CHAPITRE

ÉTUDE Dlî LA DÉFORMATION DU POINT DE VUE KIM.

1 . Applicabilité de surfaces réelles par régions réelles ou imaginaires. — Deii.v surfaces réelles S cl S; étant soit applicables, soit isométriques, il existe entre elles un certain nombre (fini ou infini) de correspondances ponctuelles assurant l'isomélrie; nous en choisissons une bien déterminée. Trois cas ])euvent se présenter :

1° Un point M de S a, quelle que soit sa position sur S, un homologue réel M| sur S| ; exemple : deux surtaces minima associées S et S|, et dans ce cas, réciproquement, S| a même propriété que S; autre exemple : S est une surface de révolution arbitraire et S| une déformée révolutive obtenue en multipliant le rayon de chaque parallèle de S par une constante a<< i? et dans ce cas, il peut arriver qu'à lin point de S| ne corresponde pas un point réel de S;

2" {}i\ j)oint M de S a, suivant sa position, un homologue M| sur S|, réel ou imaginaire; exemple : surface développable et plan ou deux surfaces de révolution;

3" Un point réel M de S a toujours un homologue M, imaginaire sur Si; nous avons reconnu au Chapitre précédent que toute quadrique Q non réglée possède des déformées de cette espèce.

J'ai établi au Bulletin des Sciences mathénuiliqiies, 1920 et 192 1 , t. 44 et 4o [!2!2j, les résultats suivants (il ne s'agit ici que d'une na|»pe simplement connexe, de sorte que pour un hjperboloïde à deux nappes, nous ne nous occuperions que de l'une des deux nappes). La surface S est supposée séparée en deux régions S' et S" séparées par une courbe C; la région S' correspond point réel pour point réel à la surface S| (ou à une fraction de S,); la courbe C a pour homologue la courbe C| de S| ; enfin, la région réelle S' de S est telle qu'à chaque point de S" correspond un point imaginaire de S, ; alors, ou bien la surface S, se compose de deux portions S'/' et Sj'' isomé-

triques entre elles, séparées par C,, el celle courbe est arêle de rebroussement de S, et en même temps asymptolique singulière de S| ; le rayon de courbure de C, est en chaque point égal au rayon de courbure géodésique de C sur S. le rayon de torsion de C, est différent de la quanlité ±:y/— RR', où R el R' sont les rayons de courbure principaux de S; ou bien la surface S| admet la ligne Ci pour ligne d'arrêt, toujours asymptolique singulière, avec mêmes circonstances pour la courbure el la torsion.

Si donc, nous nous bornons au cas de C| ligne de rebroussement, chaque point M de S a deux homologues sur S,, réels si M est dans S', imaginaires conjugués si M est dans S", il est intéressant de traiter en détail le problème suivant : On se donne sur une surface réelle une courbe C; on construit une courbe C,, réelle, définie intrinsèquement par sa courbure el sa torsion, définies comme plus

haut (la torsion étant difiérente de ±: t / j-jt; j : existe-l-il une

déformée réelle S| de S admettant C, comme asymptolique singulière (ligne d'arrêt ou de rebroussement j ? Quelle est celle des deux régions, limitées sur S par C, qui est recouverte par S|? Dans mes travaux cités plus haut, j'ai soumis cette question à la méthode expèrlmeiilale. Depuis la |)ul)lication du fascicule précédent, M. Goursat vient de résoudre Ja queslion en deux Notes insérées aux Comptes rendus de V Académie des Sciences [!28 his\ et une nouvelle Noie de M. Goursal est en préparation.

Pour lintelligence de ce qui suit, le lecteur est prié de se reporter au Chapitre III du fascicule précédent (§ 5, p. s'i-ag).

