DEUXIEME ÉPOQUE

§ 9. L'état de stagnation où languirent les lettres, chez les Arabes et les autres nations, après la destruction du iMusée d'Alexandrie, dura près de mille ans; et ce ne fut que vers le milieu du XV* siècle que la Géométrie, suivant le mouvement général des sciences, reprit faveur.

Ses progrès furent lents d'abord; mais néanmoins les conceptions des géomètres ne tardèrent point à prendre un caractère de généralité et d'abstraction qu'elles n'avaient point encore eu jusqu'alors. Chaque méthode, en effet, ne comportait rien de général, et se bornait à la question particulière qui y avait donné lieu: chaque courbe connue, et le nombre en était très restreint, avait été étudiée isolément, par des moyens qui lui étaient tout spéciaux, sans que ses propriétés, et les procédés qui y avaient conduit, servissent à découvrir les propriétés d'une autre courbe. Nous citerons, par exemple, le fameux problème des tangentes, qui fut résolu pour quelques courbes, telles que les coniques et la spirale d'Archimède, par des considérations profondes, mais essentiellement différentes entre elles, et qui ne donnaient aucune ouverture pour la solution du même problème appliqué à d'autres courbes.

La méthode d'exhanstion, qui reposait sur une idée mère tout à fait générale, n'ôta point à la Géométrie son caractère d'étroitesse et de spécialité, parce que celte conception y manquant de moyens généraux d'application, devenait, dans chaque cas particulier, une question toute nouvelle, qui ne trouvait de ressources que dans les propriétés individuelles de la figure à laquelle on l'appliquait. Cette méthode néanmoins fait beaucoup d'honneur aux géomètres de l'Antiquité, parce qu'elle est le germe d'une suite de méthodes de quadratures qui depuis ont fait, dans tous les temps, l'objet des travaux des plus célèbres mathématiciens, et dont le but final, et nous pouvons dire le triomphe, fut l'invention du calcul infinitésimal.

Ces considérations, qui tendent à faire ressortir la différence du spécial au général, du concret à l'abstrait, qui distingue la Géométrie jusqu'au XV® siècle, de la Géométrie postérieure, nous portent à regarder cette première époque comme formant les préliminaires de la science.

Le caractère de généralité et d'abstraction, que prit ensuite la Géométrie, s'est prononcé de plus en plus dans les époques suivantes, et établit aujourd'hui une différence immense entre la Géométrie moderne et celle des Anciens.

§ 2. Les principales découvertes de la Géométrie, à sa renaissance, sont dues à Viète et à Kepler, qui sont, à plusieurs titres, les premiers auteurs de notre supériorité sur les Anciens. (Voir la Note XII.) If!L Viète, après avoir complété la méthode analytique de Platon, par l'inven-

tion de V Algèbre, ou logistique spécieuse, destinée à mettre cette méthode en pratique dans la science des nombres, eut encore la gloire d'introduire cet instrument admirable dans la science de l'étendue, et d'initier les géomètres, par une construction graphique des équations du second et du troisième degré, à l'art de représenter géométriquement les résultats de l'Algèbre; premiers pas vers une alliance plus intime entre l'Algèbre et la Géométrie, qui devait conduire aux grandes découvertes de Descartes, et devenir la clef universelle des mathématiques.

On doit à Viète la doctrine des sections angulaires, c'est-à-dire la con-

naissance de la loi suivant laquelle croissent ou décroissent les sinus, ou les cordes des arcs multiples ou sous-multiples. La première idée d'exprimer Taire d'une courbe par une suite infinie de termes, se trouve aussi dans les ouvrages de ce grand géomètre.

Vièle n'était pas moins profond dans la Géométrie pure des Anciens que dans l'Analyse algébrique. On lui doit le traité d'Apollonius De tactioiiibus, qu'il a restitué sous le titre d'Apollonius Gallus. C'est là qu'il résolut, le premier, le problème du cercle tangent à trois cercles donnés dans un plan, qui occupait alors les géomètres, et leur présentait des difficultés. Le célèbre Adrianus Romanus le résolvait par l'emploi de deux hyperboles; ce qui était une faute contre les règles d'une bonne méthode, puisque la ligne droite seule devait suffire : aussi a-t-elle été relevée par Viète [Opei^a Vietae, page 325, édition de Schooten; 1646). Les plus grands géomètres ont continué, depuis, de s'occuper de ce problème, et en ont donné diflerentes solutions, parmi lesquelles on distingue celles de Descartes, de Newton *, de Th. Simpson, de Lambert, d'Euler, de Fuss.

Mais ce problème n'a plus offert aucune difficulté aux méthodes récentes, qui en ont fourni des solutions incomparablement plus élégantes et plus faciles, en théorie et en pratique, que toutes les autres '^, et il ne doit plus aujourd'hui sa célébrité qu'aux grands noms qui brillent dans son histoire '.

