CAVALIERI, 1S98-IU

CCLDIN, 1577-1643.

qui, ayant un point commun avec la courbe, est telle qu'on ne peut mener par ce point aucune autre droite entre celle-ci et la courbe. C'est par ce principe qu'ils ont déterminé les tangentes à quelques-unes des courbes qu'ils ont connues. Mais le peu de ressources qu'offrait ce principe força les géomètres modernes d'envisager les tangentes sous d'autres points de vue. Ils les regardèrent comme des sécantes dont les deux points d'intersection sont réunis, ou comme le prolongement des côtés infiniment petits de la courbe considérée comme un polygone d'une infinité de côtés, ou comme la direction du mouvement composé par lequel la courbe peut être décrite.

La première manière fut celle de Descartes et de Fermât, quoique leurs solutions fussent très différentes l'une de l'autre; la deuxième, qui est la plus usitée maintenant, a été introduite explicitement et définitivement par Barrow, qui simplifia par cette idée la solution de Fermât; enfin la troisième est celle de Roberval '.

La solution de Descartes repose sur les principes de sa nouvelle Géométrie, dont nous parlerons plus tard, en en faisant l'origine de notre troisième Époque.

Nous allons d'abord jeter un coup d'œil sur les travaux de Roberval, de Fermât et de quelques autres géomètres, leurs contemporains, qui contribuèrent, en même temps qu'eux, aux progrès immenses que fit alors la Géométrie pure des Anciens.

ROBERVAL, § 8. La méthodc de Roberval, pour mener les tangentes, est basée sur la

doctrine des mouvements composés, que Galilée avait déjà, quelques années auparavant, découverte et introduite dans la mécanique, mais sans en faire d'application à la Géométrie.

Roberval énonce distinctement en ces termes son principe :

« Règle générale. Par les propriétés spécifiques de la ligne courbe (qui

' Depuis lors, Mac-Laurin a repris la définition des Anciens dans son Traité des Fluxions, comme étant la plus conforme à la rigueur géométrique qu'il voulait y observer; et Lagrange l'adopta aussi, comme principe de sa belle théorie de l'osculation des courbes, dans son Traité des fonctions analytiques.

vous seront données), examinez les divers mouvemenis qu'a le point qui la décrit à l'endroit où vous voulez mener la touchante : de tous ces mouvements, composés en un seul, tirez la ligne de direction du mouvement composé; vous aurez la touchante de la ligne courbe. »

Cette méthode présente, quant au principe métaphysique, une analogie remarquable avec celle des Fluxions, que Newton créa longtemps après. Mais elle n'eut pas, entre les mains de Roberval, toutes les conséquences dont elle était susceptible, et dont l'honneur était réservé à Newton, parce que le secours d'un procédé analytique uniforme,. propre à la mettre en pratique, manquait alors. Néanmoins la conception de Roberval, neuve sous plusieurs rapports, et vraiment philosophique, assure à ce géomètre une place distinguée dans l'histoire des découvertes mathématiques.

Son principe, en effet, créait une nouvelle manière de considérer les grandeurs, et d'en découvrir les relations. Dans la Géométrie, jusque-là, on avait supposé les grandeurs déjà formées, pour les comparer entre elles ou avec leurs parties. Roberval, remontant à la génération des quantités, introduisait dans la Géométrie les puissances qui les engendrent; et, des rapports entre ces puissances, il déduisait ceux qui ont lieu entre les quantités elles-mêmes. La puissance à laquelle il attribuait la formation des grandeurs est le mouvement.

Les Anciens avaient connu la composition des mouvements, ainsi que nous le voyons dans les questions mécaniques d'Aristote * : de plus, ils l'avaient appliquée à la Géométrie, pour concevoir la génération de certaines courbes. La manière dont Archimède décrivait sa spirale, par la composition du mouvement circulaire et du mouvement rectiligne, et la description de la

' Patet igitur, quotiescumque aliquid per diametrum dnplice vi, in diversa tendente, impellatur, illud necessario ferri secundum rationem laterum. Qiiaest. racchan., cap. IL

Aristole revient sur ce principe dans sa 25* question, pour montrer que, selon que les directions des deux mouvements composants font un angle plus grand ou plus petit, la quantité et la direction du mouvement résultant peuvent devenir très différentes.

Le célèbre philosophe parle encore assez distinctement du même principe, au chap. VIII du 12" livre de sa Métaphysique.

spirale sphérique de Pappus en sont des preuves. Mais ces géomètres n'appliquèrent ces considérations de mouvement qu'à quelques courbes particulières, et n'eurent point l'idée d'en faire, comme Roberval, un principe de génération de toutes les courbes, et surtout n'en firent point usage pour découvrir leurs propriétés.

Cette circonstance, que la méthode de Roberval comportait la plus grande généralité à une époque où la Géométrie se réduisait encore à l'étude particulière de quelques courbes, considérées individuellement, mérite d'être remarquée. C'est l'un des premiers exemples du passage des idées concrètes aux idées abstraites dans la science de l'étendue.

On a fait quelques fausses applications de la méthode de Roberval, en observant mal le principe de la composition des mouvements, comme il est arrivé aussi quelquefois dans des questions de mécanique. Mais ces faits d'inattention ne portent aucune atteinte à la méthode, dont la règle est énoncée par Roberval d'une manière sûre, quoique démontrée d'un style peu facile : les treize applications qu'en fait l'auteur, à des courbes très différentes ', sont parfaitement exactes.

La conception de Roberval était à la hauteur de celles de Descartes et de Fermât, auxquelles elle ne le cédait que parce que celles-ci s'étaient aidées du secours puissant de l'Analyse, sans lequel elles seraient restées stériles. Roberval avait su apprécier cet avantage, sur la sienne, des méthodes de ses deux illustres rivaux. Le jugement qu'il porta à ce sujet, dans une lettre adressée à Fermai, nous paraît pouvoir être confirmé. Roberval, après avoir parlé de diverses applications de sa méthode, ajoute : « Elle n'est pas inventée avec une si subtile et si profonde Géométrie que » la vôtre, ou celle de M. Descartes, et partant elle paraît avec moins

• La parabole, l'hyperbole, l'ellipse, la conchoïde de Nicomède ; diverses autres conchoïdes ; le limaçon de Pascal ; la spirale d'Archimèdc; la quadratrice de Dinostrate; la cissoïde de Dioclès ; la cycloïdc, la compagne de la cycloïde, et la parabole de Descartes (courbe du troisième degré, que Descartes engendrait d'un mouvement continu, et dont il faisait usage dans sa Géométrie, pour la construction des équations du sixième degré).

» d'artifice; en récompense elle me semble plus simple, plus naturelle et » plus courte; de sorte que, pour toutes les touchantes dont j'ai parlé, il » ne m'a pas même été besoin de mettre la main à la plume. » {OEuvres de Fermât, pag. 163.)

§ 9. Roberval fut encore l'émule de Fermât dans toutes les questions des dimensions des figures, et de leurs centres de gravité, qui touchaient de si près au calcul intégral actuel. Il avait imaginé, pour résoudre ces questions, une méthode analogue à celle de Cavalieri, mais qu'il présentait sous un point de vue plus conforme à la rigueur géométrique. II intitula cette méthode, qu'il avait puisée, dit-il, dans une lecture approfondie des ouvrages d'Archimède, Traité des Indivisibles. Il paraît certain qu'il la possédait avant que Cavalieri eût publié la sienne, qu'il la gardait in peltOy dans la vue de se procurer une supériorité flatteuse sur ses rivaux, par la difficulté des problèmes qu'elle le mettait en état de résoudre. Il en résulta que tout l'honneur d'une aussi utile découverte resta à Cavalieri \

§ 10. La solution de Fermât, pour les tangentes des courbes, repose fermât. sur les mêmes principes que sa belle méthode De maximis et minimis, où il introduisait, pour la première fois, l'infini dans le calcul, comme Kepler l'avait introduit dans la Géométrie pure. Aussi cette méthode a fait regarder Fermât comme le premier inventeur du calcul infinitésimal.