Nous parlons d'une surface S el d'une courl)cC arbitrai} e tracée sur S ; il s'agit de di'foimer S de façon que C prenne une configuration donnée à l'avance, T, en se bornant au cas singulier où la courbure de r est égale <ï la courbure gèodésique de il sur S. i.es coordonnées courantes x{u, ç). y{u, r), z{u, r) du point de la surface inconnue 1 sont intégrales de l^'quaiion de Monge-Anipère déjà écrite, où c est l'inconnue,

(il Ç, , Ç22— Tf-j = '"^i l^'tl — F'- M I — A? ..

Nous avons \u commenl on a aussitôt, pour i- = o. les dérivées

<)u- Ou- du- On Oi- Ou Ov Ou Oi-

(la courbe C a pour équation u = o, le système tracé sur S est orthogonal, F==o, E(t/, 0)^1; c, c', c" sont les cosinus directeurs le long de C| ou F de la surface H déformée de S). La difficulté ne commence qu'en essayant d'obtenir les dérivées, pour t^ = o,

<r-x d'-y d'-z ^ ^ dv^ àv- dç-

L'équation (i) donne, par de simples substitutions^ avant d'avoir fait la moindix' division,

cosOVà^-x I dG I àG . 1 ^ , f,. /' àb\-

T ds

(/.) / c — p— -r4'i- - -3-^ = -r-(? smO — 7' cos6) = Gc'^ K -i- hr^ — -7- h

équations où G, -—t -r— ? K sont calculés en y faisant ensuite p = o.

On remarque que si, par un moyen quelconque, l'une des trois fonctions inconnues x{u, p), y(w, t'), z[u^ v) a été obtenue, la condition

E du- H- 2 F du dv -r^ G dv- — dx^- = dy- -^dz"-

fournit les deux solutions associées jy, z par de simples quadratures, avec des constantes négligeables (déplacement ou symétrie); de sorte que si cette première solution contient ou ne contient pas de constantes arbitraires, la surface 2 contient le même nombre d'arbitraires; d'autre part, cette première solution x peut être hohinorphe sans qu'il en soit de même pour y et ^, après les quadratures à effectuer : c'est là qu'il est utile de regarder l'ensemble des équations (4) et non une seule, à la fois pour décider du nombre éventuel de constantes ou de l'holomorphie; nous ne nous occupons que du cas siTii:^uUer où la courbure de F est égale à la courbure géodésique de C sur S. Or c, c', c" ne peuvent être nuls tous trois; si c est nul tout le long de F, comme le plan osculateur de F est tangent à 1^ on en conclut que le plan osculateur de F est toujours parallèle à Oic, donc que F est ou une droite parallèle à Ox, ou une courbe plane dont le plan est parallèle à Ox] prenons ce plan pour plan 5 = 0, de sorte

que c = c'= o, c" ^ i. Dans ce cas la dernière équation (4) montre que, —TT— étant nul, et 9 égal à—? si K + =;- ^ o, c'est-à-dire si la

courbure totale de la surface n'est pas nulle, car — = o, 2 n'est pas

liolomorpne; les deux premières ne déterminent plus y^, -r^ et

l'élude directe faite par M. Goursat montre qu'alors x., y sont holomorphes, tandis que 2 ordonné suivant les puissances de e est de la forme

(5) z = V^[fy,-^vJ\ -+-... l

foi f\i ••■ dépendant de u] on a une surtace i, sans constante, admettant la coui'be plane i comme arête de rebroussement et le plan 3 = 0 pour plan de symétrie; ce cas correspond à ce fait que la courbe F, réunie au plan s = o tangent à D en tous les points de r, fournit une caracléristique double de l'équation (i), l'équation (1) jouissant de plus de cette propriété que tous les éléments

des caractéristiques doubles E(m, t^), t^' j^ satisfont à l'équation du premier ordre

dont dépend la recherche des courbes parallèles géodésiquement et dont toutes les intégrales appartiennent à (i) (ce qui précède suppose r plane, mais non rectiiigne).