1 On trouve une solution analytique du problème en question dans V Arithmétique universelle (prob. 47), et une solution purement gcomélrique dans le 1" livre des Principes de la philosophie naturelle (lemme 46). Celle-ci est fondée sur la considération des deux hyperboles d'Adrianus Romanus; mais Newton n'a pas besoin de les construire, pour trourer leur point d'intersection. Il détermine deux droites qui doivent se couper en ce point.

* On peut même généraliser la question, en prenant certaines sections coniques au lieu de cercles; et les constructions conservent leur simplicité (voir la Note XXVIII, où la question analogue sera traitée pour des sphères, et plus généralement pour des surfaces du second degré).

3 M. Camercr a publié sur ce problème, il y a une quarantaine d'années, un livre intéressant, à la suite duquel il a rc\>YoàmiY Apollonius Gallus de Vièle; voici le litre de cet ouvrage, qui indique les différentes parties dont il se compose: Apollonii o'e Tactionibus quœ stipersunt, ac maxime Lemmata Pappi in hos libres grœeè, nunc primum édita e codicibus mscptis, cum Vietœ librorum Apollonii reslilulione, udjcctis observationihus, computationibus, ac problemalis Apolloniani historia. Gothae, 1793, in-S".

On remarque surtout, dans les écrits géométriques de Viète, une partie intitulée Variorum de rébus mathematicis responsorum liber VIII, divisée en vingt chapitres, dont les principaux traitent de la résolution des triangles sphériques, de la duplication du cube et de la quadrature du cercle. Les tentatives des Anciens, pour résoudre ces deux grands problèmes, sont rapportées dans cet écrit avec une précision et une supériorité de savoir qui font vivement regretter que les autres parties, qui ont dû le précéder, ne nous soient pas parvenues.

La trigonométrie sphérique doit à Viète les plus utiles perfectionnements; entres autres la résolution de quelques cas nouveaux des triangles, qui n'avaient point eu d'application dans l'astronomie; par exemple, celui où il s'agit de trouver un angle par les trois côtés. Ces questions, qui complétaient la doctrine des triangles sphériques, ont conduit Viète à l'invention des deux formules analytiques générales qui comprennent tous les cas de la trigonométrie sphérique. Les deux autres, dont la première était contenue virtuellement dans la trigonométrie des Grecs, sans être énoncée expressément, avaient été découvertes par les Arabes, qui s'étaient beaucoup occupés de trigonométrie.

§ 3. Nous devons surtout remarquer, dans la trigonométrie de Viète, une idée neuve, et infiniment heureuse, qui a un rapport direct avec les nouvelles doctrines de la Géométrie; c'est la transformation des triangles sphériques en d'autres, dont les angles et les côtés répondent, d'une certaine manière, aux côtés et aux angles des triangles proposés. « Si des trois som- » mets d'un triangle sphérique, dit-il, comme pôles, on décrit des arcs » de grands cercles, le triangle nouveau qui en résultera sera réciproque » au premier triangle, tant par les angles que par les côtés. » Hâtons-nous de dire que ce triangle réciproque n'est pas précisément le triangle polaire ou supplémentaire, dans lequel les côtés sont les suppléments des angles du triangle primitif, et les angles, les suppléments des côtés : deux des côtés du triangle de Viète sont égaux aux angles du triangle proposé, et le troisième côté est égal au supplément du troisième angle. De celte manière, la par-

faite réciprocité des deux triangles supplémentaires, d'où résulte celte dualiié constante des propriétés des figures sphériques, n'a pas lieu dans les deux triangles de Viète. Mais celle idée féconde, de transformer ainsi les triangles, pour certains cas de la trigonométrie, n'en mérite pas moins d'être signalée, comme étant le premier pas de l'esprit inventeur et le premier germe des méthodes générales de dualisation acluellement en usage.

Les géomètres qui écrivirent, après Viète, sur la Géométrie sphérique, s'emparèrent de cette heureuse innovation et transformèrent aussi les triangles sphériques, mais en conservant le triangle réciproque même de Viète. Tels sont Adrien Metius, Magini, Piliscus, Neper et Cavalieri K Gellibrand, aussi, fit de ces transformations; mais il paraît n'avoir pas ohservé bien exactement les relations qui ont lieu entre les triangles correspondants.

La découverte du véritable triangle supplémentaire, qui devait résulter inévitablement de la doctrine de transformation de Viète, est due à Snellius. Ce géomètre, célèbre à plusieurs titres, l'a exposée comme un principe général fort utile, dont il a montré les usages dans son Traité de Trigonométrie, qui parut en 1627, après sa mort. (Proposition 8 du livre 3.)