Le passage suivant, extrait du Calcul des fonctions, de l'illustre Lagrange, fait connaître, d'une manière claire et précise, l'esprit et le mécanisme des procédés de Fermât, et le lien qui les unit aux nouveaux calculs : « Dans sa méthode De maximis et minimis^ il égale l'expression de la quantité dont on recherche le maximum ou le minimum, à l'expression de la même quantité dans laquelle l'inconnue est augmentée d'une quantité indéterminée. Il fait disparaître dans cette équation les radicaux et les fractions, s'il y

* Le Traité des Indivisibles ne parut, ainsi que la plupart des autres ouvrages de Roberval, que près de vingt ans après sa mort, dans le recueil intitulé : Divers ouvrages de mathématiques et de physique, par MM. de l'Académie royale des sciences; in-fol., 1693 ; puis en 4750, dans le tome VI des anciens Mémoires de l'Académie des sciences.

en a, et après avoir effacé les termes communs dans les deux membres, il divise tous les autres par la quantité indéterminée qui se trouve les multiplier; ensuite il fait cette quantité nulle, et il a une équation qui sert à déterminer l'inconnue de la question. Or, il est facile de voir au premier coup d'œil que la règle déduite du calcul différentiel, qui consiste à égaler à zéro la différentielle de l'expression qu'on veut rendre un maximum ou un minimum, prise en faisant varier l'inconnue de cette expression, donne le même résultat, parce que le fond est le même, et que les termes qu'on néglige comme infiniment petits dans le calcul différentiel, sont ceux qu'on doit supprimer comme nuls dans le procédé de Fermât. Sa méthode des tangentes dépend du même principe. Dans l'équation entre l'abscisse et l'ordonnée, qu'il appelle la propriété spécifique de la courbe, il augmente ou diminue l'abscisse d'une quantité indéterminée, et il regarde la nouvelle ordonnée comme appartenant à la fois à la courbe et à la tangente, ce qui fournil une équation qu'il traite comme celle d'un cas de maximum ou de minimum. On voit encore ici l'analogie de la méthode de Fermât avec celle du calcul différentiel; car la quantité indéterminée dont on augmente l'abscisse, répond à la différentielle de celle-ci, et l'augmentation correspondante de l'ordonnée répond à la différentielle de cette dernière. Il est même remarquable que dans l'écrit qui contient la découverte du calcul différentiel, imprimé dans les Actes de Leipzig du mois d'octobre 1684, sous le titre : Nova methodus pro maximis et minimis, etc., Leibnitz appelle la différentielle de l'ordonnée une ligne qui soit à l'accroissement arbitraire de l'abscisse comme l'ordonnée à la soutangente; ce qui rapproche son analyse de celle de Fermât '. »

* Dans le jugement qu'il a porté récemment sur celte grande question, M. Poisson n'a pas été tout à fait aussi absolu que Lagrange, L'impartialité que nous devons apporter sur ce point liislorique, où il s'agit de faire remonter à Fermât l'honneur d'une invention qui a répandu tant de gloire sur l'Angleterre et l'Allemagne, nous a fait un devoir de rapporter ici les paroles de M. Poisson, qui d'ailleurs font connaître, de la manière la plus lumineuse, le principe de la méthode de Feriftat, et la nuance précise qui existe entre elle et l'invention de Leibniz.

L'opinion de Lagrangc, sur la part qu'on doit donner à Fermât dans l'invention des nouveaux calculs, a été celle aussi de ses illustres confrères Laplace et Fourier; elle avait déjà été émise, dans un temps où Ton n'avait pas encore songé à revendiquer pour Fermât la gloire qui lui est due, par d'Alembert ', qui a écrit avec tant de profondeur et de sagacité sur la métaphysique de la Géométrie, et même par Buffon 2, traducteur du Traité des Fluxions, et admirateur enthousiaste du grand Newton.

§ 11. Fermât fut, avec Pascal, l'inventeur du calcul des probabilités, l'une des plus belles productions du XVII^ siècle.

Il fut sans égal dans la théorie des nombres, où il possédait sans doute

A Fermât, l'idée philosophique; à Leibniz, Tinstruraent indispensable pour la mettre en pratique.

« A mesure qu'une grandeur s'approche de son maximum ou de son minimum, elle varie » de moins en moins, et sa différentielle s'évanouit lorsqu'elle atteint l'une ou l'autre de ces » valeurs extrêmes. En partant de ce principe, Fermât eut l'heureuse idée, pour déterminer » le maximum ou le minimum d'une quantité, d'atlribuer à la variable dont elle dépend, » un accroissement infiniment petit, et d'égaler à zéro l'accroissement correspondant de cette » quantité, préalablement réduit au même ordre de grandeur que celui de la variable. C'est 1 de cette manière qu'il détermina la route de la lumière au passage d'un milieu dans un » autre, en supposant, d'après la théorie qu'il avait adoptée, que le temps de ce trajet doit » être un minimum. Lagrangc le considère, pour cette raison, comme le premier inventeur » du calcul différentiel; mais ce calcul consiste dans un ensemble de règles propres à trouver » immédiatement les différentielles de toutes les fonctions, plutôt que dans l'usage qu'on fera » de ces variations infiniment petites, pour résoudre telle ou telle espèce de problèmes; et sous » ce rapport, la création du calcul différentiel ne remonte pas au delà de Leibnitz, auteur de » l'algorithme et de la notation qui ont généralement prévalu, dès l'origine de ce calcul, et » auxquels l'analyse infinitésimale est principalement redevable de ses progrès. » {Mémoire sur le calcul des variations, par M. Poisson, lu à l'Académie le 10 novembre 1851, publié dans le tome XII des Mémoires de l'Académie des sciences.)

* « On doit à Descartes l'application de l'Algèbre à la Géométrie, sur laquelle le calcul différentiel est fondé, et à Fermât la première application du calcul aux quantités différentielles, pour trouver les tangentes; la Géométrie nouvelle n'est que cette dernière méthode généralisée. » (Art. Géométrie de V Encyclopédie.)

2 € Fermât trouva moyen de calculer l'infini, et donna une méthode excellente pour la résolution des plus grands et des moindres; cette méthode est la même, à la notation près, que celle dont on se sert encore aujourd'hui; enfin, cette méthode était le calcul différentiel si son auteur l'eût généralisée. » (Préface de la traduction de la Méthode des Fluxions de IVewton.)

une méthode simple qui nous est encore inconnue, malgré les grands perfectionnements qu'a reçus l'Analyse indéterminée ; car les beaux théorèmes dont il ne nous a laissé que les énoncés, et qui depuis ont occupé les plus célèbres géomètres, n'ont été démontrés que successivement, à grande peine et par des méthodes diverses.

Malgré sa prédilection pour ces recherches numériques, Fermât enrichit aussi la Géométrie de belles découvertes.

A l'instar d'Archimède, qui avait donné la quadrature de la parabole, il carra les paraboles de tous les ordres ; il détermina les volumes et les centres de gravité des paraboloïdes, et de plusieurs autres solides; et il découvrit les propriétés d'une spirale, différente de celle d'Archimède. Il alla encore au delà de ce prince des géomètres de l'Antiquité, en résolvant, par une méthode purement géométrique et fort analogue à la méthode d'exhaustion, une question dont Archimède n'avait point laissé de traces, et que Descartes avait jugée au-dessus des efforts de l'esprit humain, la rectification absolue de la parabole cubique et de quelques autres courbes (De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione. OEuvres de Fermât, pag. 89); mais, ce travail n'ayant été publié qu'en 1660, Fermât fut devancé dans la gloire de cette grande découverte, la rectification d'une ligne courbe, par Neil et Van Heuraet.

C'était sa méthode De maximis et minimis qui mettait Fermât en état de résoudre la plupart de ces grandes questions. L'une des plus belles applications qu'il en fit, fut relative au phénomène de la réfraction de la lumière, qui avait élevé entre lui et Descartes un démêlé célèbre. Sa solution fut la confirmation de la règle trouvée par son illustre antagoniste, qu'il avait combattue jusque-là. Cette solution parut si belle, qu'elle lui fit partager avec Descartes la gloire d'avoir agrandi le domaine de la Géométrie, en introduisant cette science dans l'étude des phénomènes de la nature.

§ 12. Fermât excella aussi dans cette autre partie de la Géométrie, qui se rapporte à l'Analyse géométrique des Anciens, et que nous avons appelée la Géométrie d'Apollonius.

II rétablit les lieux plans de ce géomètre suivant les énoncés laissés par Pappus. Il annonçait, dans une lettre adressée à Roberval, qu'il en avait trouvé beaucoup d'autres, très beaux et dignes de remarque; mais les deux livres d'Apollonius seuls ont été imprimés, et nous sont connus.

Il apprit à trouver les lieux plans ou solides, par une méthode analytique et générale, et à se servir de cette méthode pour la construction des problèmes par les lieux. C'était la méthode des coordonnées de Descartes, que Fermât avait lui-même conçue avant que le célèbre philosophe eût mis au jour sa Géométrie.

Fermât étendit ensuite cette doctrine à la question difficile de la construction des problèmes géométriques en général, par les courbes les plus simples. C'est dans ses recherches sur le degré des courbes nécessaires à la construction d'une équation quelconque, qu'il fut conduit à ce principe général, que Jacques Bernoulli démontra depuis dans les Actes de Leipzig de 1688, en reprochant à la Géométrie de Descartes de l'avoir omis; savoir : qu'il suffît toujours que le produit des dimensions des courbes qu'on emploie ne soit pas moindre que le degré de l'équation \

§ 13. Dans son traité De coniactibus sphœricis, Fermât résolut le premier, et complètement, les problèmes sur les contacts des sphères, comme Viète avait fait, pour les contacts des cercles, dans son Apollonius Gallus.

Cette question lui avait été proposée par Descartes, qui dit, dans ses lettres, l'avoir résolue par la ligne droite et le cercle; mais sa solution ne nous est point parvenue.

Le travail de Fermai est complet, et écrit d'un style pur qui en fait un modèle de bonne Géométrie. Nous devons dire pourtant qu'on a fait beaucoup mieux dans ces derniers temps ^, Voici sous quel rapport : ce

* De solutione problematum geometricorum per curvas simplkissimas, etc. Opéra varia, pag 110.