Si la courbe F n'est pas plane, on a --^— = o en vertu du choix

de F; c, c', c" sont tous trois différents de zéro et alors chaque

, ,• //x , à- ce à- y à- z . . „ . ,

équation (4) montre que -7-- > -~: -r^ sont toutes trois intimes; la

surface i, si K + =r;; ^ o, admet bien F pour arête de rebroussement ;

elle ne contient aucune constante arbitraire ; — recouvre S en double sur

la région de convexité ou concavité géodésique suivant que K -\- t^t:;

est positif ou négatif. La courbe F, avec l'ensemble de ses plans osculateurs, n'est plus une caractéristique double de l'équation (i); au point de vue géométrique il n'y a pas une différence essentielle entre ce cas où F est gauche et celui où F est plane; une certaine transformation de contact sur l'équation (1) la transforme en une

\b BERTRAND GAMBIER.

autie équation de Mongc-Ampèrc en permetlanl de ramener liin à 1 autre les deux cas.

Si K -|- — E^ o, r devient asvmptoliqué régidière et l'on a une

déformation de S dépendant d'une fonction arbitraire : i recouvre S, de part et d'autre de G-, si toutefois 1 est réelle (voir Cliap. 1, § 2). Le cas où la courbe G est géodèsique a besoin d'une étude spéciale; si F n'est pas rectib'gne, il n'y a rien à dire; on est dans le cas normal de déformation, on obtient deux surfaces régulières. Si V devient recliligne, il y a divers cas bien distincts qui peuvent se présenter : la courbe Y est une singularité ou algéljrique, ou transcendante de 1] dans ce dernier cas 1 s'enroule asymptoliquement autour de cette droite F. L'exemple donné au Ghapitre I, paragraphe 2, fournit précisément (pour A =: Uo, m quelconque) oo' hélicoïdes s'enroulant asvmptotiquement autour de la droite déformée du parallèle géodèsique. Peterson a montré la même circonstance pour l'ellipsoïde et une section principtile; les formides

\y- z- = \ B- — C- sin^ cos/?,

-- = ta nu - — log tanij -

■ LvB^-G'- • '^^

X — l \ A- cos-/> -f- G- sin-/> dp,

où B ^ G > •), donnent une suiface applicable sur relli[)Soïde (^ ) X = \ siii/>. V = 15 cos/? sin^, Z = (! co?/> cosq.

Ge qui précède conduit à un résultat fort simple : si S est une surface réelle qui n'admet pas d'asjmptotique singulière (ligne d'arrêt ou de rebroussement), et si l'on considère une déformée réelle S| de S correspondant à S par points réels, dans l'applicabilité S recouvre nécessairement S, complètement ; elle peut, réciproquement, être recouverte totalement par S,, de sorte que S| n'aura pas non plus d'arête de rebroussement; elle peut, au contraire, n'être recouverte que partiellement par S,. La sphère, l'ellipsoïde, le tore (que l'axe coupe ou non le cercle méridien j, une quadrique quelconque donnent des exemples simples de surfaces auxquelles s'applique celte proposition; une telle surface représente d'une façon parfaite son c/s-^ ou du moins une région du cls^^ au sens qui va être défini.

'2. Régions d'un ds' . Correspondances de point réel à point imaginaire. — Supposons que la surface réelle Sait une déformée réelle S| , tel que tout point réel M de S ait pour homologue un point imaginaire IM| deS| ; il est clair que, réciproquement, tout point réel de S, a pour homologue un point imaginaire de S. Si les surfaces S et S| sont analytiques^ on voit aussitôt que chaque point M de .S (réel ou imaginaire) doit avoir sur S un homologue M (réel ou imaginaire en même temps que M), tel que la correspondance MM soit une autre application de S; la propriété ne peut donc appartenir qu'à des surfaces auto-applicables. Supposons donc qu'un ds-

(i) ds- = E( II. i')du- -~ 1 F( II. r \di/ il\- (il li. \- I (Iv-

ad mette une a uto-trai^s forma lion

(•2) Il = f(u', (■' ). (■ =: w( u'. !•' ).

c'est-à-dire qu'en vertu de (2) on aura identiquement

(3) E( », V ) du- - îY ( Il , i\i/i(df-Gtii. c 1 r/c'-^s Eô/'. r' ) du'- — ....

