K(EG — F

Les lignes de coordonnées (a, c) forment alors le réseau permanent; les surfaces (ou ds-) ainsi obtenus dépendent de six fonctions irréductibles d'une variable : la solution la plus étendue connue jusqu'ici est celle qu'a signalée M. Goursat, où le réseau conjugué comprend une famille de lignes de niveau; cet exemple fait intervenir trois fonctions d'une variable. Il j aurait lieu de traiter plus à fond ce sujet. Le lecleur est prié de se reporter à la Note additive.

112. Déformation des quadriques. Résultats de M. Blanchi. — Soit

3i BERTRAND GAMBIER.

une surtace S c|iii se déforme, au sens de (xaiiss, en entraînant avec elle un trièdre trireclangle T„ attaché inliinsèquement à chaque point M de S; on peut concevoir un élément géométrique Ey (point, surface, courbe, congruence, . . .), correspond int à chaque point M de S et attaché invariablement au trièdre Tj,; quand S a pris la configuration S| . le Irièdre Tj, a pris la position (Tj,)^ et E„ la position (E„). D'autre part, Vêlement de contact, tel que Sophus Lie l'imagine, comi)rend un plan, que nous appellerons facette et un point que nous appellerons centre. Cela posé, soit une surface S à courbure totde constante — i ; traçons dans chaque plan tangent à S un cercle C de rayon constant sina ayant pour centre le point M de contact; sur C prenons un point M' arbitraire, qui est centre d'une facette contenant la droite MM' et inclinée de l'angle a sur le plan tangent en M à S; nous obtenons ainsi oo' facettes correspondant à M, puis, en fusant varier M sur S un tolal de oo'' facettes.

Or, si l'on considère un système de oo' surfaces, chaque surface fournit zc- (déments de contact et le système des co^ surfaces donne oo' éléments de contact : la réciproque n'est pas vraie; étint donnés, a priori^ oo'' éléments de contact, appelons stratification ^ d'après l'usage italien, l'opération qui consiste à répartir ces oo'' facettes le long de oc' surfaces dont elles constituent les plans tangents, le centre de chaque facette étant le point de contact; oo^ éléments de contact donnés., a priori, ne peuvent, en général., être stratifiés, car, en cherch ait à extraire de ces oo'' éléments une série X)'- relative à une surface S, on obtient une équation .ui\ différentielles totales du premier ordre, qui, en général, est impossible, on n'admet qu'uu noudjre fini de solutions, mais dans certains cas favorables, on peut obtenir 00 ' surfaces.

On constate que pour la surface S et les co'' facettes définies plus haut, la condition d'intégral)ilité illimitée est réalisée, et l'on obtient oo' surfaces S' précisément de même courbure totale constante, — i, que S; la corresjiondance (M, M) entre S et une des nouvelles surfaces S' est le premier exemple de transformation de Backlund, obtenu en i<S8i par Backlund, tandis qu'en i(S-()M. Bianchi n'avait obtenu

(pie la transformation coniplémenlaire., relative à a=-; dans ce

cas, a = -, la congruence MM' est une congruence de normales, la

surface — nornude aux di'oites étant une surface W définie par

R — R' =: const. D'aiilre part, que a soil éf:al ou non à -? sur S et S'

les asjmptotiques se correspondent; si S se détorme autour d'une asjmplotique CK restant rigide, S' se déforme autour de Tasymptotique correspondante CX' restant rigide aussi, de sorte que la transformation équivaut ainsi à une transformation de courbes et non plus do surfaces; ici, les courbes sont à torsion constante et cette transformation avait été signalée dès 1879 par Sophus Lie [38] ; ceci a d'ailleurs été l'origine de la belle transformalion asymplotiqae des courbes que M. Bianchi a imaginée. En faisant varier a, on obtient X- surfaces S' déduites de S par 00' équations de Riccati.