2 On n'avait point, jusqu'au commencement de ce siècle, d'autre traité du contact des sphères que celui de Fermât. A celle époque, cette question fixa ratlcntion de quelques

traité contient, outre le problème principal de la sphère tangente à quatre sphères données, quatorze autres problèmes qui, au fond, sont des cas particuliers de celui-là, mais que Ton est obligé de résoudre successivement, en s'élevant de Tun à l'autre, pour arriver enfin, par cette voie progressive, au problème final, dont la solution est élégante et facile, mais ne comprend pas celles des cas particuliers de la question, et se ramène, au contraire, a l'un de ces cas particuliers. La Géométrie moderne procède différemment: elle donne tout d'un coup la solution du problème général ; et cette solution s'applique à tous ces cas particuliers, par lesquels Fermât avait dû passer. On conçoit tout ce qu'a de satisfaisant une telle généralité de conception et de méthode, et l'on y reconnaît de véritables progrès dans la science. Qu'on nous permette d'ajouter que l'on peut, sous

disciples de Monge, qui l'envisagèrent sous un point de vue nouveau, se ressentant déjà de la généralité de méthodes et de conceptions qui fait le caractère de la Géométrie de cet illustre maître. Ces premiers essais furent consignés en partie dans le second numéro du 1"' volume de la Correspondance polytechnique; une courte analyse d'un Mémoire de M. Ch. Dupin, qui devait les compléter, parut plus tard dans le même recueil (tom. Il, pag. 420); elle est de nature, par les résultats élégants et nouveaux qu'elle contient, à faire regretter vivement que ce célèbre académicien n'ait pas publié son travail. On doit à M. Gaultier, professeur au Conservatoire des Arts et Métiers, d'avoir repris cette question, qu'il a traitée avec une généralité tout à fait nouvelle et satisfaisante. Des méthodes plus récentes ont encore donné un nouveau degré de simplification à cette matière. Les unes sont purement descriptives, c'est-à-dire qu'elles ne considèrent aucune relation de longueur de lignes; et ce sont les plus générales et les plus simples. Parmi les autres, qui exigent la mesure et la composition de certains rapports de lignes, on distingue celles que le célèbre Pergola et son savant disciple M, Flauti ont données dans les Mémoires de V Académie des sciences de Naples. (Voir aussi la Geomelria di silo de M. Flauti, seconde édition, ann. 1821, pag. 156.)

La question de la sphère tangente à quatre autres est l'une de celles où la Géométrie a eu pendant longtemps l'avantage sur l'Analyse. Euler en avait présenté, en 1779, à l'Académie de Petersbourg, deux solutions analytiques, qui ne parurent qu'au commencement de ce siècle, dans le Recueil de cette Académie pour les années 1807-1808 (imprimé en 1810). Carnot déjà en avait indiqué une solution analytique dans sa Géométrie déposition (pag. 416), mais sans effectuer les développements qui l'auraient conduit à une équation du second degré. Ce fut, de nos jours, M. Poisson qui résolut, le premier, complètement cette question par le calcul. {Bulletin de la Société philomalique, ann. 1812, pag 141.) Peu de temps après, MM. Binet et Français en ont donné aussi des solutions analytiques différentes (17* Cahier du Journal del'École pottjtechnique, et lom. III des Annales de Mathématiques).

un autre point de vue, apporter une nouvelle sorte de généralisation dans cette matière, en substituant aux quatre sphères quatre surfaces du second degré semblables entre elles, et plus généralement encore quatre surfaces du second degré quelconques, pourvu qu'elles soient inscrites, toutes les quatre, à une même surface du même degré ; et Ton fait voir que ce problème et sa solution comprennent, comme corollaire, le cas des quatre sphères. {Voir la Note XXVIH.)

Cette comparaison de la solution de Fermât aux solutions modernes ne paraîtra peut-être pas déplacée ici, comme montrant bien la nature des progrès que la Géométrie a laits, et de ceux auxquels elle doit tendre, même dans les questions où l'on se borne trop souvent à admirer les productions des grands géomètres, sans oser supposer que la perfectibilité de la science puisse leur porter atteinte.

§ 14. Fermât avait commencé et promis la restitution des porismes d'Euclide, en donnant à ce mot un sens autre que celui qui a été généralement adopté depuis, d'après R. Simson. Si le célèbre géomètre écossais a deviné et rétabli la forme des énoncés des porismes, Fermât avait peut-être aussi pénétré, et non moins heureusement, dans ce mystère, en concevant le but, la destination et la haute utilité qu'Euclide avait assignés à son Traité des Porismes. Mais Fermât s'exprime à ce sujet si succinctement, qu'il a peut-être fallu trouver a priori les idées et les intentions que nous croyons apercevoir dans sa manière de considérer les porismes ; et nous devons remettre à un autre moment le développement de notre opinion sur ce sujet.

Cinq théorèmes que Fermât a laissés, comme exemple ou spécimen des porismes, nous font regretter qu'il n'ait pas donné suite à son travail. Le troisième surtout aurait mérité de fixer l'attention des géomètres, comme étant certainement l'un des plus beaux et des plus féconds de toute la théorie des coniques. C'est en effet précisément le fameux théorème de Desargues, sur l'involution de six points, si connu dans la Géométrie récente. Un autre porismo, que Fermât avait proposé de

démontrer à Wallis, est un corollaire de ce théorème général, appliqué à

la parabole '.

Non seulement Fermât avait promis la restitution des trois livres des porismes d'EucIide, mais il devait étendre cette doctrine au delà des bornes que le géomètre grec s'était posées, et l'appliquer aux sections coniques et à toutes sortes d'autres courbes. Il y avait découvert, dit-il, des choses ignorées et admirables ^, Loin de penser, comme Simson, que cette promesse était téméraire, nous croyons y voir un indice que Fermât avait compris la vraie doctrine d'Euclide, et avait su en découvrir toute la portée et la fécondité.

PASCAL, § 15. Dans le même temps, Pascal, saisissant avec sa pénétration accou-

tumée l'esprit de la méthode des indivisibles de Cavalieri, en démontrait toute la rigueur et se l'appropriait, en l'appliquant d'une manière générale aux questions difficiles des surfaces, des volumes et des centres de gravité des corps. Ces recherches, qui offrent un monument précieux de la force de l'esprit humain, touchaient de près au calcul intégral ; elle sont le lien entre Archimède et Newton.

Avec le secours de cette méthode, Pascal surpassait les plus célèbres géomètres dans la recherche des propriétés de la cycloïde.

* R. Simson a emprunté de Fermât ces deux belles propositions, et les a démontrées, la première dans son Traité des Porismes, sous le n" 81, et l'une et l'autre dans son Traité des sections coniques, livre 5% propositions 12 et 19. La seconde, celle qui concerne la parabole, a aussi été reproduite par Ozanam, dans son Dictionnaire de mathématiques, à l'art. PonrsMES.

* Jmà et Euclidem ipsum promovebimus et porismata in coni sectionibus et aliis quibuscumque curvis mirabilia sanà, et hactenus ignota detegemus. (Varia opéra Mathematica, pag. 119.)

Cette promesse, que le jugement sûr et le noble caractère de l'aulcur ne nous permettent pas de regarder comme exagérée, nous montre combien la Géométrie est intéressée à la découverte des manuscrits de Fermât, dont l'Analyse, plus particulièrement jusqu'ici, avait déploré la perte.

Espérons que nous ne sommes pas privés pour toujours d'ouvrages si précieux. Déjà M.Libri, dans les recherches auxquelles il se livre pour une histoire générale des sciences, a eu le bonheur d'en découvrir deux fragments, qui étaient restés inédits, et de trouver diverses indications qui lui font espérer de nouvelles découvertes. L'esprit supérieur de ce célèbre analyste nous est un sûr garant qu'il attachera un haut prix, dans ses recherches, aux fragments de pure Géométrie, comme aux productions analytiques du génie de Fermât.

Déjà celle courbe fameuse, donl l'hisloire se ratlache à toules les grandes conceplions du XVII« siècle, avait élé Tobjel des Iravaux de Galilée, Descarles. Fermai, Roberval, Torricelli. Après avoir dormi quoique lemps, elle fui remise sur la scène par Pascal, qui voulut, en quelque sorte, que la grande difficulté des questions nombreuses auxquelles celle courbe donnait lieu, servît d'essai et fût la mesure des forces et de la capacité des géomètres de son temps. Wren, Sluze, Wallis, liuygens, La Loubère, Fabri, répondirent à cet appel, et résolurent chacun une partie plus ou moins considérable des questions proposées, mais en laissant tous à Pascal la gloire d'une solution complète. Depuis, la cycloïde eut une troisième phase, lors de l'invention du calcul différentiel. Outre ses propriétés géométriques si belles et si diverses, elle en acquit alors, entre les mains de Newton, de Leibniz, des Bernoulli et du marquis de Lhospilal, de nouvelles, puisées dans des considérations de mécanique, qui ajoutèrent à l'importance et à la célébrité de celle courbe merveilleuse.

Le mouvement d'une roue sur un plan, dans lequel on a découvert la cycloïde, offre une seconde génération de celle courbe, à laquelle je ne crois pas que l'on ail fait attention ; c'est que Venveloppe de l'espace parcouru par un diamètre de la roue est précisément aussi une cycloïde K

La considération de celle courbe a été l'origine d'une classe nombreuse de lignes, produites par le roulement d'une courbe donnée sur une autre courbe fixe, qui ont élé considérées, dans toute la généralité que comporte cette question, par Leibniz, La Hire, Nicolas, etc., et donl Herman et Clairault ont étendu la théorie aux courbes décriles de la même manière sur la sphère.

