DES COORDONNÉES POLAIRES

Mais souvent on suppose que la courbe est d^jà reprÉsentée sur son plan par une équation entre coordonnées reciilignes; et il s'agit alors d'en déduire une relation constante entre des coordonnées polaires.

(Lorsque les axes primitifs sont rectangulaires , on donne quelquefois auK coordonnées la dénomination de coordonnées orthogonales.)

On est ainsi conduit à la question suivante :

Passer d'un jp'ïème de coordonnées rectilignes {orthogonales ou obliques) à un système de coordonnées polaires.

Soient, pour cela, AX, AY deux axes par rapport auxquels on ai! déjà i' équation

OB une droite quelconqne, et 0 un point ^xe pris sur cette droite.

Menons par le point Oies lignes OX', 0\' parallèles à ces axes, et désignons par a, b les coordonnées AH , OH du pôle 0, par « l'angle BOX', par 9 l'angle des deux axes; le rayon vecteur OM et l'angle MOB sont

d'ailleurs, comme r Cela posé, la figr

lous l'avons dit ci-dessus, représentés par p et f . ire donne évidemment

AP ou x = f, + OK,

MP ou j=6 + MK;

mais on a, dans le

trianglo MOK,

d'où l'on déduit

OK sinOMK iMK siniMOK. OM sinOKJtl' OM sinOKM'

Substituant CCS valeurs dans les expressions de x et doj-, un obtient les formules

valeurs qui, reportées dans l'équation

donneront X'éqitation polaire dcmiiiKlce.

Dans le cas ilHaxes rectangulaires, co qui a lieu communément, (

fl = 90°, dou

sin9 = 1, sin(9— 'f — h) — cos(9 -t- «),

EXEMI'LES l/fiQl'ATIONS POLAIIllîS. zljsf)

les formules deviennent

(a) a: = û+peOS(ï-+-a], j-=&4-psin(l' + s:).

Outre cette hypothèse, on peut supposer que la droite fixe soit parallèle à l'asB des a, c'cst-ù-dire que l'on ait

il vient alors

(3) ^ = o-f-pcosï, x=^-^?sinf.

Enfin, il peut se faire que l'origine primithe soit prise pour péls; et l'on obtient, dans le cas de coordonnées orihogonukx,

Les deux derniers systèmes sont ceux dont l'emploi est le plus fréquenl.. N. B. — Dans le dernier cas, si l'on cai-re les deux membres de cliaque expression, et que l'on ajoute membre à membre, il vient

relation qui se trouve toujours intimement liée avec les relations (4].

279. RÉciPBOorEJiENT, une éi/itation polaire étant donnée, pour passrr à arie équation entre coordonnées rectilignes, de même origine OU d'origine différente, il convient de faire d'abord usage des formules

valeurs au moyen desquelles on passe de l'équation proposée à l'équation entre coordonnées orthogonales de même origine.

Après quoi, l'on a recours ai.\ formules, déjà connues, de la transformation des coordonnées rectilignes pour obtenir l'équation de la courki rapportée à des axes obliques et d'origine différente.

Exemples d'équations polaii'es el conséquences qui s'en dédttisciil.

S80. Équation poUtire du cercle. — Pour montrer le parti quo l'on pevtl tirer de Yéqaation polaire d'une courbe, proposons- nous de déterminer celle du cëucle, au moyen de la transformation des coordonnées (278), en prenant pour pôle un point quelconque 0 {fig. 1 3o ) pris dans son plan.

l'OLAIEES.

L'équation du cercle rapportée à son centre et à ] aires étant

il suflit de remplacer a; ut j par leurs valeurs (3); et Von obtient, toult' simplification faite,

p' + alacoso-F bs\n'a]p-^a'-i-b^ — K' — o.

(La droite ^a:e, à partir de laquelle se compto l'angle f, est une ligne OIS parallèle à l'axe des x.)

Désignons par p', p" les de\ix racines de cette équation ; on a, d'apros un principe connu,

Or, cette relation étant indépendante de l'angle ^ que forme la direction du rayon vecteur OM avec la droite fixe OB, il s'ensuit que, pour deux lignes quelconques M"', Wm' menées par le point 0, on a

OMxOm = OSrxO«/, ou OM:0M'::O/»' :0/'i;

CCI qui conduit h cette proposition connue, que dcnx cordes d'un eeirle jf coupent en parties inversement proportioiinelles . On suppose ici le point 0 intérieur au cercle ; 'd'où résulte

d'-i-lP- ou Âo'<R', et, par suite,

Donc, dans ce cas, les deux facteurs OM, On;, correspondant à une même corde, sont de signes contraires; et cela doit être, puisque ces distances sont comptées en sen^ contraire l'une de l'autre.

Lorsque le point est extérieur comme en O', on arrive à un résultat analogue, mais se rapportant aux sécantes entières et à leurs parties extérieia-es, telles que 0'N« et O'N.

Comme on a alors

fi' ^ b^ > ir, d'oii

"' + /''-It'>o,

les deux facteurs O'N, O'n sont de même signe; et, en effet, les distances se comptent dans le même sens.

Enfin, si l'on mène la tangente O'D, et que l'on tire le rayon AD au point de contact, on a la relation

0^' = AO''-ÂD' = ^r-[- /-'-R'j

EXEMPLES D'ÉOCdTlonS POLilBES. 27 I

et comme déjà ," d'après ce qui vient d'être dit, l'expression a'-t- b' — R' représente le produit O'N x O'/i, il en résulte

0l)'-^0'Nx0'« 011 0'N:0'D::0'D:0'N.

Ainsi, la propriété de la secQrtfe au cercle par rapport aune ta/igente issao du même point 0' se trouve également démontrée.

281. Équation polaire de l'hyperbole. ~ Soit encore proposé de trouver l'équation polaire de Ykxperbole, en prenant powr pôle lo centre do la courbe, et pour droite fixe le premier axe.

11 ne s'agit, pour cela, que de substituer les valeurs

(4) sr^^pcflSï, j=. psin^i,

dans l'équation

ce qui donne la transformée

f-[k' sin'f - D= CCS» =-- — A'B'; d'où l'on tire