On peut dire que S' est une transformée de S sous l'angle y. et écrire S' = Sa et inversement S = S'a (le symbole Sa ne définit pas une seule surface, mais y:.^). S et a étant donnés, choisissons S' et déduisons de S' une surface S'[3 ou S"; on écrira donc schématiquement

s"= s';i = Sa;i

on démontre qu'il existe une transformée et une seule Sp telle que S' soit une transformée (S|3)a; dans le cycle S, Sa, Saj3, Sp, S, chacune des quatre surfaces est alternativement transformée de la précédente sous l'angle a, puis [3 et le quadrilatère gauche MMaMa^^ip? quand M décrit S, se déforme, de sorte que ses côtés ei ses dièdres restent constants, les côtés restant tangents à un couple de deux surfaces, les plans de deux côtés concourants étant tangents à une même surface. Par Ji transformations successives a,, y.n, • • • , a„, on obtient ainsi 2" surfaces offrant une configuration curieuse; si Ton prend deux surfaces S et Sa les équations de Riccati relatives à S et (3 ou Sa et [3 sont équivalentes l'une à l'autre, précisément en vertu du théorème de permutabilité. Si S se déforme en une autre surface S, les 00' facettes relatives à S et a deviennent les facettes de même définition relatives à S, mais la loi de stratification a changé en passant de S à S; en particulier, si S est la sphère de rayon /, les co^ facettes de S offrent une configuration exceptionnelle où les oo' surfaces de stratification sont réduites chacune à l'une des oc' génératrices de l'un ou l'autre système de la sphère

concentrique à S, le plan de la taci'lle tournant autour de la généra- Irice, de sorte que chaque génératrice donne oo- éléments de contact. Généralisons maintenant : soient une quadrique Q, réelle ou imaginaire, puis une quadrique Qi du système homofocal à Q ; le choix de Qi constitue un premier paramèlro arbitraire. La facette/, ayant pour centre un point M de Q, tangente en M à Q, coupe Qi suivant une conique G réelle ou imaginaire; à chaque facette /' correspondent oo' facettes/,, dont le centre M, est sur G, dont le plan est déterminé par MM, et l'une des génératrices de Q, issue de IVJ,. Les 00^ facettes /, forment un ensemble stratilîable, les surfaces de stratification se réduisant comme plus haut à une génératrice du système choisi sur Q,. Si l'on imagine que la quadrique Q, flexible et inextensible, se déforme en entraînant avec elle les facettes/,, pour toute configuration S de Q, les cc'^ facettes/, ne cessent de former un système stratifiable, et les surfaces correspondantes S| sont toutes applicables elles aussi sur Q ; Si s'obtient par une équation de Riccati qui introduit une seconde constante arbitraire; chaque conique G est coupée par quatre surfaces S, en quatre points de rapport anharmonique constanl ; les foyers F et Fj des facettes associées/ et/, tangentes à S et S, engendrent une congruence rectiligne FF,, dont les nappes focales sont S et S,, les asymptotiqu.es se correspondant sur S et S, . Quand S se déforme de façon à venir s'appliquer sur Q, F vient en M, F, vient en un point M, de Q, ; or, dans l'affinité d'Ivory, le point M, de Q, correspond à un point M de Q ; si l'on applique S, sur Q, l'homologue de Fi dans l'applicabilité est le

point M.

Quand on laisse {lue le paramètre 1 qui individualise Q, dans le système homofocal à Q, on obtient pour S, co' déformées dont l'une peut être représentée par S/.; de même, de SX on déduit (SX)À, ou SX)., ; on démontre qu'il existe luie surface et une seule S>., telle que S/A, soit aussi définie comme (SX,)A, ce qui est l'analogue de la propriété déjà démontrée pour la sphère.

Je ne puis citer toutes les propriétés élégantes rencontrées dans celte théorie. Je me contente, pour amener transition avec les propriétés établies au Chapitre suivant, de signaler que ceci s'applique non seulement aux quadriques réelles, mais encore aux quadnques soit imaginaires et d'équation réelle, soit d'équation imaginaire; pour les trois types, on peut obtenir des déformées réelles et il se produit