§ 16. Les travaux de Pascal sur celte autre partie de la Géométrie, qui se rattache à l'analyse géométrique des Anciens et à la théorie des coniques, ne méritent pas moins notre admiration que ses étonnantes découvertes sur

* Les épicycloïdes sont susceptibles aussi d'une double génération semblable; et l'on déduit de là diverses propriétés de ces courbes.

Si, au lieu d'un diamètre, on considère dans le cercle mobile une corde quelconque, son enveloppe sera une développante d'épicycloïde.

70 HISTOIRE DE LA GÉOM^yPRlE.

la cycloïde, et que ses autres applications de la méthode de Cavalieri. Nous y trouvons, ainsi que dans un écrit de Desargues sur la même matière, le germe des nouvelles doctrines qui constituent la Géométrie moderne. Nous devons parler, avec quelques détails, de cette partie des découvertes de Pascal.

La plus saillante, et qui fut entre ses mains d'un usage magique, est son beau théorème de Vhexagramme mystique. Il désignait ainsi cette propriété de tout hexagone inscrit à une conique,, d'avoir les trois points de concours de ses côtés opposés, toujours en ligne droite. Cinq points déterminent une conique; ce théorème est donc une relation de position d'un sixième point quelconque de celte courbe par rapport aux cinq premiers : c'est une propriété fondamentale et caractéristique des coniques. Aussi Pascal, alors âgé seulement de seize ans, comme il le dit lui-même *, en avait fait la base d'un traité complet des coniques. Cet ouvrage ne nous est point parvenu. Leibniz, qui, pendant son séjour à Paris, l'a eu entre les mains, nous fait connaître par une lettre adressée en 4676 à M. Perier, neveu de Pascal, les titres des six parties, ou traités, qui devaient le composer. {OEuvres de Pascal, tom. V, pag. 459.)

Le titre de la première partie nous apprend que Pascal se servait des principes de la perspective, pour engendrer les coniques par le cercle, et tirer, de celte manière, leurs propriétés de celles du cercle. Celte méthode, suivant Leibniz, était le fondement de tout l'ouvrage.

La deuxième partie roulait sur l'hexagramme mystique. « Après avoir » expliqué, dit Leibniz, la génération du cône, faite optiquement par la pro- » jeclion d'un cercle, sur un plan qui coupe le cône des rayons, il explique » les propriétés remarquables d'une certaine figure, composée de six lignes » droites ; ce qu'il appelle hexagramme mystique. »

Dans la troisième partie se trouvaient les applications de l'hexagramme,

Conicorum opus completum, et conica Apollonii et alia innumera unicà ferè propositions amplectens; quod quidem mondum sex decimum œlatis annum assecutus excogilavi, et deindè in ordinem congessi. [OEuvres de Pascid, lom. IV, pag. 410.)

les propriétés des cordes et des diamètres coupés harmoniquement, et probablement les théorèmes qui constituent la théorie des pôles K

La quatrième partie contenait ce qui a rapport aux segments faits sur des sécantes menées parallèlement à deux droites fixes, et les propriétés des foyers.

Dans la cinquième, Pascal résolvait les problèmes où il s'agit de décrire une conique qui satisfasse à cinq conditions, de passer par des points et de toucher des droites.

Enfin, la sixième partie avait été intitulée, par Leibniz, De loco solido. Quelques mots nous font supposer qu'il pouvait y être question du fameux problème de Pappus, Ad très mit quatuor lineas.

Quelques fragments contenaient divers problèmes.

§ 17. Heureusement, à l'occasion de ce traité, Pascal avait réuni, sous le titre di Essai pour les coniques, quelques-uns des principaux théorèmes qu'il devait contenir, voulant les soumettre à l'examen des géomètres et avoir leur sentiment, avant de pousser plus loin son travail. C'est cet Essai, qui parut en 1 64-0, quand Pascal avait en eftet à peine seize ans, dont il est question dans quelques lettres de Descartes, à qui le P. Mersenne l'avait envoyé. Depuis il est resté enseveli pendant plus d'un siècle, et n'a revu le jour qu'en 1779, par les soins de M. Bossut, dans son édition complète des OEuvres de Pascal.

Cet écrit, de sept pages in-8°, est un fragment précieux des découvertes et de la méthode du grand Pascal, touchant les coniques.

* M. Poncelet a déjà exprimé cette opinion, dans son Traité des propriétés projectives, pag. \0\. Il nous paraît facile de la justifier. Car le théorème de l'hexagone, quand on y suppose que deux côtés opposés deviennent infiniment petits, auquel cas la figure représente un quadrilatère inscrit à la conique, et deux tangentes menées par deux sommets opposes, ce théorème, dis-je, donne immédiatement, comme corollaire, le suivant : quand un quadrilatère est inscrit à une conique, les tangentes à la courbe, menées par deux sommets opposés, se coupent sur la droite qui joint les points de concours des côtés opposés.

Ce théorème paraît répondre aux mots de quatuor tangentibus, et rectis puncla tacluum jungentibus, qui se trouvent au litre de cette troisième partie, et être l'un de ceux que Pascal avait déduits de son hexagramme. Mais on reconnaît aisément que ce théorème contient toute la théorie des pôles. Il nous paraît donc prouvé que celle théorie était comprise dans les applications que Pascal avait faites de I hexagramme.

En voici une très succincte analyse :

Le fameux théorème de Thexagramme mystique se trouve d'abord énoncé, comme lemme, d'où tout le reste doit se déduire.

La première des propositions qui viennent ensuite est encore relative à l'hexagone inscrit à une conique ; c'est une relation entre les segments faits, sur deux de ses côtés, par deux autres côtés et deux diagonales. Cette relalion n'est au fond que le théorème de Desargues sur l'involution de six points, mais présenté sous un point de vue différent, qui pouvait le rendre propre à de nouveaux usages. Nous développerons cette idée dans la Note XV.

La proposition suivante, exprimée par une double égalité de rapports, renferme deux propositions différentes. La l'^^ est la 129« du 7* livre des Collections mathématiques de Pappus, qui nous a donné lieu d'introduire la notion du rapport anharmonique, et dont nous avons déjà dit qu'elle pouvait être la base d'une partie considérable de la Géométrie récente; la seconde est le théorème de Ptolémée sur le triangle coupé par une transversale.

Puis vient une proposition qui, eu égard à ce théorème de Ptolémée, se réduit à la belle et importante propriété des coniques, relative aux segments qu'une telle courbe fait sur les trois côtés d'un triangle, due, dans ces derniers temps, à l'illustre auteur de la Géométrie de position,

La proposition suivante est cette même propriété des coniques, étendue à un quadrilatère quelconque, au lieu d'un triangle ^. Ce théorème^ généralisé par Carnot, qui l'a démontré pour un polygone et une courbe géométrique quelconques, et l'a étendu même aux surfaces courbes ^, est l'un des plus féconds de la théorie des transversales.

Ensuite on remarque le fameux théorème sur l'involution de six points,

' Si l'on suppose que deux sommets du quadrilatère soient à l'infini, les segments qui aboutissent à ces sommets seront égaux, deux à deux, comme étant infinis, et comptés sur des droites parallèles; alors il en résulte la belle propriété des coniques, relative au rapport constant des produits des segments faits, sur deux transversales issues d'un point quelconque, parallèlement à deux droites fixes.

'^ Géùïitèlriede pusilion, \)»g. 457.

« dont le premier inventeur est M. Desargues, un des grands esprils de ce tenis et des plus versés aux malhémaliques, et entre autres aux coniques. » Pascal ajoute qu'il a « tâché d'imiter sa méthode sur ce sujet, qu'il a traité sans se servir du triangle par Taxe, en traitant généralement de toutes les sections du cône ^ »

§ 18. Nous concevons parfaitement, d'après la fécondité éprouvée des théorèmes que nous venons de citer, que Pascal en ait fait, comme il l'annonçait, la base d'Eléments coniques complets; et qu'en les déduisant de son hexagramme mystique, il ait tiré de ce seul principe quatre cents corollaires, comme le dit le P. Mersenne, dans son traité De mensuris, ponderibus, etc.; in-fol., 1644 2. {Voir la Note XIII.)

On observe que ces divers théorèmes principaux exprimaient, chacun, une certaine propriété de six points situés sur une conique : cela explique comment Pascal avait pu les déduire de son hexagramme mystique, qui était lui-même une propriété générale de ces six points. Mais chacun de ces théorèmes avait pris une forme différente, qui le rendait propre à des usages particuliers, comprenant un nombre immense de propriétés des coniques.

C'est cet art inflnimenl utile de déduire d'un seul principe un grand nombre de vérités, dont les écrits des Anciens ne nous offrent point d'exemples, qui fait l'avantage de nos méthodes sur les leurs.

§ 19. Pascal avait écrit plusieurs autres ouvrages de Géométrie, dans le style de son Traité des coniques. Les titres seuls nous en sont parvenus, par une Note qu'il adressa, en 1654 ^, à une société de savants qui se réunissaient les uns chez les autres, avant la fondation de l'Académie des sciences, qui eut lieu en 1666.

