V-'Tk

du ■>. H-^ \ du âv / ^ ^

et S admet pour ds-

( 4 ) ds'-^ = P2 E du' - -2 PO F dit dv ( )J ( '. dv' .

Mais alors, avec les mêmes P et Q. on obtient une surface S, parallèle à S| suivant le réseau («, i') applicable sur S' avec le réseau (u. c)

àiî

ôîl

au

ôr

conjugué, par les quadratures analogues à (2)

(5) ./y,=.p'^d..-:q'^d,, cly\^.... dz\^....

Suivant que le réseau R correspond à 00' déformées de S ou à une seule, le par.sUélisnie au sens de Peterson donne 00' ou une seule déformée de S'. L'élimination de l^ ou Q entre (3) conduit à l'une ou l'autre do deux équations de Lapiace pour déterminer P ou Q : si P est calculée. Q s'obtient sans quadratures parla première équation (3). 11 vaut souvent mieux opérer ainsi pour sauvegarder la symétrie : soit <I> une solution quelconque de(i) (<I> pourra être l'une des -j solutions signalées). On peut remplacer les inconnues P et Q par la seule inconnue il telle que

et la nouvelle fonction inconnue i^ est simplement assujettie à vérifier l'équation de LapJace

, d-^Q I / OG <JE\ J^ àQ

^^'* àndi^ -iH-^y'àN ~ dï')~d¥du

du

I /.,dE ^dG\ Tu dQ >H^ \ dv du i)>\^ âv

Cette propriété permet de décomrir la transforiuée d'Hazzidakis

d'une surface — à courbure tolale constante - : on peut. i)ar liomo-

thétie, prendre a = 1 ; i est applicable sur la sphère unité S, de sorte que le réseau C des lignes de courbure reste ortliogon.d, donc conjugué; la représentation sphériquc S' de i est une sphère unité parallèle à i. au sens de Peterson, suiv.nit le réseau C; donc, à .S déformée de ^ sur ce réseau conjugué C correspond un<' surface — '. par.^llèle à S suivant ce réseau et applicable sui' S', donc à courinirc constante unité et réelle; 2] et i' se correspondent avec conservation des lignes de courl)ui"<'; i et i' sont déterminées intrinsèquement par les trois

formes fond.uiientales

/ S d.r- = cil- Y du- -- sir- :p d^--,

( 2 ) < S de dx = sh 9 ch s ( du^ -i- f/c^ ^^

' S de- =^ sW- z> diC- - ch'-ç dr-.

i S r/.r- = sh- s f/?/- — cli- ç r/p-,

( S' ) < S ('/c r/.r = sh cp ch 9 ( du- -\- dv-).

( S de- = ch- cp du- -i- sh- 9 r/c- ,

o étant solution do l'équation

Ou- dv-

li c cil z, = ().

On reniarqueia que si i est réelle, mais à courbure totale constante négative, I^' devient imaginaire avec deux coordonnées réelles et une autre imaginaire pure.

Cel:7 permet aussi de démontrer qu'en dehors des surfaces de révolution ou des surfaces mouluio de Monge, si deux surfaces S et S| sont applicables, le réseau de courbure se correspondant, Li surface S admet même représentation sphérique de ses lignes de courbure qu'une surface à courbure totale constante (positive si S et S| sont réelles toutes deux). En effet, la sphère 5, sur laquelle on pi'end l'image sphérique de S, est parallèle à S au sens de Peterson; donc la déformée connue S| de S entraîne une déformée (t, de s suivant un réseau rectangulaire : a, est à courbure totale constante et parallèle à S( ; en renversant les rôles de S et S), on retrouve la Iransformé'e d'Hazzididvis ude U) ; d'ailleurs s n'admet, suivant le réseau image des lignes de courbure de S, qu'une déformée (Tj, sauf le cas réservé.

11. Réseau conjugué persistant dans une déformation. - — Si nous considérons un d.s- connu a priori, il est facile de voir qu'un réseau connu intrinsèquement ne pourra, en général, jamais devenir conjugué; en effet, ce réseau étant pris comme réseau de coordonnées, E, F, G sont connus et l'on essaie de trouver une solution des équations de Gauss-Codazzi où o=zo. L'équation ôo"=K(EG — F-) (avec les notations constamment employées ici) permet de ne garder que l'inconnue â qui se trouve ainsi déterminée par une équation aux différentielles totales, en général sans solution. Ainsi, si le réseau est

MlîM. DES se. MATH. N" ."il. 2

celui des lignes de longueur nulle, on a

et Gauss-Codazzi donnent ô= U, ô " = V, où U et V ne dépendent respectivement que de a et p; ou a ensuite la condition

du ai' V ou dp

qui n'est pas une identité et oblige F à être d'une forme particulière : on retrouve ainsi l'élément caractéristique convenant à une famille de surfaces minima associées. Oi> obtient ainsi la notion de réseaux qui peuvent, au cours de la déformation, devenir conjugués o, i, 2 ou 00' fois. Rapportons, en effet, une surface S à un rése u conjugué; on a alors ô' = o ; il s'agit de savoir si l'on peut trouver une nouvelle solution ( ô, o, à") des équitiotis de G uss-Codazzi, distincte de (ô, o, ô") relative cà la surface S donnée; on peut poser, avec une unique inconnue 1,

ô = Xo.