C'est sur ce principe de Snellius, considéré d'une manière abstraite, et non point seulement comme moyen particulier de résoudre quelques cas de la trigonométrie sphérique, que repose la loi de dualité de la Géométrie de la sphère, loi qui a été connue depuis lors, mais dont on n'a point aperçu la haute importance ; car elle n'a jamais été pratiquée dans toutes ses conséquences, et d'une manière systématique. Aussi la loi générale de dualité de l'étendue, c'est-à-dire cette double face que présentent tous les phéno-

* 11 était difficile d'apercevoir, dans la trigonométrie de Viète, les relations exactes qui ont lieu entre ces deux triangles réciproques; mais elles sont présentées d'une manière bien précise, et qui ne laisse aucun doute, par Neper, dans son Mirifici logarilhmorum canonis ilescriptio (in-4% t614), et par Cavalieri, d'abord dans son Directorium générale uranometricum (in-4% 1632), puis dans son Traité de Trigonométrie (in-4% 1643).

mènes de l'étendue figurée, qu'on aurait pu déduire immédiatement de la dualité des propositions sphériques, comme nous le ferons voir dans le cours de notre cinquième Époque, n'a-t-elle été aperçue que dans ces derniers temps, et par d'autres considérations plus savantes et moins directes. KEPLER, § 4. Kepler, dans sa Nouvelle stéréométrie \ introduisit, le premier,

l'usage de Vinfim dans la Géométrie; idée profonde, qui fut le second acheminement, après la méthode d'exhaustion, pratiquée si habilement par Archimède, aux méthodes inflnilésimales. Il appliqua sa méthode à la recherche des volumes des corps engendrés par la révolution d'une conique autour d'une droite, située dans son plan; généralisation alors importante, et qui offrait de grandes difficultés, des problèmes d'Archimède sur les conoïdes et les sphéroïdes.

On doit au même géomètre une remarque heureuse, savoir, que l'accroissement d'une variable, de l'ordonnée d'une courbe, par exemple, est nul à une distance infiniment proche du maximum ou du minimum. Cette remarque contenait le germe de la règle analytique de maximis et minimis, qui illustra Fermai vingt ans plus tard.

Nous devons citer encore, de Kepler, sa belle méthode des projections, pour déterminer, par une construction graphique, les circonstances des éclipses de Soleil pour les habitants de différents points de la Terre. C'était, deux cents ans avant l'invention de la Géométrie descriptive, une application ingénieuse de la doctrine des projections, comme on ferait aujourd'hui. Cette méthode a été suivie par les célèbres astronomes et géomètres Cassini, Flamsteed, Wren, Halley, et généralisée par Lagrange dans un Mémoire où il est intéressant de voir avec quelle habileté l'illustre auteur de la Mécanique analytique savait aussi se servir des procédés de la Géométrie descriptive, vingt ans avant que cette production du génie de Monge eût vu le jour ^.

' Nova stereometria doliorum, etc. Accessit stereometriœ Archimediœ supplementttm, in-fol., Lincii, 1615.

' Le Mémoire de Lagrange a été lu à l'Académie de Berlin en 1778, et imprimé en allemand dans les Éphémérides de 17 8L 11 a paru, en français, dans la Connaissance des Temps pour 1819.

Les travaux de Kepler ouvrirent un vaste champ de spéculations nouvelles; et si cette tête philosophique, qui créa l'astronomie moderne, eût appliqué davantage les forces de son génie à la pure Géométrie, cette science lui eût dû certainement des progrès considérables.

§ 5. Quelques années après que ce grand homme eut donné sa méthode pour déterminer les volumes des conoïdes, une autre théorie célèbre, de la même nature et destinée aussi à évaluer les grandeurs géométriques par leurs éléments, la Géométrie des Indivisibles de Cavalieri (publiée en 1635), vint enrichir la science, et marquer l'époque des grands progrès qu'elle a faits dans les temps modernes. Cette méthode, propre principalement à la détermination des aires, des volumes, des centres de gravité des corps, et qui a suppléé avec avantage pendant cinquante ans au calcul intégral, n'était, comme l'a fait voir Cavalieri lui-même, qu'une application heureuse, ou plutôt une transformation de la méthode d'exhaiistion.

§ 6. Nous devons placer, entre les découvertes de Kepler et de Cavalieri, la fameuse règle de Guldin, qui remonte, comme nous l'avons dit, à Pappus, mais qui était inaperçue, lorsque Guldin la découvrit à son tour, et s'en servit pour résoudre des problèmes difficiles, rebelles aux autres procédés. Mais cette méthode n'était point destinée, comme celles de Kepler et de Cavalieri, à reculer les bornes de la Géométrie.

§ 7. Le commencement du second tiers du XVII® siècle, où nous arrivons, est l'époque des plus sublimes et des plus brillantes découvertes. Presque au même instant parurent Descartes, Fermât et Roberval, qui ouvrirent des voies nouvelles aux spéculations les plus relevées.

Ces trois hommes illustres se partagent la gloire d'avoir résolu, chacun d'une manière différente, un problème qu'aucun géomètre n'avait encore osé aborder dans sa généralité, celui des tangentes aux lignes courbes, problème « le plus beau et le plus utile » que Descartes eût désiré savoir ; et qui, en effet, était le prélude nécessaire à l'invention du calcul différentiel.

Les anciens géomètres définissaient la tangente à une courbe, une droite