* Nous avons expliqué, en parlant d'Apollonius, ce qu'on entend par le triangle par l'axe; et nous avons dit que ce grand géomètre de l'antiquité supposait, pour former ses coniques, le plan coupant perpendiculaire au plan de ce triangle. Desargues, comme on le voit, et Pascal, à son exemple, traitaient les coniques d'une manière beaucoup plus générale, puisqu'ils prenaient le plan coupant dans une position tout à fait arbitraire.

2 Unica propositione universalissima , 400 corollariis armatâ, integrum Apollonium complexus est.

3 OEuvres de Pascal, lom. IV, pag. 408.

Nous y voyons qu'à l'instar de Viète, il avait résolu, mais avec une extension considérable et par une méthode extrêmement simple, les problèmes sur les contacts des cercles; puis les questions analogues sur les contacts des sphères ; qu'il avait écrit un traité des Lieux plans, plus étendu et plus considérable que ce qu'avaient fait les Anciens et les Modernes sur ce sujet, et par une méthode neuve et extrêmement expéditive; et enfin qu'il avait imaginé aussi une méthode nouvelle de perspective, aussi simple que possible, puisque chaque point du tableau se construisait par l'intersection de deux lignes droites.

Cette faible indication, que nous trouvons dans la Note de Pascal, suffit pour nous faire regretter la perle d'écrits où devaient briller le génie inventeur de ce profond géomètre, et l'art admirable avec lequel il savait généraliser une première découverte et en tirer toutes les vérités qu'elle renfermait.

DESARcuEs, § 20. Dcsargucs, que Pascal avait pris pour guide, et qui était digne

en effet d'un tel disciple, avait aussi écrit sur les coniques, un an auparavant, d'une manière neuve et originale. Sa méthode reposait, comme celle de Pascal, sur les principes de la perspective ^, et sur quelques théorèmes de la théorie des transversales. Il ne nous reste que quelques indications peu lucides sur l'un de ses écrits, intitulé : Brouillon projet d'une atteinte aux

• C'est une question de savoir si les Anciens ont connu les usages de la perspective dans la Géométrie rationnelle ; et cette question, je crois, n a point été approfondie. Au premier abord on serait tenté de répondre aflirmativement, tant cette méthode est naturelle, et paraît liée à leur manière d'engendrer les coniques, dans le cône à base circulaire. Aussi cette opinion est-elle la plus commune chez les géomètres. Elle a été fortifiée, dans ces derniers temps, par le sentiment particulier de M. Poncelet sur les porismes d'Euclide, qui auraient été des propositions démontrées par cette méthode (Traife des propriétés projectives ; Introduction, p. xxxvii). Mais, malgré tout le respect que nous professons pour l'opinion de ce célèbre géomètre, nous devons avouer que nous n'avons trouvé, dans la lecture des Anciens, aucune trace, aucun indice qui nous autorise à la partager dans cette circonstance. Nous croyons, au contraire, que la méthode de la perspective, comme nous la pratiquons actuellement en Géométrie rationnelle, n'a pomt été en usage dans l'école grecque. Aussi, jusqu'à un plus approfondi et plus ample examen, nous attribuerons cette méthode aux Modernes, et nous dirons que Desargues et Pascal ont le mérite de l'avoir appliquée, les premiers, à la théorie des coniques.

événements des rencontres- du cône avec un plan. Les autres, s'il en a existé plusieurs, ainsi que peut le faire supposer un passage de VEssai de Pascal, étaient peut-être sur des feuilles volantes, comme il paraît que Desargues en usait, soit pour communiquer ses découvertes, soit pour répondre à ses nombreux détracteurs.

Celui que nous venons de citer parut en 1639. Il en est parlé dans plusieurs lettres de Descartes.

Cet écrit se distinguait par quelques propositions nouvelles, et surtout par Tesprit de la méthode, fondée sur cette remarque judicieuse et féconde, que les sections coniques, étant formées par les différentes façons dont on coupe un cône ayant un cercle pour base, devaient participer aux propriétés de celte figure.

Desargues apportait donc, dans l'étude des coniques, une double innovation importante. D'abord il les considérait sur le cône, dans toutes les positions possibles du plan coupant, sans se servir, comme les Anciens, du triangle par l'axe ; ensuite, il imaginait d'approprier à ces courbes les propriétés du cercle qui servait de base au cône.

Cette idée, qui nous paraît si simple et si naturelle aujourd'hui, parce que nous sommes accoutumés aux procédés de la perspective et à divers autres modes de transformation des figures, n'était pas venue à l'esprit des géomètres d'Alexandrie. Car nous n'en trouvons aucune trace dans leurs ouvrages, et nous y voyons qu'en se servant, dans leur théorie des coniques, d'une propriété du cercle (celle du produit des segments faits sur deux cordes qui se coupent), ils n'ont point eu l'intention de rechercher son analogue dans ces courbes, mais seulement de démontrer leur théorème du latus rectum.

§ 21. La méthode de Desargues lui permit d'apporter dans la théorie des coniques, comme il le fittlans divers autres écrits, des vues nouvelles de généralité, qui agrandissaient les conceptions et la métaphysique de la Géométrie.

Ainsi il y considéra, comme des variétés d'une même courbe, les diverses sections du cône (le cercle, l'ellipse, la parabole, l'hyperbole et le système de

deux lignes droites), qui, jusque-là, avaient toujours été traitées séparément, et par des moyens particuliers à chacune de ces sections ^

Descartes nous apprend que Desargues regardait aussi un système de plusieurs droites parallèles entre elles, comme une variété d'un système de droites concourant en un même point : dans ce cas, le point de concours était à rinfini. « Pour votre façon de considérer les lignes parallèles comme » si elles s'assemblaient à un but à distance infinie, afin de les comprendre » sous le même genre que celles qui tendent à un point, elle est fort » bonne » ^ [Lettres de Descartes, tom. III, pag. 457, édition in-12.)

Leibniz fait mention aussi de celte idée de Desargues, dans un mémoire sur la manière de déterminer la courbe enveloppe d'une infinité de lignes (Acla erud. ann. 1692, pag. 168); et, dans un autre endroit, il la rattache à sa loi de continuité (Comm. epist,, tom. II, pag. 101). Newton adopta cette définition des parallèles dans les lemmes 1 8 et 22 de ses Principes de la philosophie 7iaturelle, où il regarde des droites parallèles comme concourant en un point situé à l'infini.

Desargues appliquait, aux systèmes de lignes droites, les propriétés des lignes courbes; ce qui est aujourd'hui chose naturelle et très usitée, parce qu'un système de droites peut être représenté par une équation unique, comme une courbe géométrique, mais ce qui était alors une conception neuve et originale. Descartes en parle en ces termes, dans une lettre adressée au P. Mersenne :

« La façon dont il commence son raisonnement, en l'appliquant tout » ensemble aux lignes droites et aux courbes, est d'autant plus belle qu'elle » est plus générale, et semble être prise de ce que j'ai coutume de nommer

* Desarguesius primus sectiones conicas universali quadam rations tractare, ac propositiones multas sic enunliare cœpit, ut quœcumque sectio subintelligi posset {Act. erud., ann. 1C85, pag. 400).

2 Celte innovation fit sensation dans le temps. Bosse la cite en ces termes, comme exemple des manières universelles de Desargues en Géométrie : « Il fait voir, comme il l'a écrit à un sien » ami défunt, le rare et savant M. Pascal, fils, que les parallèles sont toutes semblables à celles » qui aboutissent à un point, et qu'elles nen différent point. » {Traité des pratiques géométrales et perspectives; in-12, 1665.)

» métaphysique de la Géométrie, qui est une science dont je n'ai point » remarqué qu'aucun autre se soit servie sinon Archimède. Pour moi, je » m'en sers toujours pour juger en général des choses qui sont trouvables, » et en quels lieux je les dois trouver » {Lettres, pag. 379 du lom. IV.)

§ 22. Les idées de Desargues, concernant les systèmes de lignes droites, comparés aux lignes courbes, ont dû le porter à appliquer, aux sections coniques, diverses propriétés connues du système de deux droites. L'une d'entre elles que Pascal, dans son Essai pour les coniques, appelle 7nerveilleuse, et qui, en effet, est d'une fécondité extrême, nous a été conservée. C'est la relation des segments faits, par une conique et par les quatre côtés d'un quadrilatère qui lui est inscrit, sur une transversale menée arbitrairement dans le plan de la courbe.

Cette relation consiste en ce que : « Le produit des segments compris sur » la transversale, entre un point de la conique et deux côtés opposés du » quadrilatère, est au produit des segments compris entre le même point de » la conique et les deux autres côtés opposés du quadrilatère, dans un rap- » port qui est égal à celui des produits semblablement faits avec le second » point de la conique situé sur la transversale. »

Ce théorème est énoncé par Pascal dans son Essai pour les coniques, et par Beaugrand dans une lettre critique sur l'ouvrage de Desargues, intitulé Brouillon projet d'une atteinte aux événements des rencontres du cône avec un plan. Cette lettre nous apprend que Desargues appelait la relation qui constitue son beau théorème, involution de six points.