Or, on sait (fascicule précédent, Chapitre III) trouver, lorsqu'elles existent, les transformations de celte espèce (2). Ainsi, pour la quadrique

l'emploi des variables x", y donnerait les transformations .T = c.r', y =^ £ij' où £ et ci désignent ± i ; un autre motif d'auto-application est, dans ce cas, que :; n'est pas une fonction uniforme de x et )". Donc, dans le cas général, les diverses déterminations [x, )', :;) correspondant à un même couple (;/, c) donnent une aulo-application. En écartant provi.soirement les ds' de révolution, nous pourrons trouver un système de variables canoniques (//, v) telles que tous les points de la surface S qui se correspondent dans les auloapplications soient obtenus parle même couple (//, r), de sorte que ce couple sera nécessairement réel pour les points réels; c'est ainsi que. pour la quadrique précédente, les variables canoniques pourront être choisies :

u = x- et (' = j -■

Le ds- réduit ainsi obtenu ne possède plu> d'auto-liansformalions ;

les deux inégalités EG — F- >» o, E>> o définissent dans le plan cowt' une ou plusieurs régions où le ds- est 'Irfi'ii^ positif; si, par ce procédé, on trouve N régions où N^i, les surfaces réelles correspondant à une même région peuvent se correspondre par points réels, mais deux surfaces correspondant à deux régions différentes se correspondent point réel pour point imaginaire. C'est ainsi que, pour la quadrique (4) supposée ellipsoïde réel, r/ >> 6 > c >> o, on a le dsréduit

( 5 ) 4 ds''- = du"-

Il a-

ah

et les régions sont données par les inégalités

eu

On obtient ainsi trois régions, donc trois types de surfaces applicables sur l'ellipsoïde réel, conformément aux prévisions de M. Bianchi. La région correspondant aux surfaces réelles, applicables sur l'ellipsoïde, point réel pour point réel, tout au moins pour une partie de l'ellipsoïde, est le triangle limité par ojm, w(^ et la droite

l'ellipsoïde représente huit fois celte région et les frontières de cette région dans le plan w«f correspondent aux courbes invariantes sur l'ellipsoïde dans une auto-application convenable. Ce dernier résultat est général : les courbes frontières d'une région d'un ds- réduit (^) (qu'il y ait ane ow plusieurs régions) correspondent nécessairement soit à un bord des surfaces représenlalives, ligne d'arrêt, soit à une courbe invariante dans une auto-application de la surface; d'après les

Cj II s'agil d'une fronlière pour laquelle l'élément c?4- ne soit pas toujours infini; si le <is- reste infini, les surfaces représentatives ont toutes une ligne de rebroussemenl de l'espèce déjà citée.

principes exposés au Chapitre III du fascicule précédent, une courbe invariante dans une auto-application est nécessairement une asjniptotique ou une géodësique.

Pour un ds'- de révolution, la notion de ds'-- réduit ne subsiste que partiellement; on reconnaît ainsi que le paraboloïde de révolution définit deux types de surface.

Il faut bien remarquer d'ailleurs qu'un ds^, réduit ou non, peut toujours, pour les points réels, être écrit avec des variables réelles el que dans toute région où celle forme est définie positive, on peut construire une infinité de surfaces réelles, représentatives d'une certaine portion de la région, proposition aisée à démontrer, mais trop souvent regardée comme évidente.

3. Isométrie, applicabilité. — Le mathématicien Voss a, le premier, signalé la différence entre les mots applicabilité et isornèlrie. Deux surfaces S et S| sont (tpp/icables l'une sur l'autre si l'on peut trouver une suite continue de surfaces isométriques — (?^) dépendant du paramétre 7, telles que i(X ) se confonde avec S, ^(^m) avec S|, et que, de plus, ). variant d^ une Jaçon continue entre les limites}.^ et /,|, les positions des divers points de '^{7.) et les positions des divers plans tangents varirnt d^ une façon continue.

