouissent d'une propriété de maximum, et qui marquent la limite des intégrales, sont précisément les axes conjugués rectangulaires de l'ellipsoïde attirant, relatifs au point attiré; ce sont aussi les axes principaux communs à tous ces cônes. Les considérations géométriques précédentes procurent une interprétation géométrique de plusieurs autres résultats analytiques obtenus par M. Legendre, dans son Mémoire, et font connaître particulièrement la signification d'un beau théorème relatif à l'attraction de différents ellipsoïdes, semblables et concentriques, sur un même point extérieur. (Voir Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris; année 1788, pag. 454.)