On voit comment les six points se correspondent, ou sont conjugués deux à deux. Desargues examinait le cas où deux points conjugués venaient à se confondre; il y avait alors involution de cinq points *; puis celui où deux autres points conjugués se confondaient aussi ; alors on n'avait plus que quatre points, et la relation d'involution devenait un rapport harmonique.

• Il peut y avoir encore, dans un autre cas, involution de cinq points : c'est quand le sixième point esta l'infini; alors son conjugué a une position très remarquable. Je ne sais si l'on a examiné particulièrement ce cas, qui se présente souvent, sans qu'on songe à le rattacher à la théorie de l'involution.

La relation, d'involution de six points^ telle que nous l'avons énoncée, contient huit segments; mais elle peut être remplacée par une autre, où n'entrent que six segments : c'est celle que Pappus a donnée pour les segments faits, sur une transversale, par les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère (la 130^ du livre 7 des Collections mathémaligues).

En considérant les deux diagonales comme une ligne du second degré, qui passe par les quatre sommets du quadrilatère, on voit que le théorème de Desargues est une généralisation de la proposition de Pappus, dans laquelle se trouve substituée, à la place des deux diagonales du quadrilatère, une conique quelconque passant par les quatre sommets.

§ 23. Un excellent écrit de M. Brianchon, intitulé Mémoire sur les lignes du deuxième ordre (Paris 1817), est basé sur ce théorème, et en fait voir toute la fécondité. Mais il paraît que Desargues lui-même avait su en tirer un parti considérable, pour démontrer un grand nombre de propriétés des coniques ; car d'une part, Beaugrand dit, dans sa lettre *, qu'une partie du Brouillon projet, etc., était employée à examiner les corollaires du théorème en question ; et, de plus, nous trouvons dans les Pratiques géométrales et perspectives du graveur Bosse le passage suivant, qui se rapporte probablement à ce même théorème. Bosse répond aux détracteurs de Desargues, et ajoute : « Entre autres ce qu'il a fait imprimer des sections coniques, dont » une des propositions en comprend bien, comme cas, soixante de celles » des quatre premiers livres des coniques d'Apollonius, lui a acquis l'es- ») time des savants, qui le tiennent avoir été l'un des plus naturels géo- » mètres de notre temps, et entre autres la merveille de notre siècle, feu » M. Pascal. »

Nous trouvons encore quelques observations qui se rapportent au théorème en question, et qui prouvent que Desargues avait su en faire un grand usage, dans un ouvrage du graveur Grégoire Huret, intitulé : Optique de portraiture et peinture, etc. Paris, 1670; in-fol.

' Voir la Note XIV.

Ainsi, il est constant que le théorème de Desargues était le fondement de sa théorie des coniques, et que les nomhreuses propriétés de ces courbes, que nous avons appris, depuis quelques années, à déduire de ce théorème, n'avaient point échappé à l'esprit logique et essentiellement généralisaleur de Desargues.

Mais, outre son extrême fécondité, le théorème en question présente un autre caractère, qu'il n'est pas moins important de faire ressortir dans un examen philosophique de la marche et de l'esprit des méthodes concernant les coniques. C'est que ce théorème, par sa nature, permettait à Desargues de considérer, sur un cône à base circulaire, des sections tout à fait arbitraires, sans faire usage du triangle par l'axe, comme le dit Pascal; tandis que les Anciens, et tous les écrivains après eux, n'avaient coupé le cône que par des plans perpendiculaires à ce triangle par l'axe. Cette grande innovation nous paraît être le principal mérite du traité des coniques de Desargues.

§ 24. On voit, par ce qui précède, que l'ouvrage de Desargues était vraiment beau et original, et procurait une généralité et des facilités nouvelles à la Géométrie des coniques. Aussi fut-il apprécié comme tel par les grands génies du siècle. Nous avons déjà cité le sentiment d'admiration de Pascal pour cet ouvrage ; nous trouvons qu'il fut partagé par Fermât, qui, dans une lettre au P. Mersenne, s'exprime ainsi : « J'estime beaucoup M. Desar- » gués, et d'autant plus qu'il est lui seul inventeur de ses coniques. Son » livret qui passe, dites-vous, pour jargon, m'a paru très intelligible et » très ingénieux. » {OEuvres de Fermât, pag. 173.)

Quant à la fécondité du théorème et à la facilité toute nouvelle qu'il apportait dans la théorie des coniques, on aperçoit aisément quelle en est la cause première. C'est qu'il exprimait une relation tout à fait générale de six points pris arbitrairement sur une conique. Les Anciens n'avaient connu de telles relations que pour des positions particulières des six points, par exemple, pour le cas où quatre points étaient deux à deux sur deux cordes parallèles entre elles (la relation dont ils se servaient alors était que les produits des segments faitS; sur ces deux cordes, par celle qui joint les deux

autres points, sont entre eux comme les produits des segments faits, sur celle-ci, par les deux premières). Il leur fallait donc toujours diverses propositions intermédiaires, pour passer de la considération directe ou implicite de cinq points d'une conique à la considération d'un sixième point. De là, le grand nombre de propositions qui semblaient devoir entrer nécessairement dans un traité des coniques, et de là surtout la longueur des démonstrations.

La solution du problème ad quatuor lineas, il est vrai, faisait connaître une propriété tout à fait générale de six points d'une conique; mais, jusqu'à Apollonius, ce problème n'avait pas été résolu complètement; et ce grand géomètre, qui dit l'avoir résolu à l'aide des principes qu'il a compris dans son 3® livre, n'a point eu le temps peut-être d'en approfondir assez la nature pour le juger propre à entrer dans ses Éléments des Coniques, de sorte qu'il n'a été d'aucun usage chez les Anciens.

§ 25. Nous avons dit que Fermât avait laissé, parmi quelques propositions présentées comme porismes, le théorème de Desargues, et l'on ne peut douter que ce grand géomètre n'y soit parvenu de son côté. Mais, outre l'avantage d'une antériorité de plus de vingt-cinq ans. Desargues a celui d'avoir connu et mis à profit toutes les ressources que ce théorème offrait dans la théorie des coniques.

R. Simson nous paraît le seul géomètre qui se soit servi, jusqu'à ces derniers temps, de ce théorème qu'il a démontré dans le 5^ livre de son Traité des Coniques (Proposition 12«), et dont il avait entrevu la fécondité; car, après en avoir tiré six corollaires, il ajoute qu'ils renferment des démonstrations naturelles et faciles de quelques propositions du premier livre des Principes, de Newton. R. Simson avait emprunté ce théorème des OEuvres de Fermât, comme on le voit dans son Traité des Porismes, où il le démontre aussi sous le n° 81.

§ 26. On n'a considéré jusqu'à ce jour le théorème de Desargues que sous l'énoncé sous lequel nous l'avons présenté; et c'est ainsi qu'on en a fait de nombreuses applications. Mais, en y introduisant la notion du rapport an harmonique, on peut envisager ce théorème sous un autre point de

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. Si

vue, et lui donner une autre forme, qui en fera une proposition différente, propre à de nouveaux usages. Cette proposition, qu'on peut regarder comme centrale dans la théorie des coniques, car une infinité de propriétés diverses de ces courbes, qui avaient paru étrangères les unes aux aulres, en dérivent naturellement, comme d'un centre unique; cette proposition, dis-je, offre une voie facile pour passer du théorème de Desargues à celui de Pascal, et vice versa, et de chacun de ceux-ci à diverses autres propriétés générales des coniques, telles que le beau théorème de Newton sur la description organique de ces courbes. {Voir la Note XV.)

§ 27. Les Anciens n'avaient considéré, pour former leurs coniques, que des cônes à base circulaire : Desargues et Pascal les imitaient en ce point, puisqu'ils formaient ces courbes par la perspective du cercle. Il se présentait donc une question, à savoir si tous les cônes qui ont pour base une conique quelconque sont identiques avec les cônes à base circulaire ; ou, en d'autres termes, si un cône quelconque, à base elliptique, parabolique ou hyperbolique, peut être coupé suivant un cercle; et, dans le cas où cela serait, de déterminer la position du plan coupant. Desargues, comme nous l'apprend le P. iMersenne ', proposa cette question, qui eut alors une certaine célébrité, à raison de sa difficulté; car elle est de la nature de celles qui, admettant trois solutions, dépendent, en Analyse, d'une équation du troisième degré, et, en Géométrie, des sections coniques. Descartes la résolut par les principes de sa nouvelle Géométrie analytique, et d'une manière fort élégante, pour le cas où la base du cône est une parabole : il n'a besoin que d'un cercle, dont l'intersection avec la parabole donne la solution demandée ^. Depuis, cette même question a occupé plusieurs autres géomètres célèbres : le marquis de Lhospital ^, Herman *, le

' Universce geometriœ, mixlœque mathematicœ synopsis, pag. 35t; in-fol., 1644.

2 Lettres de Descartes, édition in-12, 1725; t. VI, pag. 528.

^ Traité analytique des sections coniques, livre 10% pag. 407.

* Commentarii Academiœ Petropolitanœ, tom. VI; ann. 1752 et 1753.

P. Jacquier \ qui suivirent la même marche analytique que Descartes, en y apportant quelques simplifications. Je ne crois pas que l'on ait donné, de ce problème, une solution purememenl géométrique et graphique. La difficulté disparaît devant les nouvelles doctrines de la Géométrie, qui peuvent en procurer plusieurs solutions diiïérentes ^.