APPLICABILITÉ DES SURFACES ÉTUDIÉE DU POINT DE VUE FINI. '.iy

lin fait très remarquable : supposons S et Si réelles toutes deux. Il est naturel, au moins au premier abord, d'imaginer que la correspondance d'applicabilité (M, F) entre Q et S est une correspondance de point réel à point réel et que la correspondance (F, F,), qui n'est pas une applicabilité, est aussi correspondance de point réel à point réel; cette dernière condition exige d'abord cjue le plan tangent à Q en M coupe Q( suivant une conique C réelle; comme la facette/, tangente à S, en F, est réelle et vient recouvrir une facette tangente à Qi, il est nécessaire c[ue la quadrique Q, soit réglée; cela posé, l'applicabilité de Q et S, relie F et M; M, et M ne sont réels ensemble que si, dans la famille homofocale étudiée Q et Q, sont l'épiées toutes deux; on constate donc qu'à toute quadrique réelle Q, à points elliptiques, on peut faire correspondre une déformée réelle S coi^respondant à Q point réel pour point réel, mais que les oo- surfaces réelles S, déduites de S par la méthode exposée ici correspondent, dans leur applicabilité, à Q ou S point réel pour point imaginaire. M. Bianchi emploie l'expression application idéale jjour ce genre, singulier au premier abord, d'applicabilité. Peterson, dont les travaux sont malheureusement restés longtemps ignorés, est le premier géomètre qui ait signalé ce genre d'applicabilité, que j'étudierai systématiquement au Chapitre suivant.

Nous avons vu plus haut comment une théorie semblable peut être développée pour d'autres ds- et l'intérêt qu'il y aurait, non pas tant à développer cette théorie sur un exemple déterminé, mais plutôt à classer tous les ds- auxquels cette théorie s'applique.

Je ne dois pas oublier de citer le nom du géomètre français Guichard dont les résultats sont toutefois plus difficiles à percevoir, les méthodes étant empruntées à la théorie des espaces àplus de trois dimensions [29].

13. Déformation infiniment petite. — Si nous imaginons une série de surfaces toutes applicables entre elles, dépendant d'un paramètre t se déformant d'une façon continue quand t varie lui-même d'une façon continue, on peut concevoir que l'on suive les trajectoires des divers points (t/, v) de la surface initiale Sq obtenue pour ^ = o et que l'on écrive pour la surface S;

!X = a; -f- txi -i- ^2 ^2 -I- ... , Z= Z^tZs-^f^z"^-^

OÙ les Xi,yi, Z( sont indépriidants do f, mais t'onclions de //, r telles que l'on ail identiqnenu'iil

( 2 ) ^/\-' -+- r/\ -' ^ (/Z^ = d.r^ -'- <r- + dz.-^.

Cela donne les équations «iiieccssives

lix dx^ i dy dy \ ~ dz dz^ == o. , dr d.r.^ d) d\-, -H dz dzo -'•--( d.i'j -- dy'j -- dz'\ ) = o, I dx dx-; -+- dy dy-,., ->- dz dz,- -!- d.r^ dx-, -h dy^ dy-i —■ dz i dz-, = o.

qui permettent, de proche en proche, de déterminer les Xi, yi^ z-i. Si l'on se boine à la première équation, on obtient V équation de la déformation infiniment petite de la surface S. D'après Cauchj, si l'on sait trouver la solution générale de ce problème [homogène)^ on sait obtenir y>a/' de simples quadratures la solution de chacune des équations suivantes qui correspondent au même problème non homogène.

Darboux a fait constatei' que si l'on pose

l'équation de la déformation infiniuient petite de S revient à l'équation

qui fait connaître un couple de surfaces applicables et réciproquement. Le fait que les asymplotiques sont les caractéristiques de l'équation de Monge-Ampère de la déformation de S entraîne qu'il j a avantage à rapporter S à ses asjmptotiques réelles ou imaginaires; S est alors représentée par les formules de Lelieuvre

où ^'i, O-ii 0:t sont des solutions d'une même équation aux dérivées

APPLICABILITÉ DES SURFACES ÉTUDIÉE DU POINT DE VUE FINI. ig

partielles

et sont proportionnelles aux cosinus directeurs de la normale à la surface S. La surface S, la plus générale s'obtient en cherchant la solution la plus générale, w, de (7) et écrivant

y^ et ::, se déduisant de Xi en remplaçant 6, par 5j, puis O3.