On a les deux équations

do

do" au

En écriv.mt que là et y sont nouvelles solutions de (2), on a

0 /i\ (22) S / I .\ àl ( II S"

En prenant la nouvelle inconnvie v définie par

on remplace (3) par

fS'j -— = — 2(v+i) M h^, > X" '="'

- ' du ^ L ( M <^ J ^'^

La condition d'inlégrabilité s'écrit

, [ ^ r^ ^' ' Al -^ D^^^' 11

^^' \i)u Y\ 2 (o'J dvW I (ô"J

I \oy

Si le coefficient de v dans cette équation (5) n'est pas identiquement nul, cette équation (5) fournit une seule valeur de v, donc, au signe près {ce qui indillère), une seule de 1 et, suivant que cette valeur de v ne satisfait p; s ou satisfait aux équations (3'), il n'existe pas ou existe ii/ie surface noui'el/e où le réseau ( n, c) est encore conjugué.

Si Von a simultanément

. d\\\\\o'\ (^r(22)o"l (II) (22/

il existe une déformation continue à un paramètre.

Il est très remarquable de signaler, qu'en supposant o' = o, o"n a

(22) Ô ( 12)' ( II ) ô" ( 12)'

^^^ |iK~~U)' )2(y=-/i('

les symboles accentués de Christoffel se rapportant à la représentation sphérique de la suiface, c'est-à-dire formés avec la troisième forme fondamentale S c/c- au lieu de \\ première S dx- , de sorte que (3') et (5) peuvent s'écrire sous forme plus simple

OU \i) dv ( I

, , \ à \\iX à \vi\^ (i2)'f 12)' d (12)'

de sorte que la propriété du réseau ne fait intervenir que sa représentation sphérique : c'est une nouvelle démonstration de la propriété du parallélisme de Peterson signalée au paragraphe précédent. Déterminer en particulier toutes les familles à un paramètre de sui faces applicables avec réseau conjugué permanent, revient à déterminer tous les réseaux sphériques tels que

Les équations (6) et (10) font immédiatement découvrir une classe importante de surfaces S indiquées la première fois par Voss [4-7]; les équations

3o BERTRAND GAMBIER.

expriment que les lignes c = const. et u = consl. sont géodésiques; elles entraînent (6) : (/ojic, si une surface admet un réseau conjugué formé de géodésiques dans les deux familles^ elle admet une déformation continue à un paramètre où ce réseau reste conjugué [ Voss etGuichard ont étudié ces surfaces (') sans avoir remarqué cette déformation continue à un paramètre, qui n'a été signalée qu'après développement de 1a théorie exposée dans ce paragraphe, développement dû surtout à M. Blanchi] ; les deux équations équivalentes à (i i)

expriment que le da- de la sphère (i) est réductible à la forme

du- -î- f/c- — 2 cos i w du dv

qui montre aussitôt [voir § 6), qu'il existe aussi une surfice i à courbure totale constmte dont le ds- est

du- -r- di'^ -+- ■}. cos -2 w du dv ;

i admet aussi (ct ) pour représentation sphérique et tes lignes ( m, v ) sont asyniptotiques de i : les réciproques sont vraies. Li déformation continue de S revient à \\ transformation de Bonnet-Lie pour i (prise au sens où l'angle des asyniptotiques et les aires se conservent). Ceci suppose toutefois que les lignes m, v géodésiques de S ne sont pas les géodésiques singulières constituées par les lignes de longueur nulle, mais dans ce cis on a les surfaces minima.

On a ensuite une nouvelle classe de surfaces intéressante, en supposant que l'on a simplement

Les lignes r = const. sont géodésiques, uiais non les lignes u. M. Bi;inchi a étudié ces surfaces.

Pour les trois classes ainsi obtenues, suivant que le réseiu conjugué permanent comprend 2, i ou o familles de géodésic|ues, il y a une |>ropiiété importante à signaler, qui se rattache intimement à l'étude

(') Depuis la ivdaclion de ce fascicule, j'ai public aux Acta matheniatica, t. 51, i<)37, p. S3-i3i, un Mcinuiie détaillé sur les surfaces de Voss-Guichard [l'ibis].