§ 28. On doit à Desargues une propriété des triangles, devenue fondamentale et d'un usage très utile dans la Géométrie récente. C'est que : « Si deux triangles, situés dans l'espace, ou dans un même plan, ont leurs » sommets placés deux à deux sur trois droites concourant en un même » point, leurs côtés se rencontrent, deux à deux, en trois points situés en » ligne droite ; » et réciproquement.

Ce théorème se trouve, avec deux autres, dont l'un est sa réciproque, à

* Eiementi di perspettiva ; in-S''.Romsei, \7^&,pag. iAO.

^ Il suffit de déterminer les trois axes principaux du eône; car on sait que, de leur connaissance, l'on conclut immédiatement la position des plans des sections circulaires.

Pour déterminer ces trois axes, je mène, par le grand axe de la conique C qui sert de base au cône, un plan perpendiculaire à celui de cette courbe; et, dans ce plan, je conçois une seconde conique qui ait pour sommets et pour foyers, respectivement les foyers et les sommets de la première.

Je regarde celte seconde conique comme la base d'un second cône qui ait même sommet que le cône proposé. Ce nouveau cône rencontre le plan de la conique C suivant une autre conique. Ces deux courbes se rencontrent en quatre points qui sont les sommets d'un quadrilatère, dont les points de concours des côtés opposés, et le point de rencontre de^ deux diagonales, appartiennent aux trois axes cherchés.

Ainsi, le problème est résolu.

Seconde solution. Par le sommet du cône proposé, menons des droites perpendiculaires à ses plans tangents; elles forment un second cône du second degré, qui rencontre le plan de la conique servant de base au premier cône, suivant une seconde conique. Ces deux courbes se rencontrent en quatre points qui servent, comme dans la solution précédente, à résoudre le problème.

Nous devons dire, plus généralement, qu'il existe, dans le plan des deux courbes, trois points tels que chacun d'eux a la même polaire par rapport aux deux coniques; ces trois points appartiennent aux trois axes principaux cherchés.

Nous avons trouvé différentes autres solutions du problème, mais qui exigent toujours la construction d'une conique; ce qui doit être, puisque le problème admet trois solutions.

la suite du Traité de Perspective, rédigé par Bosse ', d'après les principes et la métliode de Desargues, mise au jour en 1636. Quand les deux triangles sont situés dans deux plans diiïérents, le théorème est de vérité intuitive, ainsi que le remarque Desargues; quand ils sont dans le même plan, sa démonstration offre cela de remarquable qu'il y est fait usage du théorème de Ptolémée sur le triangle coupé par une transversale. C'est l'un des premiers exemples, chez les Modernes, de l'application de ce célèbre théorème, qui depuis est devenu la base de la théorie des transversales.

Le théorème de Desargues a été reproduit, pour la première fois dans ces derniers temps, par M. Servois, dans son ouvrage intitulé : Solutions peu connues, etc ; et a été employé depuis par M. Brianchon ^Correspondance polytechnique, tom. III, pag. 3.), par M. Poncelet (rraeVe des propyiétés projeclives), et par MM. Sturm et Gergonne (^Annales de Mathématiques, tom. XVI et XVII). M. Poncelet en a fait la base de sa belle théorie des figures homologiques. Il a appelé les deux triangles en question homologiques, le point de concours des trois droites qui joignent deux à deux leurs sommets, centre d'homologie, et la droite sur laquelle se coupent deux à deux leurs trois côtés, axe d'homoloyie.

% 29. Mais on ne s'est servi, jusqu'à présent, que des propriétés descriptives des deux triangles en question ; et leurs relations métriques, ou de grandeur, non moins importantes que celles de situation, n'ont pas encore été considérées d'une manière générale. On n'en connaît que quelques cas particuliers. Ainsi, quand les deux triangles sont semblables et semblablement placés, auquel cas leur axe d'homologie est à l'infini, les distances de leur centre de similitude à deux points homologues quelconques sont entre elles dans un rapport constant; et, quand le centre d'homologie des deux triangles est à l'infini, ce sont les distances de deux poinis homologues à l'axe d'homologie, qui sont entre elles dans un rapport constant. On

' Manière universelle de M. Desargues pour pratiquer la perspective par petit-pied, comme legéoinélruL In -8", 1C48, pag. 540.

conçoit que ces deux relations sont des cas particuliers d'une certaine relation générale, relative à deux triangles homologiques quelconques, dont ni le -centre ni Vaxe d'homologie ne sont à l'infini. Nous démontrerons celte relation générale dans un chapitre de ce Mémoire ; mais sa simplicité nous permet de l'énoncer ici, comme complément du théorème de Desargues : elle consiste en ce que « le rapport des distances de deux sommets homo- » logues quelconques des deux triangles, à leur centre d'homologie, est au » rapport des distances des deux mêmes sommets, à l'axe d'homologie, dans » une raison constante. » Ce théorème nous sera très utile, en nous offrant de nombreuses propriétés nouvelles des figures homologiques, et particulièrement du système de deux coniques quelconques, dont on n'a encore étudié d'une manière générale que les propriétés descriptives K

Nous remarquerons encore, au sujet du ihéorème de Desargues, qu'il conduit naturellement à un beau principe de perspective, qui semble en être, en quelque sorte, la première destination; c'est que : « quand deux » figures planes, situées dans l'espace, sont la perspective l'une de l'autre, » si l'on fait tourner le plan de la première autour de sa droite d'intersection » avec le plan de la seconde, les droites qui iront des points de la première » figure aux points correspondants de la seconde, concourront toujours en un » même point '^ ; et cela aura encore lieu quand les plans des deux figures » seront superposés. » Ce théorème peut offrir une intelligence facile de certaines pratiques de la perspective.

§ 30. Desargues s'était occupé des applications de la Géométrie aux arts, et avait traité cet objet en homme supérieur, y apportant, avec une exactitude alors souvent inconnue aux artistes, les principes d'universalité que nous lui avons reconnus dans ses recherches de pure Géométrie. ,

* Les relations métriques de deux coniques quelconques, connues jusqu'à ce jour, se réduisent, je crois, à quelques relations harmoniques.

2 Ce point de concours varie de position dans l'espace, et il est facile de voir qu'il décrit un cercle situé dans un plan perpendiculaire à la droite d'intersection des plans des deux figures.

Divers écrits de lui furent publiés sur la Perspective, la Coupe des pierres et le Tracé des cadrans. 11 paraît que ces ouvrages étaient très succincts, et pour ainsi dire comme des essais, qui renfermaient la substance d'ouvrages qui devaient être plus développés et plus complets. Quelques années après, A. Bosse, célèbre graveur, qui, quoique géomètre médiocre, avait eu assez de pénétration pour apprécier le génie de Desargues, fut initié par lui à ses nouvelles conceptions, et les exposa de nouveau, mais d'une manière très diffuse, qu'il croyait avoir appropriée aux usages des artistes, et qui ne Tétait certainement pas à celui du véritable géomètre. Cependant, les écrits originaux de Desargues étant perdus, ceux de Bosse ont acquis, par cette circonstance, un certain mérite. Ils suffiraient au géomètre qui voudrait les lire avec attention, pour rétablir les principes théoriques qui avaient servi de fondement aux diverses pratiques inventées par Desargues dans ses ouvrages originaux.

Ceux-ci avaient pour titres :

4" Méthode universelle de mettre en perspective les objets donnés réellement, ou en devis, avec leurs proportions , mesures, éloignements, sans employer aucun point qui soit hors du champ de l'ouvrage, par G. D. L. (Girard Desargues, Lyonnais), à Paris, 1636. Le Privilège était de 1630.

2° Brouillon projet de la Coupe des pierres, 1640.

3*' Les Cadrans, ou moyen déplacer le style, ou l'axe, inséré à la fin du Brouillon de la Coupe des pierres ^

Le Traité de Perspective, arrangé par Bosse, contient un fragment de l'ouvrage original de Desargues. On y reconnaît le fondement et la substance de tout l'ouvrage de Bosse. Le but que s'y propose Desargues est de pratiquer la perspective sans se servir d'un dessin de l'objet, et au moyen seulement

* Nous avons trouvé le litre du premier de ces trois ouvrages dans la Perspective de Nicèron (in-fol., 1G52), et dans celle de Lambert (2* partie, Zurich, 1773; in-8«); et les litres des deux autres, qui paraissent aujourd'hui tout à fait inconnus, car nous n'en avions jamais vu aucune mention nulle part, dans un ouvrage fort rare de J. Curabelle, iniilulé : Examen des OEuvres du sieur Desargues; Paris, 1644, in-i» (81 pages).

de cotes indiquant la position de chacun de ses points dans l'espace, de même que ces cotes serviraient, en architecture, pour construire le plan géométral et les coupes de cet objet. C'est à cette occasion qu'il imagina l'échelle fuyante, maintenant si fort en usage chez les artistes, et qui porte le nom de Desargues dans quelques traités de perspective. ( Fo/r celui d'Ozanam, pag. 62, édition delT^^O, in-8».)