Je ne puis entrer ici dans la belle théorie des douze surfaces imaginée à ce propos par Darboux [17] ; mais je signale simplement ce fait que 9,, 6*^, O3, w étant solutions d'une même équation de Laplace, le plan d'équation

enveloppe une surface A, (avec les notations de Darboux) où le réseau a, jS est conjugué et telle que S et A, se correspondent par plans tangents parallèles. C'est cette surface que M. Bianchi appelle associée de S dans la déformation infiniment petite qui fait correspondre S| à S : la relation entre S et S| est évidemment réciproque ; on voit aisément que la relation entre S et A| est rrciprocjae aussi; au réseau asjmptotique (a, j3) de S correspond sur A, un réseai conjugué tel que la tangente à la courbe a sur A, est parallèle à la tangente asjmptotique |3 de S; de même, aux asjmptotiques de A| correspond sur S un réseau conjugué, dont les tangentes sont, dans leur ensemble, parallèles à celles des asjmptotiques de A,, avec échange comme plus haut. C'est cette correspondance (S, A|) que nous avons rencontrée plus haut dans l'étude des réseaux conjugués permanents au cours d'une déformation; si S a sa courbure totale de

la forme

avec les notations de ce paragraphe, At admet une déformation continue où le réseau a, ,3 reste conjugué, tandis que S éprouve une

4o BERTRAND GAMBIER.

altération qui n'est pas une déformation, altération qui conserve les asjmptotiques.

Weingarten a, de son côté, trouvé cetie surface A, par une méthode légèrement diiférente. Les fonctions x,, j,, Zi à déterminer satisfont aux équations simultanées

G àûs dxi

Q dx dxy ^ dx àxf

On introduit Tinyariant du système des deux formes / E <:/a2 -h 2 F f/a rfp -I- G d[i- = ds'^,

soit (f, fonctioji caractéristique de déformation

)^ Ox d G Oj^\ j Gp{.i\ x^)

(il) 9

v/eg-

La fonction cp est déterminée par l'équition linéaire

aFS^ — ES" — G5

puis c, c' , c" étant les cosinus directeurs de la normale à S, on aura

.de ^,0c\ / à--f ^,à-f\

K v/EG — F2

- ,, de ^, de c'a Jp

K y^EG — F2

et formules analogues pour y,, z,, de sorte que la méthode de Weingarten, comme celle de Darboux, conduit à une équation aux dérivées partielles, linéaire et du second ordre, suivie de trois quadratures de différentielle totale. La méthode de Darboux a l'avantage d'offrir une équation aux dérivées partielles de forme plus simple; elle a, par contre, l'inconvénient de supposer la surface préalablement

rapportée à ses asjmptotiques, tandis que la méthode de Weingarleii s'achève en coordonnées curvilignes quelconques. C'est donc une question d'opportunité, qui, d.ms les applications, conduit à adopter l'une ou l'autre.

A signaler que M. H. Wcjl a utilisé la généralisation de la méthode de Weingarlen pour étudier le problème analogue où le ds- lui-même subit une variation inlinitnenl petite. A ce point de vue il est bon de remarquer que la méthode de Weingarten revient à avoir dédoublé la troisième équation (9) en la réunion des deux équations

Il est important de signaler que le problème de la déformation infiniment petite dépend, linéairement, pour une surface donnée, de deux fonctions arbitraires d'une variable. De la sorte, pour une surface réglée, la déformation Jinie de la surface en surface réglée encore, dépendant explicitcnunt d'une fonction arbitraire, on en déduit, par un calcul simple, une solution explicite avec une fonction arbitraire de l'équation résolvante de la déformation infiniment petite; si donc il s'agit d'une quadiique, même si l'on ne sait pas déformer complètement la surface, on sait intégrer complètement le problème de la déformation infininient petite, puisqu'il suffit de réunir les deux séries de déformation oflerles p^r les deux systèmes de génératrices; celle simple remarque, due à Darboux, permet de prévoir, apriori^ pourquoi les recherches de M. Bianchi sur les quadriques ne pouvaient manquer d'abc)ulir à des résultats élégants; il reste, dans cet ordre d'idées, à étudier louies les surfaces pour lesquelles on sait résoudre explicitement le problème de la déformation infiniment petite; c'est alors qu'il est indispensable de suivre la méthode de Darboux et l'on esl ramené au problème complètement traité par Daiboux au Tome II de la 1 hi'orie des surfaces : trouver toutes les formes de A"(a, (3) pour lesquelles l'équation (^) s'intègre explicitement; Darboux a même n.onlré que cela permet un premier progrès dans la détermination des surfaces que l'on sait complètement déformer.