Nous allons montrer, avec Eugenio Elia l.evi [37 J, que deux surfaces S elS|, isométriques et de courbure totale négative, sont applicables; mais que si S et S i sont à courbure totale positive, deux cas se produisent, l'un à l'exclusion de l'autre : S| est applicable sur S, ou bien S, est applicable sui la symétrique de S relativement à un point sans être applicable sur S.

La restriction sur la continuité des plans tangents est essentielle; c'est, d'ailleurs, ici qu'elle est signalée pour la première fois; envisageons, en elFot, une surface S quelconque, de courbure totale positive; menons-lui un plan tangent quelconque P que nous déplaçons ensuite parallèlement à lui-même, de façon qu'il partage S en deux régions S' et S", S' d'abord réduite à zéro, puis augmentant d'une façon continue pendant que S" diminue; i-empiaçons à chaque moment S' par sa symétrique S' relativement à P; la surface S" + S' est évidemment isométrique à S'+S' ou S; dans cette déformation de S, les divers points de S subissent un déplacement continu, mais la position du plan tangent varie brusquement pour les pt>ints

5o BERTRAND GAMBIER.

qu'aUeiiiL P; le procédé permet évidomnienl de remplacer par continuité une portion quelconque de S parla surface symétrique. Le procédé s'applique évidemmenl encore au cas où S comprend une région à courbure totale négative. 11 faut d'ailleurs remarquer que c'est le procédé employé pour quitter un vêtement ajusté, de laine ou soie, (maillot, bas. chaussette) pour éviter une défotmation (au sens non mathématique), c'est-à-dire pour n'obteinr qa une déformation au sens de Gaass. C'est aussi l'un des procédés employés par M. Lebesgue pour construire des surfaces isométriques sur le plan, par exemple, et qui ne sont pas développables, certaines étant réglées, certaines ne Tétant pas et même ne contenant aucun segment de droite [34-], [35]. J'ai, de mon côté, étudié certaines surfaces isométriques au paraboloïdc de révolution x- -\- y- = i-piz en m'inspirant de principes analogues [23]. Dans ce qui suit, on suppose donc que la surface étudiée est définie par points et plans tangents et qu'il y ait continuité au double point de vue ponctuel et tangentiel dans la déformation utilisée, et de plus, continuité aussi sur chaque surface.

Soient une surface S à courbure totale négative et une autre surface S) isométrique à S; représentons S et S, sur le plan m^/c; les asymptotiques issues de deux points correspondants O et 0| de S et S| ont pour image des courl)es C et C pour S, C| et G, pour S| issues toutes de l'iniage oj de O et 0| ; réciproquement, à deux courbes fiuelconques F, T, issues de w, non tangentes en (,), correspond un seul couple de deux surfaces i, i' isométriques à S et Si, symétriques l'une de l'autre, admettant pour couple particulier d'asymptotiques les courbes d'images F et F, ; les asymptotiques C etC| peuvent être supposées à torsion positive, C et C, à torsion négative; si donc nous considérons une courbe F (À) variant d'une façon continue avec À, telle que F(o) et F(oc) coïncident respectivement avec C et C|, et de même une autre courbe F'('/,) telle que F'(o)^^C', F''(oC)) ^C|, à chaque coiq:>le F(À), F' (À) correspond une surface i (A) isométrique à S, se réduisant à S pour X = o, à S| pour X = oo et non aux symétriques de S ni S|, car la torsion de l'asymptotique d'image r(}.) en un point ne peut varier que d'une façon continue: or, au [)oint d'im.ige o), la torsion ne peut que rester égale à elle-même ou changer de signe : elle est donc constante, et si l'asymj)tolique d'image F(o) coïncide avec C, celle d'imago F(xi) coïncidera avec celle qui a j);)ur image C| et non avec une courbe symétrique relati-

APPLICABILITE DES SURFACES ETUDIEE DU POINT DE VUE FINI. 5l

vemont à un plan. Si iiiainlonanl on veut pai-ser de S à la symétrique S', de S relativement à un plan, il suffira de supposer que la courbe r(/.) varie depuis C pour '/. -= o jusqu'à C, pour '/. = oc, cl Y depuis C jusqu'à C,. Nous avons d'ailleurs déjà rappelé que les familles de surfaces minima associées coni|)rinnent des couples de surfaces symétriques.