Cet ouvrage était, au témoignage de Fermât « agréable et de bon esprit. » Descartes en porta un jugement semblable en écrivant au P. Mersenrie : « Je n'ai reçu que depuis peu de jours les deux petits livres in-folio que « vous m'avez envoyés, dont l'un qui traite de la perspective (et qui était de » Desargues) n'est pas à désapprouver, outre que la curiosité et la netteté » de son langage est à estimer. » (^Lettres, tom. IV, pag. 257.)

Le livre des Cadrans mérita aussi l'approbation de Descartes, qui trouva que « l'invention en était fort belle, et d'autant plus ingénieuse qu'elle était » plus simple. » [Lettres, tom. IV, pag. 1 47.) Ce grand homme n'exprime pas son sentiment sur le livre de la Coupe des pierres, parce que les figures y manquaient ^

Il parait que l'invention des épicycloïdes et de leur usage mécanique, dont Leibniz a revendiqué l'honneur pour le célèbre astronome Roemer, est due à Desargues. Car La Hire nous apprend, dans la préface de son Traité des Épicycloïdes, qu'il a fait au château de Beaulieu, près de Paris, une roue à dents épicycloïdales, à la place d'une autre semblable, qui y avait été autrefois construite par Desargues. De plus, La Hire répète, dans la préface de son Traité de Mécanique, publié en 1695, qu'il donne la construction d'une roue où le frottement n'est pas sensible, et dont la première invention était due à Desargues, un des plus excellents géomètres du siècle.

• Baillet, dans la Vie de Descartes, dit que ces deux livres de Desargues ne furent publics qu'en 1G45. C'est une erreur : Baillet les confond avec ceux de Bosse, publiés en effet en 1643. Cet écrivain ignorait que Desargues eût produit, en t640, son Brouillon projet de la Coupe des pierres, suivi des Cadrans, qui est le seul ouvrage dont ait pu parler Descartes dans sa lettre écrite en 1641 au P. Mersenne.

§ 31. Le caractère principal des écrits de Desargues est une grande généralité dans ses principes théoriques el dans leurs applications, telle que celle qui fait la beauté et le grand mérite de la Géométrie descriptive de Monge. Ainsi il dit, au commencement de son Brouillon projet de la Coupe des pierres, que sa manière de trait pour la Coupe des pierres est la même production que la manière de pratiquer la Perspective ^ Et, dans une lettre écrite en 164-3, jointe au Traité des Cadrans, arrangé par Bosse, Desargues parle de sa pensée et façon de concevoir ces matières dans Ihmiverael, comme c'est l'unique façon légitime de faire des savans.

Nous citerons encore le passage suivant des Pratiques géomélrales et perspectives de Bosse : « 3L Desargues démontrait universellement, par les » solides, ce qui n'est pas l'usage ordinaire de tous ceux qui se disent géo- » mètres ou mathématiciens. »

Ces mots de Bosse, par les solides, ne signifieraient-ils pas que Desargues employait, dans ses démonstrations, la considération des figures à trois dimensions, pour parvenir aux propriétés des figures planes? ce qui est aujourd'hui le caractère de l'école de Monge, en Géométrie spéculative.

Plusieurs passages des lettres de Descartes font voir que Desargues ne bornait point ses recherches mathématiques à la Géométrie et à ses applications, mais qu'il écrivait aussi sur l'Analyse; on y voit même que les matières philosophiques lui étaient également familières.

Ces détails montrent le génie de Desargues, dont ses plus illustres contemporains. Descartes, Pascal, Fermât, faisaient le plus grand cas; mais que des hommes médiocres, dont la nouveauté el la généralité de ses vues surpassaient l'intelligence, ont persécuté et dégoûté.

On doit à M. Poncelet d'avoir, le premier, dans son Tr-aité des propriétés projectives, apprécié ce véritable et profond géomètre, el de l'avoir

♦ Ces paroles de Desargues sont rapportées par Curabclle, pag. 70 de son ouvrage cité précédemment.

MYDORGE, 1585-16:^7.

reconnu, sous le litre mérité de « Morige de son siècle, » comme l'un des fondateurs de la Géométrie moderne.

Nous ajouterons quelques détails, au sujet de Desargues, dans la Note XIV.

Nous ne retrouverons, que plus d'un siècle après, l'esprit des méthodes de Desargues et de Pascal. C'est La Hire qui nous le transmettra, dans son premier ouvrage sur les coniques, en 1673. Ce géomètre eut connaissance du Brouillon projet des coniques de Desargues, dont il cite le titre ; mais il paraît que déjà VEssai pour les coniques de Pascal était tombé dans l'oubli K

% 32. En parlant historiquement des travaux de Desargues et de Pascal sur la théorie des coniques, on doit citer un troisième géomètre, leur contemporain, qui les avait devancés de quelques années dans cette partie de la science. Mydorge, célèbre comme savant et comme ami de l'illustre Descartes, eut le mérite d'être le premier en France qui écrivit un traité des sections coniques, et qui entreprit de simplifier les démonstrations des Anciens, et d'aller au delà de ce qu'ils avaient fait sur ce sujet.

Cet ouvrage parut d'abord en 1634, en deux livres, puis en 1641, en quatre livres; il devait être suivi de quatre autres qui sont restés manuscrits. Le P. Mersenne nous en a donné les titres dans son recueil Universœ Geometriœ mixtœque, etc., pag. 329. Mydorge n'a pas pour but principal, comme Desargues et Pascal, de faire dériver les propriétés des coniques de celles du cercle, par la perspective ou par la considération constante du cône où elles prennent naissance. Son ouvrage est écrit dans le style des Anciens; mais cependant, en faisant plus d'usage qu'eux de la considération du cône ^, l'auteur peut comprendre, dans une seule démonstration, des propositions qui

* Cum niliil de his Pascalii, Desarguesii autem panca sint édita, eo gratior fuit labor doctissimi geomelrœ Ph. de La Hire, qui vestigiis istorum insistens, multaque perpulchra de suo adjiciens,jam ante 12 annos Ubellum titulo Nov^ methodi sectiones conicas et cylindricas EXPLiCANDi edidit {Act. Erud., ann. 1685, pag. 400.)

* Nous entrerons dans quelques développements sur la méthode des Anciens, en parlant du grand Traité des Coniques de La Hire.

en demandaient trois à Apollonius, el il apporte ainsi une grande simplification dans cette matière.

On remanjue, dans l'ouvrage de Mydorj^e, une solution élégante de ce problème : « Placer sur un cône donné une section conique donnée, » qu'Apolloinus n'avait résolu, dans son sixième livre, que pour un cône droit. (Propositions 39, 40 et 41 du 3" livre.)

Le second livre est destiné à la description des coniques par points, sur le plan ; objet dont Apollonius ne s'était pas occupé, mais qui avait dû être compris dans les Lieux solides d'Aristée; car cet ouvrage traitait des coniques considérées sur le plan, et devait rouler sur celles de leurs propriétés qui ne font point partie des Éléments des coniques d'Apollonius, puisque Aristée lui-même avait écrit un pareil traité, différent de ses Lieux solides.

Parmi les modes de description de Mydorge, nous citerons celle de l'ellipse, par un point d'une droite dont les deux extrémités glissent sur deux droites fixes * ; et la description de la même courbe au moyen du cercle dont on allonge toutes les ordonnées dans un rapport constant; description déjà employée par Slévin (OEuvres mathématiques, pag. 348). On trouve dans le même livre que, si d'un point pris dans le plan d'une conique, on mène des rayons aux points de la courbe, et qu'on les prolonge dans un rapport donné, leurs extrémités seront sur une nouvelle conique, semblable à la première. Cette proposition extrêmement simple est contenue virtuellement dans le sixième livre d'Apollonius, qui traite des coniques semblables : nous la citons ici parce qu'elle est, avec le mode de description précédente (l'allongement des ordonnées dans un rapport constant), le point de départ, et le cas le plus simple d'une méthode de déformation des figures, que nous verrons prendre de l'extension entre les mains de La Ilire et de Newton. M. Pon-

< Ce mode de description avait déjà été dëmontrc par Stcvin, qui en attribue l'invention à Guido Ubaldi : en effet, celui-ci l'avait donné dans son traité intitulé : Planisphœricorum universalium Theorica (in-4% 1579); mais cette description de l'ellipse fut connue des Anciens, ainsi que nous l'apprend Proclus, dans son Commentaire sui' la seconde proposition du 1" livre d'Evclide.

celet, dans son Traité des propriétés projectives, l'a étendue aux figures à trois dimensions ; et nous la regardons, dans l'état d'accroissement où nous la présentons dans la seconde partie de cet écrit, sous le titre de Déformation homographique, comme l'une des méthodes les plus puissantes de la Géométrie moderne.

§ 33. L'étendue que nous avons donnée à l'analyse des ouvrages de Desargues et de Pascal, qui se rapportent à la Géométrie récente, nous a éloigné de cette autre partie de la Géométrie, qui concerne les mesures, et qui fait usage, sous une forme explicite ou déguisée avec plus ou moins d'art, des considérations de l'infini.

Revenons à cette partie de la science, où nous avons déjà eu à citer, comme

inventeurs, Kepler, Guldin, Cavalieri, Fermât, Roberval, Pascal. A la suite

de ces hommes de génie, et sur le même rang, nous trouvons Grégoire de

St-Vincent.

GRÉGOIRE DE SAINT- Cc içéomèlre, l'un des plus profondément versés dans la Géométrie