APPLICABILITE DES SURFACES ETUDIEE DU POINT DE VUE FINI. ol

de la déformation iniininient pelite, à la théorie des 12 surfaces de D,;rboux [17] et aux autres travaux de M. Bianchi [8] sur les congruences W. On appelle congruence \\ une congruence rectiligne telle que sur les deux nappes de la surface focale les lignes asjmptoliques se correspondent; parmi elles, il j a une classe importante W telle qu'aux points homologues déterminés sur les nappes focales par chaque rajon de la congruence, la courbure totale des deux nappes soit la même; on constate que si l'on prend pour lignes de coordonnées les asjmptotiques de la nappe focale i. cette courbure commune peut s'exprimer sous la forme

et /éci/froguenienl : dans la théorie des 12 surfaces, résultant de la déformation infiniment pelite de i, il existe une surface S correspondant à i par plans t:ingents parallèles, de sorte que le réseau asymptotique de i se li^ansforme en un réseau conjugué de S, tandis que la surface — ', seconde nappe de la surface focale de la congruence W, esl celle que Darboux associe à i; S est déformable à un paramètre avec conservation du réseau conjugué. Si 9 et ^ sont constants, on a pour i une surface à courbure totale constante; si q seul est constant, on a la seconde classe indiquée plus haut (l'hélicoïde minimum est une telle surface i), et si m cp, ni ']; ne sont constants, on a la troisième classe; on peut alors supposer 0:=^u, <ii ^^ ç. Si — est paraboloïde hyperbolique équibitère, on obtient les surfaces de translation à profils plans dans deux plans rectangulaires; si i est conoïde droit, on obtient les surfaces de M. Goursat avec une série de lignes de niveau persistantes.

D'autre part, à chaque surface — de cette classe étudiée ici (équation i3), correspondent 00- surfaces i' de la même espèce, obtenue par une équation de dilîerentielle totale de Riccati (équation où entre une constante arbitraire dans les coefficients de l'équation, soit A"). Si i, est une transformée de i relativement à la constante /n et ij une autre relative à Z^, il existe une quatrième surface et une seule —3, obtenue raiionneUemenl ^ qui est transformée ky de io 6t transformée k-i de i, : ceci s'.ipplique en particulier si i est à courbure totale constante. A chacune des 00- tr.nisforuiées de — correspond ainsi une surface S (de ds- \, niable), (b'-formable avec \n\ réseau

3i BERTRAND GAMBIER.

conjugué, el l'on voit le lien éli^oit des deux ihéories : la surface Si correspondant à ii est transformée de S comme II) de i. D'ailleurs, grâce aux formules de Lelieuvre [36], on reconnaît aussitôt que la détermination des surfaces II revient à trouver une équation de Moutard

ôaav admettant trois solutions 9,, 9-2, 03 liées parla relation

(i5) eï-^6l4-0^=cp(«) + J;(,..),

où o el 'l» sont les fonctions entrant dans (i3).

Comme problème intéressant relatif à cette théorie, il y aurait lieu de chercher tous les ds- admettant un ou plusieurs réseaux définis a priori de l'espèce indiquée.

J'indique quelques cas particuliers : la sphère (en négligeant un déplacement sur elle-même) n'admet qu'un réseau de l'espèce en jeu('): méridiens et parallèles (une des familles est composée de géodésiques); il resterait à savoir quels autres réseaux peut admettre le ds'-^ dd- -\- sin- 9 dc^^. Pour le ds-, ch- a {du- + di''-^)^ qui convient à l'hélicoïde minimum, les oo'^ géodésiques peuvent être réparties en oo' couples de réseaux conjugués, définis par l'équation

(i6) X- dii^ — (ch2 u — X-) 6/i'2 = o.

Pour chaque valeur de la constante X, il existe une déformation à un paramètre donnant des hélicoïdes non minimum : l'hélicoïde minimum appartient à chaque famille, et ses oo- hélicoïdes de déformation sont surfaces de Voss une seule fois.

Le c/5^, u~{du- -\-dv'-), convient aux développées des surfaces minima; lui aussi possède oo- géodésiques que l'on peut répartir

(') Si les méridiens sont obtenus comme sections de la sphère par le plan pivotant aulour d'un diamètre isotrope, on a un cas exceptionnel; d'une façon générale, chaque surface de révolution admet une déformée imaginaire où l'axe est devenu isotrope, les méridiens et parallèles primitifs se tiansformenl en les pseudo-méridiens et pseudo-parallèles de cette déformée imaginaire. Je développe ce point au Bulletin de la Société malhématique, t. LVI, 1928, dans un Mémoire qui paraîtra quelque temps après ce fascicule sous le litre : Quelques cas méconnus de la déformation des sur/aces [23 ter].

comme précédemment en oc' tamilles

( I ;7 ) A- du- — ( u- — À"- ) c/r'^ = o

et à chaque famille correspondent oc' hélicoïdes où le réseau reste conjugué permanent; mais ici il n'j a plus de surface commune, comme l'hélicoïde minimum, à oo' familles.

Sur ces deux exemples, on trouve, en plus, le réseau conjugué permanent formé de méridiens et parallèles : j'ai étudié en détail ces exemples [21].

Comme autre exemple intéressant, il y a à signaler les sui'faces tétraéd raies

où (Z, (3, y sont constants; chacune admet x*'- courbes définies par l'équalion

et l'on peut les répartir, commej'ai expliqué plus haut, en oo' familles formant un réseau conjugué permanent.

On constate aisément que la détermination des surfaces admettant un réseau conjugué permanent revient, en se bornant à la troisième classe indiquée plus haut, à l'intégration du système

1 ài>

•2 du °

rK(EG — FO"