Prenons maintenant une surface S à courlKiie lotale positive; traçons sur S une famille de courbes à un paramètre ne se coupant pas, dont aucune n'est géodésique, dont aucune ne possède d'inflexion géodésique; adoptons sur l'une, C, un sens positif, d'où, par continuité, le sens positif résulte sur les autres. Soient M un ])oint de C, MT la tangente dans le sens jjositif, M/? la normale [)rincipale orienter; de M vers le centre de courbure, M 6 la Innormale telle que le triédre MT«Z> ail la disj)osition du trièdre de référence; le demi-plan limité par M/i et son prolongement el contenant la demi-droite ^\b est orienté de M/i vers 1V1Z>; la normale MN à la surface S en M peut être réduite à la demi-dioite MÎN située dans ce demi-])lan et l'angle (Mai, MN) ou 6*, a une valeur bien déterminée comprise entre zéro et 71 ; 9 ne peut devenir égal ni à zéro, m à :: sur aucune de nos courbes puiscpi'il n'y a pas d'inflexion géodésique; il ne peut devenir

égal à -1 si nous éliminons les r.sjmptotiques réelles, mais singulières que pourrait posséder S; ces courbes, nécessairement isolées, sont celles que nous avons citées au numéro précédent; en chaque point d'une telle courbe D, D', D'sont infinies, mais DD" — D'^ reste fini; E. E. Levi, à (|ui le raisoniiemen; >uivi ici est dû, avait oublié cette difficulté, de sorte que je rétablis maintenant la démonstration; nous réduisons donc si c'est nécessaire notre portion de surface de façon à ne plus rencontrer de telle arête de rebroussement. Il est clair maintenant que si S se déforme, au sens de Gauss, d'une façon continue, poncluellemenl et tangentiellement, l'angle 0 reste aigu ou obtus, les deux cas s'excluant; si nous remplaçons .S par sa symétrique S, relativement au plan ^\ln, le trièdre Isltnb subsiste, mais la demi-normale MIN est remplacé(; par la demi-droite MN symétrique relativement à M 6. de sorte que 0 est remplacé par ;: — 6» et que S et S sont d'esj)èce difTérente: on ne peut passer [lar continuité d Une surface à courbure positive à une autre surface isométrique d'espèce différente (relativement à l'angle 0), cm particulier de S à S. 11 reste h

monU'cr quOii [x'ut élahlir la liaison continue entre deux surfaces do même espèce; en effet, C| étant li courbe de S, homologue de C, R et R| les rayons de courbure, T etT, de torsion, correspondants en M et M|, B et B\ les angles déjà définis en M, on a

sine sinOi I

-r-^-rT ~p' ■^" '<'•

On détermine une courbe r(X) par les condilions intrinsèques

R + XRi „,,- T + ÀT, . •

où À varie de zéro à + oo; F varie donc de C jusqu'à C| ; K(A) étant toujours compris entre R et Ri est inférieur à p, donc BQ^) est toujours défini d'une façon unique, de genre aigu ou obtus en même temps que B et B^ ; nous avons ainsi obtenu la chaîne S (A) demandée.

On remarque donc que la donnée a priori d'une courbe F transformée de C définit deux surfaces i etl; ces deux surfaces sont d'espèce différente, non applicables, simplement isométricjues.

De même, quand une surface représentative du ds'^ a une arête de rebroussemenl du genre étudié au paragraphe précédent, les deux morceaux de i qui se raccordent le long de cette arête sont sim- ])lement isométriques.

4. Détermination d'une surface convexe par son ds'^. Résultats de M. H. Weyl. — Cauchj [15] a démontré la propriété importante : deux polyèdres convexes constitués de faces égales et semblablement placées sont égaux ou symétriques; au point de vue de notre étude, leurs surfaces sont applicables. Mais deux polyèdres, dont un seul est convexe, peuvent être composés du même nombre de faces égales deux à deux et semblablement disposées sans être égaux; ainsi, prenons un pentagone régulier convexe ABCDE, et sur la perpendiculaire au plan du pentagone en son centre, deux points S et Si arbitraires de part et d'autre du j>Ian; on a ainsi un polyèdre convexe à lo faces formé de la réunion |)ar leur base de deux pyramides régulières; il existe, d'autre part, un pentagone régulier étoile A'B'G'D'E' de centre O' tel que A'B' = AB ; on peut trouver deux points S', S', sur l'axe de ce nouveau pentagone tels que S' A'B' et SAB soient égales, S'jA'B' et S| AB aussi; h' nouveau polvèdre à lo faces, formé par la réunion

APPLICABILITE DES SURFACES ETUDIEE DU POINT DE VUE FINI, )i

de ces deux pjramides étoilées, est applicable sur le premier. En tout, cas, un polyèdre convexe n'admet pas de déformation infiniment petite où le nombre des faces resle le même.

Certains polyèdres non convexes admettent une déformation continue où chaque face reste égale à elle-même; M. Bricard [li] a donné des exemples précis d'octaèdres.

Liebmann [39], Minkowski [41], Hilbert [32], M. Blaschke [10], et finalement M. H. Wejl [ i9] ont, par leurs efforts successifs, établi le résultat fondamental : une surface fermée convexe prise dans sa totalité n^ admet aucune déformation infiniment petite ; Hilbert a même ajouté que la sphère n'admet aucune déformation finie (dans sa totalité). M. H. Wejl a étendu ce résultat à une surface fermée convexe ciuelconque et donné une généralisation importante; deux surfaces fermées convexes, sans arêtes anguleuses, ni points coniques, étant supposées isométriques, sont nécessairement égales ou symétricpies; la réciproque de cette dernière proposition est encore plus curieuse : un ds- convexe définit dans l'espace à trois dimensions une surface fei niée et une seule (plus la symétrique).

Il s'agit d'indiquer comment on définit un ds- convexe. Une surface fermée convexe ne peut, tout au moins au point de vue de la géométrie ])rojeclive, être représentée biunivoquement sur le plan; on peut, au contraire, établir une correspondance biunivoque entre elle et toute surface fermée convexe, la sj)hèi^e, par exemple. En prenant une sphère ayant son centre en un point intérieur à la surface, puis un point de vue P intérieur aux deux surfaces, une demi-droite issue de P réalise une correspondance biunivoque; on peut encore, en donnant à la sphère un rayon suffisamment grand pour envelopper toute la surface S prendre le point où la demi-normale extérieure à la surface coujte la sphère. Les coordonnées (a:, )', z) d'un point courant M de S sont des ffinctions continues de (c,, Ca, C3) coordonnées du point image m de la sphère i que nous pouvons réduire à avoir O pour centre avec l'unité pour rayon. On peut donc écrire

de sorte que x, y, z sont devenus fonctions li(»m<tgèncs et dv degré zéro des trois variables indépendantes {c\ , c^. c■;^) qui peuvent être

niLillipliées par uu facteur livhhvn'wr positif. Le r/s- de la surface (i) [)eut être écrit

1 f/i- = / f,7,- f/ci >lck. Cik^^ € kl ii. k =^ \ . ■>. 3),

Ox ôx <)y ôy c)z dz

' OCj <)Ck ()C[ dCl; ÔCj ÙCl;

l^es coelticienls eih soûl doue houiogèues et de degré — 2, et Tou a

(3) Ve//.c/,. = () (/=i;'>. 3).

Réciproqueuient, toute forme (juadratique ^^ei/^dc/ dci,, où les coef-

ficients eik sont homogènes et de degré — 2 et satisfont aux trois égalités (3), peut être regardée comme le d<- d'une surface: il suffit, en effet, d'écrire